Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcres2 Structured version   Unicode version

Theorem funcres2 14907
 Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcres2 Subcat cat

Proof of Theorem funcres2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfunc 14871 . . 3 cat
21a1i 11 . 2 Subcat cat
3 simpr 461 . . . . 5 Subcat cat cat
4 eqid 2451 . . . . . 6
5 eqid 2451 . . . . . 6
6 simpl 457 . . . . . 6 Subcat cat Subcat
7 eqidd 2452 . . . . . . 7 Subcat cat
86, 7subcfn 14850 . . . . . 6 Subcat cat
9 eqid 2451 . . . . . . . 8 cat cat
104, 9, 3funcf1 14875 . . . . . . 7 Subcat cat cat
11 eqid 2451 . . . . . . . . 9 cat cat
12 eqid 2451 . . . . . . . . 9
13 subcrcl 14828 . . . . . . . . . 10 Subcat
1413adantr 465 . . . . . . . . 9 Subcat cat
156, 8, 12subcss1 14851 . . . . . . . . 9 Subcat cat
1611, 12, 14, 8, 15rescbas 14841 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
17 feq3 5639 . . . . . . . 8 cat cat
1816, 17syl 16 . . . . . . 7 Subcat cat cat
1910, 18mpbird 232 . . . . . 6 Subcat cat
20 eqid 2451 . . . . . . . 8 cat cat
21 simplr 754 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
22 simprl 755 . . . . . . . 8 Subcat cat
23 simprr 756 . . . . . . . 8 Subcat cat
244, 5, 20, 21, 22, 23funcf2 14877 . . . . . . 7 Subcat cat cat
2511, 12, 14, 8, 15reschom 14842 . . . . . . . . . 10 Subcat cat cat
2625adantr 465 . . . . . . . . 9 Subcat cat cat
2726oveqd 6204 . . . . . . . 8 Subcat cat cat
28 feq3 5639 . . . . . . . 8 cat cat
2927, 28syl 16 . . . . . . 7 Subcat cat cat
3024, 29mpbird 232 . . . . . 6 Subcat cat
314, 5, 6, 8, 19, 30funcres2b 14906 . . . . 5 Subcat cat cat
323, 31mpbird 232 . . . 4 Subcat cat
3332ex 434 . . 3 Subcat cat
34 df-br 4388 . . 3 cat cat
35 df-br 4388 . . 3
3633, 34, 353imtr3g 269 . 2 Subcat cat
372, 36relssdv 5027 1 Subcat cat
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758   wss 3423  cop 3978   class class class wbr 4387   cdm 4935   wrel 4940  wf 5509  cfv 5513  (class class class)co 6187  cbs 14273   chom 14348  ccat 14701   cat cresc 14820  Subcatcsubc 14821   cfunc 14863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-map 7313  df-pm 7314  df-ixp 7361  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-10 10486  df-n0 10678  df-z 10745  df-dec 10854  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-hom 14361  df-cco 14362  df-cat 14705  df-cid 14706  df-homf 14707  df-ssc 14822  df-resc 14823  df-subc 14824  df-func 14867 This theorem is referenced by:  fthres2  14941  ressffth  14947  funcsetcres2  15060
 Copyright terms: Public domain W3C validator