Theorem funcnvsn 5468

Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5471 via cnvsn 5327, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on A and B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvsn	|- Fun `' { <. A , B >. }

Proof of Theorem funcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5211	. 2 |- Rel `' { <. A , B >. }
2		moeq 3140	. . . 4 |- E* y y = A
3		vex 2980	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		vex 2980	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	3, 4	brcnv 5027	. . . . . . 7 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> y { <. A , B >. } x )
6		df-br 4298	. . . . . . 7 |- ( y { <. A , B >. } x <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
7	5, 6	bitri 249	. . . . . 6 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3907	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> <. y , x >. = <. A , B >. )
9	4, 3	opth1 4570	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. -> y = A )
10	8, 9	syl 16	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> y = A )
11	7, 10	sylbi 195	. . . . 5 |- ( x `' { <. A , B >. } y -> y = A )
12	11	moimi 2320	. . . 4 |- ( E* y y = A -> E* y x `' { <. A , B >. } y )
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 |- E* y x `' { <. A , B >. } y
14	13	ax-gen 1591	. 2 |- A. x E* y x `' { <. A , B >. } y
15		dffun6 5438	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. } <-> ( Rel `' { <. A , B >. } /\ A. x E* y x `' { <. A , B >. } y ) )
16	1, 14, 15	mpbir2an 911	1 |- Fun `' { <. A , B >. }

Syntax hints:   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   E*wmo 2254   {csn 3882   <.cop 3888   class class class wbr 4297   `'ccnv 4844   Rel wrel 4850   Fun wfun 5417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-br 4298  df-opab 4356  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-fun 5425

This theorem is referenced by:  funsng  5469  strlemor1  14270  0spth  23475  2pthlem1  23499