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Theorem funcres2b 15137
Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2b.a  |-  A  =  ( Base `  C
)
funcres2b.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
funcres2b.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
funcres2b.s  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
funcres2b.1  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
funcres2b.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
funcres2b  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, D, y    ph, x, y   
x, F, y    x, G, y    x, H, y   
x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem funcres2b
Dummy variables  f 
g  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4435 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
2 funcrcl 15103 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
31, 2sylbi 195 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
43simpld 459 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  C  e.  Cat )
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  ->  C  e.  Cat )
)
6 df-br 4435 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) )
7 funcrcl 15103 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) )  -> 
( C  e.  Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat ) )
86, 7sylbi 195 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  ( C  e. 
Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
)
98simpld 459 . . 3  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  C  e.  Cat )
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) G  ->  C  e.  Cat )
)
11 funcres2b.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
12 funcres2b.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
13 funcres2b.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
14 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
1512, 13, 14subcss1 15082 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  D ) )
1611, 15fssd 5727 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  D ) )
17 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`cat 
R )  =  ( D  |`cat  R )
18 subcrcl 15059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  D  e.  Cat )
1912, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
2017, 14, 19, 13, 15rescbas 15072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
2120feq3d 5706 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2211, 21mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
2316, 222thd 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A
--> ( Base `  ( D  |`cat  R ) ) ) )
25 funcres2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2625adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x G y ) : Y --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) )
27 frn 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2912ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
3013ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
31 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
3211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  F : A
--> S )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3432, 33ffvelrnd 6014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
35 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
3632, 35ffvelrnd 6014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  y )  e.  S
)
3729, 30, 31, 34, 36subcss2 15083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  C_  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
3828, 37sstrd 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
3938, 282thd 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) )  <->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4039anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) ) )
41 df-f 5579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) ) ) )
42 df-f 5579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4340, 41, 423bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) ) )
4417, 14, 19, 13, 15reschom 15073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) )
4645oveqd 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) )
4746feq3d 5706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
4843, 47bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
4948ralrimivva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
50 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
)
51 df-ov 6281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x G y )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
5250, 51syl6eqr 2500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( x G y ) )
53 vex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
54 vex 3096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5553, 54op1std 6792 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5655fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `
 x ) )
5753, 54op2ndd 6793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
5857fveq2d 5857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `
 y ) )
5956, 58oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
60 fveq2 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
61 df-ov 6281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
6260, 61syl6eqr 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
6359, 62oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
6452, 63eleq12d 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
65 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  e. 
_V
66 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x H y )  e. 
_V
6765, 66elmap 7446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  D )
( F `  y
) ) )
6864, 67syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) ) )
6956, 58oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7069, 62oveq12d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
7152, 70eleq12d 2523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
72 ovex 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  e.  _V
7372, 66elmap 7446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7471, 73syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) ) )
7568, 74bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <-> 
( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) ) )
7675ralxp 5131 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) )
7749, 76sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
78 ralbi 2972 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
7977, 78syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
80793anbi3d 1304 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A )  /\  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) ) )
81 elixp2 7472 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) ) )
82 elixp2 7472 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8380, 81, 823bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8412ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  (Subcat `  D )
)
8513ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
86 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
8711adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  F : A
--> S )
8887ffvelrnda 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  S )
8917, 84, 85, 86, 88subcid 15087 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) )
9089eqeq2d 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  <->  ( (
x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) ) )
91 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
9217, 14, 19, 13, 15, 91rescco 15075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) ) )
9392ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R )
) )
9493oveqd 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) )
9594oveqd 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  D ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) )  =  ( ( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  f ) ) )
9695eqeq2d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <-> 
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
97962ralbidv 2885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
98972ralbidv 2885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
9990, 98anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  ( ( ( x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
10099ralbidva 2877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. x  e.  A  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
10124, 83, 1003anbi123d 1298 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( F : A --> ( Base `  D )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) )  <->  ( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
102 funcres2b.a . . . . 5  |-  A  =  ( Base `  C
)
103 funcres2b.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
104 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
105 eqid 2441 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
106 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
10719adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
108102, 14, 103, 31, 104, 86, 105, 91, 106, 107isfunc 15104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  ( F : A --> ( Base `  D
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) ) ) )
109 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)
110 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
)  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
)
111 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( Id
`  ( D  |`cat  R
) )  =  ( Id `  ( D  |`cat 
R ) )
112 eqid 2441 . . . . 5  |-  (comp `  ( D  |`cat  R ) )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) )
11317, 12subccat 15088 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
114113adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( D  |`cat 
R )  e.  Cat )
115102, 109, 103, 110, 104, 111, 105, 112, 106, 114isfunc 15104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <-> 
( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
116101, 108, 1153bitr4d 285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
117116ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) ) )
1185, 10, 117pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   _Vcvv 3093    C_ wss 3459   <.cop 4017   class class class wbr 4434    X. cxp 4984   ran crn 4987    Fn wfn 5570   -->wf 5571   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   1stc1st 6780   2ndc2nd 6781    ^m cmap 7419   X_cixp 7468   Basecbs 14506   Hom chom 14582  compcco 14583   Catccat 14935   Idccid 14936    |`cat cresc 15051  Subcatcsubc 15052    Func cfunc 15094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-ixp 7469  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-4 10599  df-5 10600  df-6 10601  df-7 10602  df-8 10603  df-9 10604  df-10 10605  df-n0 10799  df-z 10868  df-dec 10982  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-hom 14595  df-cco 14596  df-cat 14939  df-cid 14940  df-homf 14941  df-ssc 15053  df-resc 15054  df-subc 15055  df-func 15098
This theorem is referenced by:  funcres2  15138  funcres2c  15141  fthres2b  15170
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