Theorem funfv2f 3848

Description: The value of a function. Version of funfv2 3847 using a bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions.

Hypotheses

Ref	Expression
funfv2f.1	|- (z e. A -> A.y z e. A)
funfv2f.2	|- (z e. F -> A.y z e. F)

Assertion

Ref	Expression
funfv2f	|- (Fun F -> (F` A) = U.{y | AFy})

Distinct variable groups:   z,A   z,F   y,z

Proof of Theorem funfv2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfv2 3847	. 2 |- (Fun F -> (F` A) = U.{w | AFw})
2		funfv2f.1	. . . . 5 |- (z e. A -> A.y z e. A)
3		funfv2f.2	. . . . 5 |- (z e. F -> A.y z e. F)
4		ax-17 1003	. . . . 5 |- (z e. w -> A.y z e. w)
5	2, 3, 4	hbbr 2708	. . . 4 |- (AFw -> A.y AFw)
6		ax-17 1003	. . . 4 |- (AFy -> A.w AFy)
7		breq2 2673	. . . 4 |- (w = y -> (AFw <-> AFy))
8	5, 6, 7	cbvab 1946	. . 3 |- {w | AFw} = {y | AFy}
9	8	unieqi 2559	. 2 |- U.{w | AFw} = U.{y | AFy}
10	1, 9	syl6eq 1560	1 |- (Fun F -> (F` A) = U.{y | AFy})

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 986   = wceq 988   e. wcel 990  {cab 1499  U.cuni 2551   class class class wbr 2669  Fun wfun 3231  ` cfv 3237

This theorem is referenced by:  fvopab5 3869

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-fv 3253

Copyright terms: Public domain