MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvsn Structured version   Unicode version

Theorem funcnvsn 5468
Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5471 via cnvsn 5327, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on  A and  B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
funcnvsn  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }

Proof of Theorem funcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5211 . 2  |-  Rel  `' { <. A ,  B >. }
2 moeq 3140 . . . 4  |-  E* y 
y  =  A
3 vex 2980 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4 vex 2980 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
53, 4brcnv 5027 . . . . . . 7  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  y { <. A ,  B >. } x )
6 df-br 4298 . . . . . . 7  |-  ( y { <. A ,  B >. } x  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
75, 6bitri 249 . . . . . 6  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
8 elsni 3907 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  <. y ,  x >.  =  <. A ,  B >. )
94, 3opth1 4570 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. A ,  B >.  -> 
y  =  A )
108, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  y  =  A )
117, 10sylbi 195 . . . . 5  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  ->  y  =  A )
1211moimi 2320 . . . 4  |-  ( E* y  y  =  A  ->  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y )
132, 12ax-mp 5 . . 3  |-  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
1413ax-gen 1591 . 2  |-  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
15 dffun6 5438 . 2  |-  ( Fun  `' { <. A ,  B >. }  <->  ( Rel  `' { <. A ,  B >. }  /\  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y ) )
161, 14, 15mpbir2an 911 1  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   E*wmo 2254   {csn 3882   <.cop 3888   class class class wbr 4297   `'ccnv 4844   Rel wrel 4850   Fun wfun 5417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-br 4298  df-opab 4356  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-fun 5425
This theorem is referenced by:  funsng  5469  strlemor1  14270  0spth  23475  2pthlem1  23499
  Copyright terms: Public domain W3C validator