Theorem funeu 3612

Description: There is exactly one value of a function.

Assertion

Ref	Expression
funeu	|- ((Fun F /\ xFy) -> E!y xFy)

Distinct variable group:   x,y,F

Proof of Theorem funeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.8a 1061	. . . 4 |- (xFy -> E.y xFy)
2		dffun3 3602	. . . . . 6 |- (Fun F <-> (Rel F /\ A.xE.zA.y(xFy -> y = z)))
3	2	pm3.27bi 324	. . . . 5 |- (Fun F -> A.xE.zA.y(xFy -> y = z))
4	3	19.21bi 1092	. . . 4 |- (Fun F -> E.zA.y(xFy -> y = z))
5	1, 4	anim12i 331	. . 3 |- ((xFy /\ Fun F) -> (E.y xFy /\ E.zA.y(xFy -> y = z)))
6		ax-17 1003	. . . 4 |- (xFy -> A.z xFy)
7	6	eu3 1430	. . 3 |- (E!y xFy <-> (E.y xFy /\ E.zA.y(xFy -> y = z)))
8	5, 7	sylibr 198	. 2 |- ((xFy /\ Fun F) -> E!y xFy)
9	8	ancoms 438	1 |- ((Fun F /\ xFy) -> E!y xFy)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221  A.wal 986   = wceq 988  E.wex 1012  E!weu 1413   class class class wbr 2669  Rel wrel 3230  Fun wfun 3231

This theorem is referenced by:  funeu2 3613  fneu 3667  funbrfv 3826

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-cnv 3241  df-co 3242  df-fun 3247

Copyright terms: Public domain