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Theorem fundmpss 29437
Description: If a class  F is a proper subset of a function  G, then  dom  F  C.  dom  G. (Contributed by Scott Fenton, 20-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
fundmpss  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )

Proof of Theorem fundmpss
Dummy variables  p  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pssss 3585 . . . . 5  |-  ( F 
C.  G  ->  F  C_  G )
2 dmss 5191 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( F 
C.  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
43a1i 11 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C_  dom  G ) )
5 pssdif 3877 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C.  G  ->  ( G  \  F )  =/=  (/) )
6 n0 3793 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  \  F )  =/=  (/)  <->  E. p  p  e.  ( G  \  F
) )
75, 6sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( F 
C.  G  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
87adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. p  p  e.  ( G  \  F ) )
9 funrel 5587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  G )
10 reldif 5110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Rel 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
G  ->  Rel  ( G 
\  F ) )
12 elrel 5093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  p  =  <. x ,  y >.
)
13 eleq1 2526 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  ( G  \  F ) ) )
14 df-br 4440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( G  \  F ) )
1513, 14syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  <. x ,  y
>.  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  <->  x ( G 
\  F ) y ) )
1615biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  ( G  \  F )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
1716adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  (
p  =  <. x ,  y >.  ->  x
( G  \  F
) y ) )
18172eximdv 1717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  ( E. x E. y  p  =  <. x ,  y
>.  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
1912, 18mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Rel  ( G  \  F )  /\  p  e.  ( G  \  F
) )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y )
2019ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( Rel  ( G  \  F
)  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2111, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  ->  ( p  e.  ( G  \  F
)  ->  E. x E. y  x ( G  \  F ) y ) )
2221adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x E. y  x ( G  \  F
) y ) )
23 difss 3617 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G 
\  F )  C_  G
2423ssbri 4481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
2524eximi 1661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  x ( G 
\  F ) y  ->  E. y  x G y )
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  E. y  x G y ) )
27 brdif 4489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x ( G  \  F
) y  <->  ( x G y  /\  -.  x F y ) )
2827simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  -.  x F y )
2928adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  x F
y )
301ssbrd 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F 
C.  G  ->  (
x F z  ->  x G z ) )
3130ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x G
z ) )
3227simplbi 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x ( G  \  F
) y  ->  x G y )
33 dffun2 5580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) ) )
3433simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Fun 
G  ->  A. x A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
35 2sp 1871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A. y A. z ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z )  ->  ( ( x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
3635sps 1870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z )  -> 
( ( x G y  /\  x G z )  ->  y  =  z ) )
3734, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
y  =  z ) )
38 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  z  ->  (
x F y  <->  x F
z ) )
3938biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
x F z  ->  x F y ) )
4037, 39syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
G  ->  ( (
x G y  /\  x G z )  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) )
4140expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Fun 
G  ->  ( x G y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4232, 41syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
G  ->  ( x
( G  \  F
) y  ->  (
x G z  -> 
( x F z  ->  x F y ) ) ) )
4342imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  G  /\  x
( G  \  F
) y )  -> 
( x G z  ->  ( x F z  ->  x F
y ) ) )
4443adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x G z  ->  ( x F z  ->  x F y ) ) )
4544com23 78 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  ( x G z  ->  x F y ) ) )
4631, 45mpdd 40 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( x F z  ->  x F
y ) )
4746exlimdv 1729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  ( E. z  x F z  ->  x F y ) )
4829, 47mtod 177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  /\  x ( G  \  F ) y )  ->  -.  E. z  x F z )
4948ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5049exlimdv 1729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  -.  E. z  x F z ) )
5126, 50jcad 531 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. y  x ( G  \  F ) y  ->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5251eximdv 1715 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. x E. y  x ( G  \  F
) y  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5322, 52syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  (
p  e.  ( G 
\  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
5453exlimdv 1729 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  ( E. p  p  e.  ( G  \  F )  ->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) ) )
558, 54mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
56 nss 3547 . . . . . 6  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F ) )
57 vex 3109 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
5857eldm 5189 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  G  <->  E. y  x G y )
5957eldm 5189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. z  x F z )
6059notbii 294 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  dom  F  <->  -. 
E. z  x F z )
6158, 60anbi12i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6261exbii 1672 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e. 
dom  G  /\  -.  x  e.  dom  F )  <->  E. x
( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6356, 62bitri 249 . . . . 5  |-  ( -. 
dom  G  C_  dom  F  <->  E. x ( E. y  x G y  /\  -.  E. z  x F z ) )
6455, 63sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  F  C.  G )  ->  -.  dom  G  C_  dom  F )
6564ex 432 . . 3  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  -.  dom  G  C_ 
dom  F ) )
664, 65jcad 531 . 2  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  ( dom  F 
C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) ) )
67 dfpss3 3576 . 2  |-  ( dom 
F  C.  dom  G  <->  ( dom  F 
C_  dom  G  /\  -.  dom  G  C_  dom  F ) )
6866, 67syl6ibr 227 1  |-  ( Fun 
G  ->  ( F  C.  G  ->  dom  F  C.  dom  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823    =/= wne 2649    \ cdif 3458    C_ wss 3461    C. wpss 3462   (/)c0 3783   <.cop 4022   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   Rel wrel 4993   Fun wfun 5564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rab 2813  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-fun 5572
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