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Theorem fundmpss 29049
Description: If a class  F is a proper subset of a function  G, then  dom  F  C.  dom  G. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables  p  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3599 . . . . 5  |-  ( F 
C.  G  ->  F  C_  G )
2 dmss 5202 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( F 
C.  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
43a1i 11 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C_  dom  G ) )
5 pssdif 3889 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C.  G  ->  ( G  \  F )  =/=  (/) )
6 n0 3794 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  F )  =/=  (/)  <->  E. p  p  e.  ( G  \  F
) )
75, 6sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( F 
C.  G  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
87adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
9 funrel 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  G )
10 reldif 5122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
12 elrel 5105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  p  =  <. x ,  y >.
)
13 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( G  \  F ) ) )
14 df-br 4448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( G  \  F ) )
1513, 14syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  x ( G 
\  F ) y ) )
1615biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( G  \  F )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
18172eximdv 1688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  ( E. x E. y  p  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
1912, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y )
2019ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( G  \  F
)  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2111, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F
) y ) )
23 difss 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
\  F )  C_  G
2423ssbri 4489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
2524eximi 1635 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  x ( G 
\  F ) y  ->  E. y  x G y )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  E. y  x G y ) )
27 brdif 4497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  ( x G y  /\  -.  x F y ) )
2827simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  -.  x F y )
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  x F
y )
301ssbrd 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C.  G  ->  (
x F z  ->  x G z ) )
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x G
z ) )
3227simplbi 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
33 dffun2 5598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) ) )
3433simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
G  ->  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
35 2sp 1815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
3635sps 1814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z )  -> 
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
38 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  (
x F y  <->  x F
z ) )
3938biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
x F z  ->  x F y ) )
4037, 39syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) )
4140expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
G  ->  ( x G y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4232, 41syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
G  ->  ( x
( G  \  F
) y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4342imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  G  /\  x
( G  \  F
) y )  -> 
( x G z  ->  ( x F z  ->  x F
y ) ) )
4443adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x G z  ->  ( x F z  ->  x F y ) ) )
4544com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  ( x G z  ->  x F y ) ) )
4631, 45mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x F
y ) )
4746exlimdv 1700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( E. z  x F z  ->  x F y ) )
4829, 47mtod 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  E. z  x F z )
4948ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5049exlimdv 1700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5126, 50jcad 533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5251eximdv 1686 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. x E. y  x ( G  \  F
) y  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5322, 52syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5453exlimdv 1700 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. p  p  e.  ( G  \  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
558, 54mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
56 nss 3562 . . . . . 6  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F ) )
57 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
5857eldm 5200 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y  x G y )
5957eldm 5200 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. z  x F z )
6059notbii 296 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  dom  F  <->  -. 
E. z  x F z )
6158, 60anbi12i 697 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6261exbii 1644 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6356, 62bitri 249 . . . . 5  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6455, 63sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  -.  dom  G  C_  dom  F )
6564ex 434 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  -.  dom  G  C_ 
dom  F ) )
664, 65jcad 533 . 2  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  ( dom  F 
C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) ) )
67 dfpss3 3590 . 2  |-  ( dom 
F  C.  dom  G  <->  ( dom  F 
C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) )
6866, 67syl6ibr 227 1  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3473    C_ wss 3476    C. wpss 3477   (/)c0 3785   <.cop 4033   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   Rel wrel 5004   Fun wfun 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-fun 5590
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