Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsect Structured version   Unicode version

Theorem funcsect 15287
 Description: The image of a section under a functor is a section. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsect.b
funcsect.s Sect
funcsect.t Sect
funcsect.f
funcsect.x
funcsect.y
funcsect.m
Assertion
Ref Expression
funcsect

Proof of Theorem funcsect
StepHypRef Expression
1 funcsect.m . . . . . 6
2 funcsect.b . . . . . . 7
3 eqid 2457 . . . . . . 7
4 eqid 2457 . . . . . . 7 comp comp
5 eqid 2457 . . . . . . 7
6 funcsect.s . . . . . . 7 Sect
7 funcsect.f . . . . . . . . . 10
8 df-br 4457 . . . . . . . . . 10
97, 8sylib 196 . . . . . . . . 9
10 funcrcl 15278 . . . . . . . . 9
119, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211simpld 459 . . . . . . 7
13 funcsect.x . . . . . . 7
14 funcsect.y . . . . . . 7
152, 3, 4, 5, 6, 12, 13, 14issect 15168 . . . . . 6 comp
161, 15mpbid 210 . . . . 5 comp
1716simp3d 1010 . . . 4 comp
1817fveq2d 5876 . . 3 comp
19 eqid 2457 . . . 4 comp comp
2016simp1d 1008 . . . 4
2116simp2d 1009 . . . 4
222, 3, 4, 19, 7, 13, 14, 13, 20, 21funcco 15286 . . 3 comp comp
23 eqid 2457 . . . 4
242, 5, 23, 7, 13funcid 15285 . . 3
2518, 22, 243eqtr3d 2506 . 2 comp
26 eqid 2457 . . 3
27 eqid 2457 . . 3
28 funcsect.t . . 3 Sect
2911simprd 463 . . 3
302, 26, 7funcf1 15281 . . . 4
3130, 13ffvelrnd 6033 . . 3
3230, 14ffvelrnd 6033 . . 3
332, 3, 27, 7, 13, 14funcf2 15283 . . . 4
3433, 20ffvelrnd 6033 . . 3
352, 3, 27, 7, 14, 13funcf2 15283 . . . 4
3635, 21ffvelrnd 6033 . . 3
3726, 27, 19, 23, 28, 29, 31, 32, 34, 36issect2 15169 . 2 comp
3825, 37mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cop 4038   class class class wbr 4456  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   chom 14722  compcco 14723  ccat 15080  ccid 15081  Sectcsect 15159   cfunc 15269 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-ixp 7489  df-sect 15162  df-func 15273 This theorem is referenced by:  funcinv  15288
 Copyright terms: Public domain W3C validator