MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnv3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem funcnv3 5644
Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 5643). (Contributed by NM, 26-May-2006.)
Assertion
Ref Expression
funcnv3  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem funcnv3
StepHypRef Expression
1 dfrn2 5023 . . . . . 6  |-  ran  A  =  { y  |  E. x  x A y }
21abeq2i 2563 . . . . 5  |-  ( y  e.  ran  A  <->  E. x  x A y )
32biimpi 198 . . . 4  |-  ( y  e.  ran  A  ->  E. x  x A
y )
43biantrurd 511 . . 3  |-  ( y  e.  ran  A  -> 
( E* x  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) ) )
54ralbiia 2818 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E* x  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
6 funcnv 5643 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E* x  x A y )
7 df-reu 2744 . . . 4  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  E! x
( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
8 vex 3048 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
9 vex 3048 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
108, 9breldm 5039 . . . . . 6  |-  ( x A y  ->  x  e.  dom  A )
1110pm4.71ri 639 . . . . 5  |-  ( x A y  <->  ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
1211eubii 2321 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
E! x ( x  e.  dom  A  /\  x A y ) )
13 eu5 2325 . . . 4  |-  ( E! x  x A y  <-> 
( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
147, 12, 133bitr2i 277 . . 3  |-  ( E! x  e.  dom  A  x A y  <->  ( E. x  x A y  /\  E* x  x A
y ) )
1514ralbii 2819 . 2  |-  ( A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y  <->  A. y  e.  ran  A ( E. x  x A y  /\  E* x  x A y ) )
165, 6, 153bitr4i 281 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y  e.  ran  A E! x  e.  dom  A  x A y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    /\ wa 371   E.wex 1663    e. wcel 1887   E!weu 2299   E*wmo 2300   A.wral 2737   E!wreu 2739   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   Fun wfun 5576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-br 4403  df-opab 4462  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-fun 5584
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator