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Theorem funcres2b 15303
Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2b.a  |-  A  =  ( Base `  C
)
funcres2b.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
funcres2b.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
funcres2b.s  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
funcres2b.1  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
funcres2b.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
funcres2b  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, D, y    ph, x, y   
x, F, y    x, G, y    x, H, y   
x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem funcres2b
Dummy variables  f 
g  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4368 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
2 funcrcl 15269 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
31, 2sylbi 195 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
43simpld 457 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  C  e.  Cat )
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  ->  C  e.  Cat )
)
6 df-br 4368 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) )
7 funcrcl 15269 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) )  -> 
( C  e.  Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat ) )
86, 7sylbi 195 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  ( C  e. 
Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
)
98simpld 457 . . 3  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  C  e.  Cat )
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) G  ->  C  e.  Cat )
)
11 funcres2b.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
12 funcres2b.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
13 funcres2b.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
14 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
1512, 13, 14subcss1 15248 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  D ) )
1611, 15fssd 5648 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  D ) )
17 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`cat 
R )  =  ( D  |`cat  R )
18 subcrcl 15222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  D  e.  Cat )
1912, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
2017, 14, 19, 13, 15rescbas 15235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
2120feq3d 5627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2211, 21mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
2316, 222thd 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2423adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A
--> ( Base `  ( D  |`cat  R ) ) ) )
25 funcres2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2625adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x G y ) : Y --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) )
27 frn 5645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2912ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
3013ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
31 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
3211ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  F : A
--> S )
33 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3432, 33ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
35 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
3632, 35ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  y )  e.  S
)
3729, 30, 31, 34, 36subcss2 15249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  C_  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
3828, 37sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
3938, 282thd 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) )  <->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4039anbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) ) )
41 df-f 5500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) ) ) )
42 df-f 5500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4340, 41, 423bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) ) )
4417, 14, 19, 13, 15reschom 15236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) )
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) )
4645oveqd 6213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) )
4746feq3d 5627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
4843, 47bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
4948ralrimivva 2803 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
50 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
)
51 df-ov 6199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x G y )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
5250, 51syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( x G y ) )
53 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5553, 54op1std 6709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5655fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `
 x ) )
5753, 54op2ndd 6710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
5857fveq2d 5778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `
 y ) )
5956, 58oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
60 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
61 df-ov 6199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
6260, 61syl6eqr 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
6359, 62oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
6452, 63eleq12d 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
65 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  e. 
_V
66 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x H y )  e. 
_V
6765, 66elmap 7366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  D )
( F `  y
) ) )
6864, 67syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) ) )
6956, 58oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7069, 62oveq12d 6214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
7152, 70eleq12d 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
72 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  e.  _V
7372, 66elmap 7366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7471, 73syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) ) )
7568, 74bibi12d 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <-> 
( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) ) )
7675ralxp 5057 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) )
7749, 76sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
78 ralbi 2913 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
80793anbi3d 1303 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A )  /\  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) ) )
81 elixp2 7392 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) ) )
82 elixp2 7392 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8380, 81, 823bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8412ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  (Subcat `  D )
)
8513ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
86 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
8711adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  F : A
--> S )
8887ffvelrnda 5933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  S )
8917, 84, 85, 86, 88subcid 15253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) )
9089eqeq2d 2396 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  <->  ( (
x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) ) )
91 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
9217, 14, 19, 13, 15, 91rescco 15238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) ) )
9392ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R )
) )
9493oveqd 6213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) )
9594oveqd 6213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  D ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) )  =  ( ( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  f ) ) )
9695eqeq2d 2396 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <-> 
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
97962ralbidv 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
98972ralbidv 2826 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
9990, 98anbi12d 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  ( ( ( x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
10099ralbidva 2818 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. x  e.  A  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
10124, 83, 1003anbi123d 1297 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( F : A --> ( Base `  D )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) )  <->  ( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
102 funcres2b.a . . . . 5  |-  A  =  ( Base `  C
)
103 funcres2b.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
104 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
105 eqid 2382 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
106 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
10719adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
108102, 14, 103, 31, 104, 86, 105, 91, 106, 107isfunc 15270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  ( F : A --> ( Base `  D
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) ) ) )
109 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)
110 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
)  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
)
111 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( Id
`  ( D  |`cat  R
) )  =  ( Id `  ( D  |`cat 
R ) )
112 eqid 2382 . . . . 5  |-  (comp `  ( D  |`cat  R ) )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) )
11317, 12subccat 15254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
114113adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( D  |`cat 
R )  e.  Cat )
115102, 109, 103, 110, 104, 111, 105, 112, 106, 114isfunc 15270 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <-> 
( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
116101, 108, 1153bitr4d 285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
117116ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) ) )
1185, 10, 117pm5.21ndd 352 1  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   <.cop 3950   class class class wbr 4367    X. cxp 4911   ran crn 4914    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   1stc1st 6697   2ndc2nd 6698    ^m cmap 7338   X_cixp 7388   Basecbs 14634   Hom chom 14713  compcco 14714   Catccat 15071   Idccid 15072    |`cat cresc 15214  Subcatcsubc 15215    Func cfunc 15260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-hom 14726  df-cco 14727  df-cat 15075  df-cid 15076  df-homf 15077  df-ssc 15216  df-resc 15217  df-subc 15218  df-func 15264
This theorem is referenced by:  funcres2  15304  funcres2c  15307  fthres2b  15336
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