Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | relfunc 15822 |
. 2
   |
2 | | relfunc 15822 |
. 2
   |
3 | | funcpropd.1 |
. . . . . 6
 
f   
f     |
4 | | funcpropd.2 |
. . . . . 6
 compf  compf    |
5 | | funcpropd.a |
. . . . . 6
   |
6 | | funcpropd.b |
. . . . . 6
   |
7 | 3, 4, 5, 6 | catpropd 15669 |
. . . . 5
     |
8 | | funcpropd.3 |
. . . . . 6
 
f   
f     |
9 | | funcpropd.4 |
. . . . . 6
 compf  compf    |
10 | | funcpropd.c |
. . . . . 6
   |
11 | | funcpropd.d |
. . . . . 6
   |
12 | 8, 9, 10, 11 | catpropd 15669 |
. . . . 5
     |
13 | 7, 12 | anbi12d 722 |
. . . 4
  


    |
14 | | fveq2 5892 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
15 | 14 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . 13
                   |
16 | | fveq2 5892 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
17 | 16 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . 13
                   |
18 | 15, 17 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                 |
19 | | fveq2 5892 |
. . . . . . . . . . . 12
  
              |
20 | 18, 19 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . . . 11
                          
                                        |
21 | 20 | cbvixpv 7571 |
. . . . . . . . . 10
                                     
                                           
       |
22 | 21 | eleq2i 2532 |
. . . . . . . . 9
                                      
                                           
        |
23 | 22 | anbi2i 705 |
. . . . . . . 8
                                                   
                   
                                     
         |
24 | 3 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                                     
              f    f     |
25 | 4 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                                     
             compf  compf    |
26 | 5 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                                     
               |
27 | 6 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                                     
               |
28 | 24, 25, 26, 27 | cidpropd 15670 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                     
                       |
29 | 28 | fveq1d 5894 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                     
                               |
30 | 29 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . 11
                                                     
                                               |
31 | 8, 9, 10, 11 | cidpropd 15670 |
. . . . . . . . . . . . 13
           |
32 | 31 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                     
                       |
33 | 32 | fveq1d 5894 |
. . . . . . . . . . 11
                                                     
                                       |
34 | 30, 33 | eqeq12d 2477 |
. . . . . . . . . 10
                                                     
                                         
                               |
35 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
         |
36 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
       |
37 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
comp  comp   |
38 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
comp  comp   |
39 | 3 | ad6antr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
 f    f     |
40 | 4 | ad6antr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
compf  compf    |
41 | | simp-5r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
      |
42 | | simp-4r 782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
      |
43 | | simpllr 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
      |
44 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
         |
45 | | simpr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
         |
46 | 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45 | comfeqval 15668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
       comp             comp        |
47 | 46 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                                                         
                                      
              comp                     comp         |
48 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
         |
49 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       |
50 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
comp  comp   |
51 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
comp  comp   |
52 | 8 | ad6antr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
 f    f     |
53 | 9 | ad6antr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
compf  compf    |
54 | | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
 
            
                                     
                      |
55 | 54 | ad5antr 745 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
              |
56 | 55, 41 | ffvelrnd 6051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
          |
57 | 55, 42 | ffvelrnd 6051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
          |
58 | 55, 43 | ffvelrnd 6051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
          |
59 | | df-ov 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
            |
60 | | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 
            
                                     
                                             
        |
61 | 60 | ad3antrrr 741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
                 
                                     
                                                            
        |
62 | 61 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
     
            
                                     
                              
                                     
        |
63 | | simp-4r 782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
     
            
                                     
                              
      |
64 | | simpllr 774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
     
            
                                     
                              
      |
65 | | opelxpi 4888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
                          |
66 | 63, 64, 65 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
     
            
                                     
                              
  
            |
67 | | vex 3060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
 |
68 | | vex 3060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
 |
69 | 67, 68 | op1std 6835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
          |
70 | 69 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                  |
71 | 67, 68 | op2ndd 6836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
          |
72 | 71 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                  |
73 | 70, 72 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
                                            |
74 | | fveq2 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                       |
75 | | df-ov 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                  |
76 | 74, 75 | syl6eqr 2514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
                    |
77 | 73, 76 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
                                                              |
78 | 77 | fvixp 7558 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
                                       
                   
      
                          |
79 | 62, 66, 78 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
     
            
                                     
                              
      
                          |
80 | 59, 79 | syl5eqel 2544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
     
            
                                     
                              
                              |
81 | | elmapi 7524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
                            
                                |
82 | 80, 81 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
     
            
                                     
                              
                                |
83 | 82 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                         
                                      
                                |
84 | 83, 44 | ffvelrnd 6051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
                         |
85 | | df-ov 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
            |
86 | | opelxpi 4888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
                          |
87 | 86 | adantll 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
                 
                                     
                                      |
88 | | vex 3060 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
 |
89 | 68, 88 | op1std 6835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
          |
90 | 89 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                  |
91 | 68, 88 | op2ndd 6836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
          |
92 | 91 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                  |
93 | 90, 92 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
                                            |
94 | | fveq2 5892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                       |
95 | | df-ov 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
                  |
96 | 94, 95 | syl6eqr 2514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
                    |
97 | 93, 96 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
                                                              |
98 | 97 | fvixp 7558 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
                                       
                   
      
                          |
99 | 61, 87, 98 | syl2anc 671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
                 
                                     
                                                        |
100 | 85, 99 | syl5eqel 2544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
                 
                                     
                                                     |
101 | | elmapi 7524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
                            
                                |
102 | 100, 101 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
                 
                                     
                                                       |
103 | 102 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
     
            
                                     
                              
                                |
104 | 103 | ffvelrnda 6050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
                                                         
                                      
                         |
105 | 48, 49, 50, 51, 52, 53, 56, 57, 58, 84, 104 | comfeqval 15668 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                                                         
                                      
                       comp                                         comp                    |
106 | 47, 105 | eqeq12d 2477 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                                         
                                      
               comp                              comp                                comp                              comp                     |
107 | 106 | ralbidva 2836 |
. . . . . . . . . . . . . 14
     
            
                                     
                              
 
  
                   comp                              comp                  
                      comp                              comp                     |
108 | 107 | ralbidva 2836 |
. . . . . . . . . . . . 13
                 
                                     
                        
        
  
                   comp                              comp                  
        
  
                   comp                              comp                     |
109 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       |
110 | 24 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 
                                     
                        f    f     |
111 | | simpllr 774 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 
                                     
                             |
112 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 
                                     
                             |
113 | 35, 36, 109, 110, 111, 112 | homfeqval 15657 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                 
                                     
                                       |
114 | | simpr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                 
                                     
                             |
115 | 35, 36, 109, 110, 112, 114 | homfeqval 15657 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                 
                                     
                                       |
116 | 115 | raleqdv 3005 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                 
                                     
                        
                      comp                              comp                  
                      comp                              comp                     |
117 | 113, 116 | raleqbidv 3013 |
. . . . . . . . . . . . 13
                 
                                     
                        
        
  
                   comp                              comp                  
        
  
                   comp                              comp                     |
118 | 108, 117 | bitrd 261 |
. . . . . . . . . . . 12
                 
                                     
                        
        
  
                   comp                              comp                  
        
  
                   comp                              comp                     |
119 | 118 | ralbidva 2836 |
. . . . . . . . . . 11
                
                                     
                   
     
  
                            comp                              comp                  
     
  
                            comp                              comp                     |
120 | 119 | ralbidva 2836 |
. . . . . . . . . 10
                                                     
              
     
                                     comp                              comp                  
     
                                     comp                              comp                     |
121 | 34, 120 | anbi12d 722 |
. . . . . . . . 9
                                                     
                                                                                       comp                              comp                                               
                                            comp                              comp                      |
122 | 121 | ralbidva 2836 |
. . . . . . . 8
 
            
                                     
         
                                                                              comp                              comp                                                                                                  comp                              comp                      |
123 | 23, 122 | sylan2b 482 |
. . . . . . 7
 
            
                                     
         
                                                                              comp                              comp                                                                                                  comp                              comp                      |
124 | 123 | pm5.32da 651 |
. . . . . 6
               
                                     
                                         
                                            comp                              comp                   
                                                   
                                         
                                            comp                              comp                       |
125 | | eqid 2462 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       |
126 | 8 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                            f
   f
    |
127 | | simplr 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                         |
128 | | xp1st 6855 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                     |
129 | 128 | adantl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                     |
130 | 127, 129 | ffvelrnd 6051 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                         |
131 | | xp2nd 6856 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                     |
132 | 131 | adantl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                     |
133 | 127, 132 | ffvelrnd 6051 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                         |
134 | 48, 49, 125, 126, 130, 133 | homfeqval 15657 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                                           |
135 | 3 | ad2antrr 737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                            f
   f
    |
136 | 35, 36, 109, 135, 129, 132 | homfeqval 15657 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                                           |
137 | | df-ov 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                  |
138 | | df-ov 6323 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                  |
139 | 136, 137,
138 | 3eqtr3g 2519 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                                                 |
140 | | 1st2nd2 6862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
                        |
141 | 140 | adantl 472 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                        |
142 | 141 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                                      |
143 | 141 | fveq2d 5896 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                                      |
144 | 139, 142,
143 | 3eqtr4d 2506 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                           |
145 | 134, 144 | oveq12d 6338 |
. . . . . . . . . . . 12
                                                                                             |
146 | 145 | ixpeq2dva 7568 |
. . . . . . . . . . 11
 
            
                                     
                                           
        |
147 | 3 | homfeqbas 15656 |
. . . . . . . . . . . . . 14
           |
148 | 147 | sqxpeqd 4882 |
. . . . . . . . . . . . 13
                       |
149 | 148 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . . 12
 
            
                      |
150 | 149 | ixpeq1d 7565 |
. . . . . . . . . . 11
 
            
                                     
                                           
        |
151 | 146, 150 | eqtrd 2496 |
. . . . . . . . . 10
 
            
                                     
                                           
        |
152 | 151 | eleq2d 2525 |
. . . . . . . . 9
 
            
                                      
                                           
         |
153 | 152 | pm5.32da 651 |
. . . . . . . 8
              
                                     
                   
                                     
          |
154 | 8 | homfeqbas 15656 |
. . . . . . . . . 10
           |
155 | 147, 154 | feq23d 5750 |
. . . . . . . . 9
                             |
156 | 155 | anbi1d 716 |
. . . . . . . 8
              
                                     
                   
                                     
          |
157 | 153, 156 | bitrd 261 |
. . . . . . 7
              
                                     
                   
                                     
          |
158 | 147 | adantr 471 |
. . . . . . . . . 10
 
    
          |
159 | 158 | raleqdv 3005 |
. . . . . . . . . 10
 
    
 
                                     comp                              comp                  
     
  
                            comp                              comp                     |
160 | 158, 159 | raleqbidv 3013 |
. . . . . . . . 9
 
    
 
                                           comp                              comp                  
     
                                     comp                              comp                     |
161 | 160 | anbi2d 715 |
. . . . . . . 8
 
    
                                                                          comp                              comp                                               
                                            comp                              comp                      |
162 | 147, 161 | raleqbidva 3015 |
. . . . . . 7
                                    
                                            comp                              comp                                                                                                  comp                              comp                      |
163 | 157, 162 | anbi12d 722 |
. . . . . 6
               
                                     
                                         
                                            comp                              comp                   
                                                   
                                         
                                            comp                              comp                       |
164 | 124, 163 | bitrd 261 |
. . . . 5
               
                                     
                                         
                      |