Theorem funcnv3 3633

Description: A condition showing a class is single-rooted. (See funcnv 3632).

Assertion

Ref	Expression
funcnv3	|- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem funcnv3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrn2 3367	. . . . . 6 |- ran A = {y | E.x xAy}
2	1	abeq2i 1607	. . . . 5 |- (y e. ran A <-> E.x xAy)
3	2	biimpi 149	. . . 4 |- (y e. ran A -> E.x xAy)
4	3	biantrurd 730	. . 3 |- (y e. ran A -> (E*x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy)))
5	4	ralbiia 1711	. 2 |- (A.y e. ran AE*x xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
6		funcnv 3632	. 2 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE*x xAy)
7		df-reu 1689	. . . 4 |- (E!x e. dom A xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
8		visset 1851	. . . . . . 7 |- x e. V
9	8	breldm 3379	. . . . . 6 |- (xAy -> x e. dom A)
10	9	pm4.71ri 640	. . . . 5 |- (xAy <-> (x e. dom A /\ xAy))
11	10	eubii 1420	. . . 4 |- (E!x xAy <-> E!x(x e. dom A /\ xAy))
12		eu5 1442	. . . 4 |- (E!x xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
13	7, 11, 12	3bitr2i 177	. . 3 |- (E!x e. dom A xAy <-> (E.x xAy /\ E*x xAy))
14	13	ralbii 1705	. 2 |- (A.y e. ran AE!x e. dom A xAy <-> A.y e. ran A(E.x xAy /\ E*x xAy))
15	5, 6, 14	3bitr4i 181	1 |- (Fun `'A <-> A.y e. ran AE!x e. dom A xAy)

Syntax hints:   <-> wb 144   /\ wa 221   e. wcel 990  E.wex 1012  E!weu 1413  E*wmo 1414  A.wral 1683  E!wreu 1685   class class class wbr 2669  `'ccnv 3224  dom cdm 3225  ran crn 3226  Fun wfun 3231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-ral 1687  df-reu 1689  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-fun 3247

Copyright terms: Public domain