Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcres2c Structured version   Unicode version

Theorem funcres2c 15119
 Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2c.a
funcres2c.e s
funcres2c.d
funcres2c.r
funcres2c.1
Assertion
Ref Expression
funcres2c

Proof of Theorem funcres2c
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 385 . . 3
21a1i 11 . 2
3 olc 384 . . 3
43a1i 11 . 2
5 funcres2c.a . . . . 5
6 eqid 2462 . . . . 5
7 eqid 2462 . . . . . . 7
8 eqid 2462 . . . . . . 7 f f
9 funcres2c.d . . . . . . 7
10 inss2 3714 . . . . . . . 8
1110a1i 11 . . . . . . 7
127, 8, 9, 11fullsubc 15068 . . . . . 6 f Subcat
1312adantr 465 . . . . 5 f Subcat
148, 7homffn 14940 . . . . . . 7 f
15 xpss12 5101 . . . . . . . 8
1610, 10, 15mp2an 672 . . . . . . 7
17 fnssres 5687 . . . . . . 7 f f
1814, 16, 17mp2an 672 . . . . . 6 f
1918a1i 11 . . . . 5 f
20 funcres2c.1 . . . . . . . 8
2120adantr 465 . . . . . . 7
22 ffn 5724 . . . . . . 7
2321, 22syl 16 . . . . . 6
24 frn 5730 . . . . . . . 8
2521, 24syl 16 . . . . . . 7
26 simpr 461 . . . . . . . . . 10
275, 7, 26funcf1 15084 . . . . . . . . 9
28 frn 5730 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 16 . . . . . . . 8
30 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11
31 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
325, 30, 31funcf1 15084 . . . . . . . . . 10
33 frn 5730 . . . . . . . . . 10
3432, 33syl 16 . . . . . . . . 9
35 funcres2c.e . . . . . . . . . 10 s
3635, 7ressbasss 14538 . . . . . . . . 9
3734, 36syl6ss 3511 . . . . . . . 8
3829, 37jaodan 783 . . . . . . 7
3925, 38ssind 3717 . . . . . 6
40 df-f 5585 . . . . . 6
4123, 39, 40sylanbrc 664 . . . . 5
42 eqid 2462 . . . . . . . . 9
43 simpr 461 . . . . . . . . 9
44 simplrl 759 . . . . . . . . 9
45 simplrr 760 . . . . . . . . 9
465, 6, 42, 43, 44, 45funcf2 15086 . . . . . . . 8
47 eqid 2462 . . . . . . . . . 10
48 simpr 461 . . . . . . . . . 10
49 simplrl 759 . . . . . . . . . 10
50 simplrr 760 . . . . . . . . . 10
515, 6, 47, 48, 49, 50funcf2 15086 . . . . . . . . 9
52 eqidd 2463 . . . . . . . . . 10
53 funcres2c.r . . . . . . . . . . . . 13
5435, 42resshom 14665 . . . . . . . . . . . . 13
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . 12
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
5756oveqd 6294 . . . . . . . . . 10
5852, 57feq23d 5719 . . . . . . . . 9
5951, 58mpbird 232 . . . . . . . 8
6046, 59jaodan 783 . . . . . . 7
6160an32s 802 . . . . . 6
62 eqidd 2463 . . . . . . 7
6341adantr 465 . . . . . . . . . 10
64 simprl 755 . . . . . . . . . 10
6563, 64ffvelrnd 6015 . . . . . . . . 9
66 simprr 756 . . . . . . . . . 10
6763, 66ffvelrnd 6015 . . . . . . . . 9
6865, 67ovresd 6420 . . . . . . . 8 f f
6910, 65sseldi 3497 . . . . . . . . 9
7010, 67sseldi 3497 . . . . . . . . 9
718, 7, 42, 69, 70homfval 14939 . . . . . . . 8 f
7268, 71eqtrd 2503 . . . . . . 7 f
7362, 72feq23d 5719 . . . . . 6 f
7461, 73mpbird 232 . . . . 5 f
755, 6, 13, 19, 41, 74funcres2b 15115 . . . 4 cat f
76 eqidd 2463 . . . . . 6 f f
77 eqidd 2463 . . . . . 6 compf compf
787ressinbas 14542 . . . . . . . . . . 11 s s
7953, 78syl 16 . . . . . . . . . 10 s s
8035, 79syl5eq 2515 . . . . . . . . 9 s
8180fveq2d 5863 . . . . . . . 8 f f s
82 eqid 2462 . . . . . . . . . 10 s s
83 eqid 2462 . . . . . . . . . 10 cat f cat f
847, 8, 9, 11, 82, 83fullresc 15069 . . . . . . . . 9 f s f cat f compfs compf cat f
8584simpld 459 . . . . . . . 8 f s f cat f
8681, 85eqtrd 2503 . . . . . . 7 f f cat f
8786adantr 465 . . . . . 6 f f cat f
8880fveq2d 5863 . . . . . . . 8 compf compfs
8984simprd 463 . . . . . . . 8 compfs compf cat f
9088, 89eqtrd 2503 . . . . . . 7 compf compf cat f
9190adantr 465 . . . . . 6 compf compf cat f
92 df-br 4443 . . . . . . . . . . 11
93 funcrcl 15081 . . . . . . . . . . 11
9492, 93sylbi 195 . . . . . . . . . 10
9594simpld 459 . . . . . . . . 9
96 df-br 4443 . . . . . . . . . . 11
97 funcrcl 15081 . . . . . . . . . . 11
9896, 97sylbi 195 . . . . . . . . . 10
9998simpld 459 . . . . . . . . 9
10095, 99jaoi 379 . . . . . . . 8
101 elex 3117 . . . . . . . 8
102100, 101syl 16 . . . . . . 7
103102adantl 466 . . . . . 6
104 ovex 6302 . . . . . . . 8 s
10535, 104eqeltri 2546 . . . . . . 7
106105a1i 11 . . . . . 6
107 ovex 6302 . . . . . . 7 cat f
108107a1i 11 . . . . . 6 cat f
10976, 77, 87, 91, 103, 103, 106, 108funcpropd 15118 . . . . 5 cat f
110109breqd 4453 . . . 4 cat f
11175, 110bitr4d 256 . . 3
112111ex 434 . 2
1132, 4, 112pm5.21ndd 354 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1374   wcel 1762  cvv 3108   cin 3470   wss 3471  cop 4028   class class class wbr 4442   cxp 4992   crn 4995   cres 4996   wfn 5576  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6277  cbs 14481   ↾s cress 14482   chom 14557  ccat 14910   f chomf 14912  compfccomf 14913   cat cresc 15029  Subcatcsubc 15030   cfunc 15072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-hom 14570  df-cco 14571  df-cat 14914  df-cid 14915  df-homf 14916  df-comf 14917  df-ssc 15031  df-resc 15032  df-subc 15033  df-func 15076 This theorem is referenced by:  fthres2c  15149  fullres2c  15157
 Copyright terms: Public domain W3C validator