Theorem funcnvsn 5630

Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5633 via cnvsn 5322, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on A and B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvsn	|- Fun `' { <. A , B >. }

Proof of Theorem funcnvsn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5210	. 2 |- Rel `' { <. A , B >. }
2		moeq 3216	. . . 4 |- E* y y = A
3		vex 3050	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4		vex 3050	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	3, 4	brcnv 5020	. . . . . . 7 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> y { <. A , B >. } x )
6		df-br 4406	. . . . . . 7 |- ( y { <. A , B >. } x <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
7	5, 6	bitri 253	. . . . . 6 |- ( x `' { <. A , B >. } y <-> <. y , x >. e. { <. A , B >. } )
8		elsni 3995	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> <. y , x >. = <. A , B >. )
9	4, 3	opth1 4678	. . . . . . 7 |- ( <. y , x >. = <. A , B >. -> y = A )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. { <. A , B >. } -> y = A )
11	7, 10	sylbi 199	. . . . 5 |- ( x `' { <. A , B >. } y -> y = A )
12	11	moimi 2351	. . . 4 |- ( E* y y = A -> E* y x `' { <. A , B >. } y )
13	2, 12	ax-mp 5	. . 3 |- E* y x `' { <. A , B >. } y
14	13	ax-gen 1671	. 2 |- A. x E* y x `' { <. A , B >. } y
15		dffun6 5600	. 2 |- ( Fun `' { <. A , B >. } <-> ( Rel `' { <. A , B >. } /\ A. x E* y x `' { <. A , B >. } y ) )
16	1, 14, 15	mpbir2an 932	1 |- Fun `' { <. A , B >. }

Syntax hints:   A.wal 1444   = wceq 1446   e. wcel 1889   E*wmo 2302   {csn 3970   <.cop 3976   class class class wbr 4405   `'ccnv 4836   Rel wrel 4842   Fun wfun 5579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-fun 5587

This theorem is referenced by:  funsng  5631  funcnvpr  5642  funcnvtp  5643  funcnvs1  13010  strlemor1  15229  0spth  25313  2pthlem1  25337  0spth-av  39730  2pthdlem1  39755