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Theorem funcres2b 15124
Description: Condition for a functor to also be a functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcres2b.a  |-  A  =  ( Base `  C
)
funcres2b.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
funcres2b.r  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
funcres2b.s  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
funcres2b.1  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
funcres2b.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
funcres2b  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, C, y    x, D, y    ph, x, y   
x, F, y    x, G, y    x, H, y   
x, R, y
Allowed substitution hints:    S( x, y)    Y( x, y)

Proof of Theorem funcres2b
Dummy variables  f 
g  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-br 4448 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
2 funcrcl 15090 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
31, 2sylbi 195 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat ) )
43simpld 459 . . 3  |-  ( F ( C  Func  D
) G  ->  C  e.  Cat )
54a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  ->  C  e.  Cat )
)
6 df-br 4448 . . . . 5  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) )
7 funcrcl 15090 . . . . 5  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  ( D  |`cat  R ) )  -> 
( C  e.  Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat ) )
86, 7sylbi 195 . . . 4  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  ( C  e. 
Cat  /\  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
)
98simpld 459 . . 3  |-  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  ->  C  e.  Cat )
109a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) G  ->  C  e.  Cat )
)
11 funcres2b.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
12 funcres2b.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
13 funcres2b.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  Fn  ( S  X.  S ) )
14 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
1512, 13, 14subcss1 15069 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  ( Base `  D ) )
16 fss 5739 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> S  /\  S  C_  ( Base `  D
) )  ->  F : A --> ( Base `  D
) )
1711, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  D ) )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  |`cat 
R )  =  ( D  |`cat  R )
19 subcrcl 15046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  D  e.  Cat )
2012, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
2118, 14, 20, 13, 15rescbas 15059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
22 feq3 5715 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  -> 
( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> S 
<->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2411, 23mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) )
2517, 242thd 240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R )
) ) )
2625adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F : A --> ( Base `  D )  <->  F : A
--> ( Base `  ( D  |`cat  R ) ) ) )
27 funcres2b.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
2827adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x G y ) : Y --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) )
29 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x G y ) : Y --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
3112ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  e.  (Subcat `  D ) )
3213ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
33 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
3411ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  F : A
--> S )
35 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  x  e.  A )
3634, 35ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
37 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  y  e.  A )
3834, 37ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( F `  y )  e.  S
)
3931, 32, 33, 36, 38subcss2 15070 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  C_  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
4030, 39sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
4140, 302thd 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) )  <->  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4241anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
( x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) ) )
43 df-f 5592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x )
( Hom  `  D ) ( F `  y
) ) ) )
44 df-f 5592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( (
x G y )  Fn  ( x H y )  /\  ran  ( x G y )  C_  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) ) ) )
4542, 43, 443bitr4g 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) ) ) )
4618, 14, 20, 13, 15reschom 15060 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  R  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  R  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) )
4847oveqd 6301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) )
49 feq3 5715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
) R ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) )  ->  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) R ( F `  y
) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) R ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
5145, 50bitrd 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
5251ralrimivva 2885 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( (
x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 y ) ) ) )
53 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
)
54 df-ov 6287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x G y )  =  ( G `  <. x ,  y >. )
5553, 54syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( G `  z )  =  ( x G y ) )
56 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
_V
57 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
5856, 57op1std 6794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 1st `  z
)  =  x )
5958fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 1st `  z ) )  =  ( F `
 x ) )
6056, 57op2ndd 6795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( 2nd `  z
)  =  y )
6160fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  ( 2nd `  z ) )  =  ( F `
 y ) )
6259, 61oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )
63 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
)
64 df-ov 6287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x H y )  =  ( H `  <. x ,  y >. )
6563, 64syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( H `  z )  =  ( x H y ) )
6662, 65oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  =  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
6755, 66eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
68 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  e. 
_V
69 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x H y )  e. 
_V
7068, 69elmap 7447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  D
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `
 x ) ( Hom  `  D )
( F `  y
) ) )
7167, 70syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) ) )
7259, 61oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  =  ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7372, 65oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) )
7455, 73eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) ) ) )
75 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  e.  _V
7675, 69elmap 7447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x G y )  e.  ( ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) )  ^m  ( x H y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) )
7774, 76syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  y ) ) ) )
7871, 77bibi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <-> 
( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) ) )
7978ralxp 5144 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <-> 
( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F `  x
) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  y ) ) ) )
8052, 79sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
81 ralbi 2993 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D )
( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `
 z ) )  <-> 
( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `  z
)  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
83823anbi3d 1305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A )  /\  A. z  e.  ( A  X.  A ) ( G `
 z )  e.  ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) )  <->  ( G  e.  _V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) ) )
84 elixp2 7473 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
) ) )
85 elixp2 7473 . . . . . 6  |-  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  <->  ( G  e. 
_V  /\  G  Fn  ( A  X.  A
)  /\  A. z  e.  ( A  X.  A
) ( G `  z )  e.  ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8683, 84, 853bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  <->  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) ) ) )
8712ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  (Subcat `  D )
)
8813ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  R  Fn  ( S  X.  S
) )
89 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
9011adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  F : A
--> S )
9190ffvelrnda 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  S )
9218, 87, 88, 89, 91subcid 15074 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) )
9392eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  <->  ( (
x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) ) ) )
94 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
9518, 14, 20, 13, 15, 94rescco 15062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) ) )
9695ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (comp `  D )  =  (comp `  ( D  |`cat  R )
) )
9796oveqd 6301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) )  =  (
<. ( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) )
9897oveqd 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  D ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) )  =  ( ( ( y G z ) `  g
) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y ) >. (comp `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  z ) ) ( ( x G y ) `  f ) ) )
9998eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <-> 
( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
100992ralbidv 2908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
1011002ralbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) )  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  (
x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  (
g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <.
( F `  x
) ,  ( F `
 y ) >.
(comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) )
10293, 101anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  Cat )  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  D
) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  ( ( ( x G x ) `
 ( ( Id
`  C ) `  x ) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
103102ralbidva 2900 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( A. x  e.  A  (
( ( x G x ) `  (
( Id `  C
) `  x )
)  =  ( ( Id `  D ) `
 ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) )  <->  A. x  e.  A  ( ( ( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `  x
) )  =  ( ( Id `  ( D  |`cat  R ) ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) )
10426, 86, 1033anbi123d 1299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( ( F : A --> ( Base `  D )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  D ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) )  <->  ( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A
) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( H `  z ) )  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
105 funcres2b.a . . . . 5  |-  A  =  ( Base `  C
)
106 funcres2b.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
107 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
108 eqid 2467 . . . . 5  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
109 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  C  e. 
Cat )
11020adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  D  e. 
Cat )
111105, 14, 106, 33, 107, 89, 108, 94, 109, 110isfunc 15091 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  ( F : A --> ( Base `  D
)  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  D
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  D ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  D )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 f ) ) ) ) ) )
112 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)  =  ( Base `  ( D  |`cat  R )
)
113 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
)  =  ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
)
114 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Id
`  ( D  |`cat  R
) )  =  ( Id `  ( D  |`cat 
R ) )
115 eqid 2467 . . . . 5  |-  (comp `  ( D  |`cat  R ) )  =  (comp `  ( D  |`cat  R ) )
11618, 12subccat 15075 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D  |`cat  R )  e.  Cat )
117116adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( D  |`cat 
R )  e.  Cat )
118105, 112, 106, 113, 107, 114, 108, 115, 109, 117isfunc 15091 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) G  <-> 
( F : A --> ( Base `  ( D  |`cat  R ) )  /\  G  e.  X_ z  e.  ( A  X.  A ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  ( D  |`cat  R )
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  ( H `  z )
)  /\  A. x  e.  A  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  C ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  ( D  |`cat  R
) ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  A  A. z  e.  A  A. f  e.  ( x H y ) A. g  e.  ( y H z ) ( ( x G z ) `  ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f ) )  =  ( ( ( y G z ) `  g ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  ( D  |`cat  R ) ) ( F `
 z ) ) ( ( x G y ) `  f
) ) ) ) ) )
119104, 111, 1183bitr4d 285 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  Cat )  ->  ( F ( C  Func  D
) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
120119ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) ) )
1215, 10, 120pm5.21ndd 354 1  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  ( D  |`cat  R
) ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   <.cop 4033   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   ran crn 5000    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1stc1st 6782   2ndc2nd 6783    ^m cmap 7420   X_cixp 7469   Basecbs 14490   Hom chom 14566  compcco 14567   Catccat 14919   Idccid 14920    |`cat cresc 15038  Subcatcsubc 15039    Func cfunc 15081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-hom 14579  df-cco 14580  df-cat 14923  df-cid 14924  df-homf 14925  df-ssc 15040  df-resc 15041  df-subc 15042  df-func 15085
This theorem is referenced by:  funcres2  15125  funcres2c  15128  fthres2b  15157
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