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Theorem funcrngcsetcALT 40509
Description: Alternate proof of funcrngcsetc 40508, using cofuval2 15870 to construct the "natural forgetful functor" from the category of non-unital rings into the category of sets by composing the "inclusion functor" from the category of non-unital rings into the category of extensible structures, see rngcifuestrc 40507, and the "natural forgetful functor" from the category of extensible structures into the category of sets, see funcestrcsetc 16112. Surprisingly, this proof is longer than the direct proof given in funcrngcsetc 40508. (Contributed by AV, 30-Mar-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
funcrngcsetcALT.r  |-  R  =  (RngCat `  U )
funcrngcsetcALT.s  |-  S  =  ( SetCat `  U )
funcrngcsetcALT.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
funcrngcsetcALT.u  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
funcrngcsetcALT.f  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  B  |->  ( Base `  x ) ) )
funcrngcsetcALT.g  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  (  _I  |`  ( x RngHomo  y ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
funcrngcsetcALT  |-  ( ph  ->  F ( R  Func  S ) G )
Distinct variable groups:    x, B, y    x, R, y    x, U, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem funcrngcsetcALT
Dummy variables  f 
g  u  w  z  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcrngcsetcALT.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  B  |->  ( Base `  x ) ) )
2 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  u  ->  ( Base `  x )  =  ( Base `  u
) )
32cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  |->  ( Base `  x ) )  =  ( u  e.  B  |->  ( Base `  u
) )
41, 3syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( u  e.  B  |->  ( Base `  u ) ) )
5 coires1 5360 . . . . . . 7  |-  ( ( u  e.  U  |->  (
Base `  u )
)  o.  (  _I  |`  B ) )  =  ( ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) )  |`  B )
6 funcrngcsetcALT.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  (RngCat `  U )
7 funcrngcsetcALT.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  R
)
8 funcrngcsetcALT.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e. WUni )
96, 7, 8rngcbas 40475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  ( U  i^i Rng ) )
109eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  ( U  i^i Rng ) ) )
11 elin 3608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( U  i^i Rng )  <-> 
( x  e.  U  /\  x  e. Rng )
)
1211simplbi 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( U  i^i Rng )  ->  x  e.  U
)
1310, 12syl6bi 236 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U ) )
1413ssrdv 3424 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
1514resmptd 5162 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) )  |`  B )  =  ( u  e.  B  |->  ( Base `  u
) ) )
165, 15syl5req 2518 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  |->  ( Base `  u
) )  =  ( ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) )  o.  (  _I  |`  B ) ) )
174, 16eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( ( u  e.  U  |->  (
Base `  u )
)  o.  (  _I  |`  B ) ) )
18 funcrngcsetcALT.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  (  _I  |`  ( x RngHomo  y ) ) ) )
19 coires1 5360 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  ( ( Base `  y )  ^m  ( Base `  x )
) )  o.  (  _I  |`  ( x RngHomo  y
) ) )  =  ( (  _I  |`  (
( Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) ) )  |`  ( x RngHomo  y ) )
20 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  x )  =  (
Base `  x )
21 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Base `  y )  =  (
Base `  y )
2220, 21rnghmf 40407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( x RngHomo  y
)  ->  z :
( Base `  x ) --> ( Base `  y )
)
23 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  y )  e.  _V
24 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  x )  e.  _V
2523, 24pm3.2i 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
Base `  y )  e.  _V  /\  ( Base `  x )  e.  _V )
26 elmapg 7503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Base `  y
)  e.  _V  /\  ( Base `  x )  e.  _V )  ->  (
z  e.  ( (
Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) )  <->  z :
( Base `  x ) --> ( Base `  y )
) )
2725, 26mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  e.  ( ( Base `  y
)  ^m  ( Base `  x ) )  <->  z :
( Base `  x ) --> ( Base `  y )
) )
2822, 27syl5ibr 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  e.  ( x RngHomo  y )  ->  z  e.  ( ( Base `  y
)  ^m  ( Base `  x ) ) ) )
2928ssrdv 3424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( x RngHomo  y )  C_  ( ( Base `  y )  ^m  ( Base `  x )
) )
3029resabs1d 5140 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (  _I  |`  ( ( Base `  y )  ^m  ( Base `  x ) ) )  |`  ( x RngHomo  y ) )  =  (  _I  |`  ( x RngHomo  y ) ) )
3119, 30syl5req 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  (  _I  |`  ( x RngHomo  y ) )  =  ( (  _I  |`  ( ( Base `  y )  ^m  ( Base `  x )
) )  o.  (  _I  |`  ( x RngHomo  y
) ) ) )
3231mpt2eq3dva 6374 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  (  _I  |`  (
x RngHomo  y ) ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( (  _I  |`  ( ( Base `  y
)  ^m  ( Base `  x ) ) )  o.  (  _I  |`  (
x RngHomo  y ) ) ) ) )
3318, 32eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( (  _I  |`  ( ( Base `  y )  ^m  ( Base `  x )
) )  o.  (  _I  |`  ( x RngHomo  y
) ) ) ) )
347a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  R ) )
357a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  B  =  ( Base `  R
) )
36 fvresi 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
3736adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
3837adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( (  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
39 fvresi 6106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 y )  =  y )
4039adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( (  _I  |`  B ) `
 y )  =  y )
4140adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( (  _I  |`  B ) `
 y )  =  y )
4238, 41oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( (  _I  |`  B ) `  x
) ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) ) ( (  _I  |`  B ) `
 y ) )  =  ( x ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) y ) )
43 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) )  =  ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) ) )
44 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( w  =  x  /\  z  =  y ) )  ->  z  =  y )
4544fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( w  =  x  /\  z  =  y ) )  ->  ( Base `  z
)  =  ( Base `  y ) )
46 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( w  =  x  /\  z  =  y ) )  ->  w  =  x )
4746fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( w  =  x  /\  z  =  y ) )  ->  ( Base `  w
)  =  ( Base `  x ) )
4845, 47oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( w  =  x  /\  z  =  y ) )  ->  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w ) )  =  ( ( Base `  y )  ^m  ( Base `  x ) ) )
4948reseq2d 5111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( w  =  x  /\  z  =  y ) )  ->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) )  =  (  _I  |`  (
( Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) ) ) )
5013com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B  ->  ( ph  ->  x  e.  U
) )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ph  ->  x  e.  U ) )
5251impcom 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  U )
539eleq2d 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  ( U  i^i Rng ) ) )
54 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( U  i^i Rng )  <-> 
( y  e.  U  /\  y  e. Rng )
)
5554simplbi 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( U  i^i Rng )  ->  y  e.  U
)
5653, 55syl6bi 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  U ) )
5756a1d 25 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  U ) ) )
5857imp32 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  U )
59 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) )  e.  _V
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( Base `  y
)  ^m  ( Base `  x ) )  e. 
_V )
6160resiexd 6147 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
(  _I  |`  (
( Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) ) )  e. 
_V )
6243, 49, 52, 58, 61ovmpt2d 6443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z
)  ^m  ( Base `  w ) ) ) ) y )  =  (  _I  |`  (
( Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) ) ) )
6342, 62eqtr2d 2506 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
(  _I  |`  (
( Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) ) )  =  ( ( (  _I  |`  B ) `  x
) ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) ) ( (  _I  |`  B ) `
 y ) ) )
64 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) ) )
65 oveq12 6317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  x  /\  g  =  y )  ->  ( f RngHomo  g )  =  ( x RngHomo  y
) )
6665reseq2d 5111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  x  /\  g  =  y )  ->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) )  =  (  _I  |`  (
x RngHomo  y ) ) )
6766adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( f  =  x  /\  g  =  y ) )  ->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) )  =  (  _I  |`  (
x RngHomo  y ) ) )
68 simprl 772 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
69 simprr 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
y  e.  B )
70 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x RngHomo 
y )  e.  _V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x RngHomo  y )  e.  _V )
7271resiexd 6147 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
(  _I  |`  (
x RngHomo  y ) )  e. 
_V )
7364, 67, 68, 69, 72ovmpt2d 6443 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) y )  =  (  _I  |`  (
x RngHomo  y ) ) )
7473eqcomd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
(  _I  |`  (
x RngHomo  y ) )  =  ( x ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) y ) )
7563, 74coeq12d 5004 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( (  _I  |`  (
( Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) ) )  o.  (  _I  |`  (
x RngHomo  y ) ) )  =  ( ( ( (  _I  |`  B ) `
 x ) ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) ( (  _I  |`  B ) `
 y ) )  o.  ( x ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) y ) ) )
7634, 35, 75mpt2eq123dva 6371 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  ( (  _I  |`  (
( Base `  y )  ^m  ( Base `  x
) ) )  o.  (  _I  |`  (
x RngHomo  y ) ) ) )  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( ( (  _I  |`  B ) `
 x ) ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) ( (  _I  |`  B ) `
 y ) )  o.  ( x ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) y ) ) ) )
7733, 76eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( ( (  _I  |`  B ) `
 x ) ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) ( (  _I  |`  B ) `
 y ) )  o.  ( x ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) y ) ) ) )
7817, 77opeq12d 4166 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  = 
<. ( ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) )  o.  (  _I  |`  B ) ) ,  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( ( (  _I  |`  B ) `
 x ) ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) ( (  _I  |`  B ) `
 y ) )  o.  ( x ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) y ) ) ) >.
)
79 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
80 eqid 2471 . . . . . 6  |-  (ExtStrCat `  U
)  =  (ExtStrCat `  U
)
81 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  B ) )
82 eqidd 2472 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) ) )
836, 80, 7, 8, 81, 82rngcifuestrc 40507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B ) ( R  Func  (ExtStrCat `  U ) ) ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) )
84 funcrngcsetcALT.s . . . . . 6  |-  S  =  ( SetCat `  U )
85 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  (ExtStrCat `  U )
)  =  ( Base `  (ExtStrCat `  U )
)
86 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  S )  =  (
Base `  S )
8780, 8estrcbas 16088 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( Base `  (ExtStrCat `  U )
) )
8887mpteq1d 4477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) )  =  ( u  e.  ( Base `  (ExtStrCat `  U )
)  |->  ( Base `  u
) ) )
89 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  u  ->  ( Base `  w )  =  ( Base `  u
) )
9089oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  u  ->  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) )  =  ( ( Base `  z
)  ^m  ( Base `  u ) ) )
9190reseq2d 5111 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  u  ->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w ) ) )  =  (  _I  |`  ( ( Base `  z
)  ^m  ( Base `  u ) ) ) )
92 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  v  ->  ( Base `  z )  =  ( Base `  v
) )
9392oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  v  ->  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  u
) )  =  ( ( Base `  v
)  ^m  ( Base `  u ) ) )
9493reseq2d 5111 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  v  ->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  u ) ) )  =  (  _I  |`  ( ( Base `  v
)  ^m  ( Base `  u ) ) ) )
9591, 94cbvmpt2v 6390 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z
)  ^m  ( Base `  w ) ) ) )  =  ( u  e.  U ,  v  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  v
)  ^m  ( Base `  u ) ) ) )
9695a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) )  =  ( u  e.  U ,  v  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  v )  ^m  ( Base `  u
) ) ) ) )
97 eqidd 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  (
( Base `  v )  ^m  ( Base `  u
) ) )  =  (  _I  |`  (
( Base `  v )  ^m  ( Base `  u
) ) ) )
9887, 87, 97mpt2eq123dv 6372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U ,  v  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  v )  ^m  ( Base `  u
) ) ) )  =  ( u  e.  ( Base `  (ExtStrCat `  U ) ) ,  v  e.  ( Base `  (ExtStrCat `  U )
)  |->  (  _I  |`  (
( Base `  v )  ^m  ( Base `  u
) ) ) ) )
9996, 98eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) )  =  ( u  e.  ( Base `  (ExtStrCat `  U ) ) ,  v  e.  ( Base `  (ExtStrCat `  U )
)  |->  (  _I  |`  (
( Base `  v )  ^m  ( Base `  u
) ) ) ) )
10080, 84, 85, 86, 8, 88, 99funcestrcsetc 16112 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) ) ( (ExtStrCat `  U )  Func  S
) ( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) ) )
10179, 83, 100cofuval2 15870 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <. ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) ) ,  ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) >.  o.func  <.
(  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) )
>. )  =  <. ( ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) )  o.  (  _I  |`  B ) ) ,  ( x  e.  ( Base `  R
) ,  y  e.  ( Base `  R
)  |->  ( ( ( (  _I  |`  B ) `
 x ) ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) ( (  _I  |`  B ) `
 y ) )  o.  ( x ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) y ) ) ) >.
)
10278, 101eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  =  ( <. ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) ) ,  ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) >.  o.func  <.
(  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) )
>. ) )
103 df-br 4396 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  B )
( R  Func  (ExtStrCat `  U ) ) ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) )  <->  <. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  (  _I  |`  ( f RngHomo  g ) ) ) >.  e.  ( R  Func  (ExtStrCat `  U ) ) )
10483, 103sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. (  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) )
>.  e.  ( R  Func  (ExtStrCat `  U ) ) )
105 df-br 4396 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  U  |->  (
Base `  u )
) ( (ExtStrCat `  U
)  Func  S )
( w  e.  U ,  z  e.  U  |->  (  _I  |`  (
( Base `  z )  ^m  ( Base `  w
) ) ) )  <->  <. ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) ) ,  ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) >.  e.  ( (ExtStrCat `  U
)  Func  S )
)
106100, 105sylib 201 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) ) ,  ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) >.  e.  ( (ExtStrCat `  U
)  Func  S )
)
107104, 106cofucl 15871 . . 3  |-  ( ph  ->  ( <. ( u  e.  U  |->  ( Base `  u
) ) ,  ( w  e.  U , 
z  e.  U  |->  (  _I  |`  ( ( Base `  z )  ^m  ( Base `  w )
) ) ) >.  o.func  <.
(  _I  |`  B ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  (  _I  |`  (
f RngHomo  g ) ) )
>. )  e.  ( R  Func  S ) )
108102, 107eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( R  Func  S
) )
109 df-br 4396 . 2  |-  ( F ( R  Func  S
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( R 
Func  S ) )
110108, 109sylibr 217 1  |-  ( ph  ->  F ( R  Func  S ) G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    i^i cin 3389   <.cop 3965   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    _I cid 4749    |` cres 4841    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    ^m cmap 7490  WUnicwun 9143   Basecbs 15199    Func cfunc 15837    o.func ccofu 15839   SetCatcsetc 16048  ExtStrCatcestrc 16085  Rngcrng 40382   RngHomo crngh 40393  RngCatcrngc 40467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-wun 9145  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-ssc 15793  df-resc 15794  df-subc 15795  df-func 15841  df-idfu 15842  df-cofu 15843  df-full 15887  df-fth 15888  df-setc 16049  df-estrc 16086  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-grp 16751  df-ghm 16959  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-mgmhm 40287  df-rng0 40383  df-rnghomo 40395  df-rngc 40469
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