Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcres2c Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem funcres2c 15884
 Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2c.a
funcres2c.e s
funcres2c.d
funcres2c.r
funcres2c.1
Assertion
Ref Expression
funcres2c

Proof of Theorem funcres2c
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 392 . . 3
21a1i 11 . 2
3 olc 391 . . 3
43a1i 11 . 2
5 funcres2c.a . . . . 5
6 eqid 2471 . . . . 5
7 eqid 2471 . . . . . . 7
8 eqid 2471 . . . . . . 7 f f
9 funcres2c.d . . . . . . 7
10 inss2 3644 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7
127, 8, 9, 11fullsubc 15833 . . . . . 6 f Subcat
1312adantr 472 . . . . 5 f Subcat
148, 7homffn 15676 . . . . . . 7 f
15 xpss12 4945 . . . . . . . 8
1610, 10, 15mp2an 686 . . . . . . 7
17 fnssres 5699 . . . . . . 7 f f
1814, 16, 17mp2an 686 . . . . . 6 f
1918a1i 11 . . . . 5 f
20 funcres2c.1 . . . . . . . 8
2120adantr 472 . . . . . . 7
22 ffn 5739 . . . . . . 7
2321, 22syl 17 . . . . . 6
24 frn 5747 . . . . . . . 8
2521, 24syl 17 . . . . . . 7
26 simpr 468 . . . . . . . . . 10
275, 7, 26funcf1 15849 . . . . . . . . 9
28 frn 5747 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8
30 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
31 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
325, 30, 31funcf1 15849 . . . . . . . . . 10
33 frn 5747 . . . . . . . . . 10
3432, 33syl 17 . . . . . . . . 9
35 funcres2c.e . . . . . . . . . 10 s
3635, 7ressbasss 15259 . . . . . . . . 9
3734, 36syl6ss 3430 . . . . . . . 8
3829, 37jaodan 802 . . . . . . 7
3925, 38ssind 3647 . . . . . 6
40 df-f 5593 . . . . . 6
4123, 39, 40sylanbrc 677 . . . . 5
42 eqid 2471 . . . . . . . . 9
43 simpr 468 . . . . . . . . 9
44 simplrl 778 . . . . . . . . 9
45 simplrr 779 . . . . . . . . 9
465, 6, 42, 43, 44, 45funcf2 15851 . . . . . . . 8
47 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
48 simpr 468 . . . . . . . . . 10
49 simplrl 778 . . . . . . . . . 10
50 simplrr 779 . . . . . . . . . 10
515, 6, 47, 48, 49, 50funcf2 15851 . . . . . . . . 9
52 funcres2c.r . . . . . . . . . . . . 13
5335, 42resshom 15394 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12
5554ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
5655oveqd 6325 . . . . . . . . . 10
5756feq3d 5726 . . . . . . . . 9
5851, 57mpbird 240 . . . . . . . 8
5946, 58jaodan 802 . . . . . . 7
6059an32s 821 . . . . . 6
6141adantr 472 . . . . . . . . . 10
62 simprl 772 . . . . . . . . . 10
6361, 62ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
64 simprr 774 . . . . . . . . . 10
6561, 64ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9
6663, 65ovresd 6456 . . . . . . . 8 f f
6710, 63sseldi 3416 . . . . . . . . 9
6810, 65sseldi 3416 . . . . . . . . 9
698, 7, 42, 67, 68homfval 15675 . . . . . . . 8 f
7066, 69eqtrd 2505 . . . . . . 7 f
7170feq3d 5726 . . . . . 6 f
7260, 71mpbird 240 . . . . 5 f
735, 6, 13, 19, 41, 72funcres2b 15880 . . . 4 cat f
74 eqidd 2472 . . . . . 6 f f
75 eqidd 2472 . . . . . 6 compf compf
767ressinbas 15263 . . . . . . . . . . 11 s s
7752, 76syl 17 . . . . . . . . . 10 s s
7835, 77syl5eq 2517 . . . . . . . . 9 s
7978fveq2d 5883 . . . . . . . 8 f f s
80 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 s s
81 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 cat f cat f
827, 8, 9, 11, 80, 81fullresc 15834 . . . . . . . . 9 f s f cat f compfs compf cat f
8382simpld 466 . . . . . . . 8 f s f cat f
8479, 83eqtrd 2505 . . . . . . 7 f f cat f
8584adantr 472 . . . . . 6 f f cat f
8678fveq2d 5883 . . . . . . . 8 compf compfs
8782simprd 470 . . . . . . . 8 compfs compf cat f
8886, 87eqtrd 2505 . . . . . . 7 compf compf cat f
8988adantr 472 . . . . . 6 compf compf cat f
90 df-br 4396 . . . . . . . . . . 11
91 funcrcl 15846 . . . . . . . . . . 11
9290, 91sylbi 200 . . . . . . . . . 10
9392simpld 466 . . . . . . . . 9
94 df-br 4396 . . . . . . . . . . 11
95 funcrcl 15846 . . . . . . . . . . 11
9694, 95sylbi 200 . . . . . . . . . 10
9796simpld 466 . . . . . . . . 9
9893, 97jaoi 386 . . . . . . . 8
99 elex 3040 . . . . . . . 8
10098, 99syl 17 . . . . . . 7
101100adantl 473 . . . . . 6
102 ovex 6336 . . . . . . . 8 s
10335, 102eqeltri 2545 . . . . . . 7
104103a1i 11 . . . . . 6
105 ovex 6336 . . . . . . 7 cat f
106105a1i 11 . . . . . 6 cat f
10774, 75, 85, 89, 101, 101, 104, 106funcpropd 15883 . . . . 5 cat f
108107breqd 4406 . . . 4 cat f
10973, 108bitr4d 264 . . 3
110109ex 441 . 2
1112, 4, 110pm5.21ndd 361 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837   crn 4840   cres 4841   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   ↾s cress 15200   chom 15279  ccat 15648   f chomf 15650  compfccomf 15651   cat cresc 15791  Subcatcsubc 15792   cfunc 15837 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-hom 15292  df-cco 15293  df-cat 15652  df-cid 15653  df-homf 15654  df-comf 15655  df-ssc 15793  df-resc 15794  df-subc 15795  df-func 15841 This theorem is referenced by:  fthres2c  15914  fullres2c  15922
 Copyright terms: Public domain W3C validator