Theorem funcnv3 4476

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 4475).

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 4149	. . . . . 6 |- ran A = {y | E.x xAy}
2	1	abeq2i 2001	. . . . 5 |- (y e. ran A <-> E.x xAy)
3	2	biimpi 168	. . . 4 |- (y e. ran A -> E.x xAy)
4	3	biantrurd 796	. . 3 |- (y e. ran A -> (E*x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy)))
5	4	ralbiia 2133	. 2 |- (A.y e. ran AE*x xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
6		funcnv 4475	. 2 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE*x xAy)
7		df-reu 2111	. . . 4 |- (E!x e. dom A xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
8		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
9	8	breldm 4161	. . . . . 6 |- (xAy -> x e. dom A)
10	9	pm4.71ri 700	. . . . 5 |- (xAy <-> (x e. dom A /\ xAy))
11	10	eubii 1780	. . . 4 |- (E!x xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
12		eu5 1805	. . . 4 |- (E!x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
13	7, 11, 12	3bitr2i 196	. . 3 |- (E!x e. dom A xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
14	13	ralbii 2127	. 2 |- (A.y e. ran AE!x e. dom A xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
15	5, 6, 14	3bitr4i 200	1 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  E.wex 1326  E!weu 1771  E*wmo 1772  A.wral 2105  E!wreu 2107   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  Fun wfun 3992

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-reu 2111  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain