MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnvsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem funcnvsn 5630
Description: The converse singleton of an ordered pair is a function. This is equivalent to funsn 5633 via cnvsn 5322, but stating it this way allows us to skip the sethood assumptions on  A and  B. (Contributed by NM, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
funcnvsn  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }

Proof of Theorem funcnvsn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5210 . 2  |-  Rel  `' { <. A ,  B >. }
2 moeq 3216 . . . 4  |-  E* y 
y  =  A
3 vex 3050 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4 vex 3050 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
53, 4brcnv 5020 . . . . . . 7  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  y { <. A ,  B >. } x )
6 df-br 4406 . . . . . . 7  |-  ( y { <. A ,  B >. } x  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
75, 6bitri 253 . . . . . 6  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  <->  <. y ,  x >.  e.  { <. A ,  B >. } )
8 elsni 3995 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  <. y ,  x >.  =  <. A ,  B >. )
94, 3opth1 4678 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  x >.  = 
<. A ,  B >.  -> 
y  =  A )
108, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e. 
{ <. A ,  B >. }  ->  y  =  A )
117, 10sylbi 199 . . . . 5  |-  ( x `' { <. A ,  B >. } y  ->  y  =  A )
1211moimi 2351 . . . 4  |-  ( E* y  y  =  A  ->  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y )
132, 12ax-mp 5 . . 3  |-  E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
1413ax-gen 1671 . 2  |-  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y
15 dffun6 5600 . 2  |-  ( Fun  `' { <. A ,  B >. }  <->  ( Rel  `' { <. A ,  B >. }  /\  A. x E* y  x `' { <. A ,  B >. } y ) )
161, 14, 15mpbir2an 932 1  |-  Fun  `' { <. A ,  B >. }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   A.wal 1444    = wceq 1446    e. wcel 1889   E*wmo 2302   {csn 3970   <.cop 3976   class class class wbr 4405   `'ccnv 4836   Rel wrel 4842   Fun wfun 5579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-br 4406  df-opab 4465  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-fun 5587
This theorem is referenced by:  funsng  5631  funcnvpr  5642  funcnvtp  5643  funcnvs1  13010  strlemor1  15229  0spth  25313  2pthlem1  25337  0spth-av  39730  2pthdlem1  39755
  Copyright terms: Public domain W3C validator