MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnv2 Structured version   Unicode version

Theorem funcnv2 5577
Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5578). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
funcnv2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  x A y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem funcnv2
StepHypRef Expression
1 relcnv 5306 . . 3  |-  Rel  `' A
2 dffun6 5533 . . 3  |-  ( Fun  `' A  <->  ( Rel  `' A  /\  A. y E* x  y `' A x ) )
31, 2mpbiran 909 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  y `' A x )
4 vex 3073 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
5 vex 3073 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
64, 5brcnv 5122 . . . 4  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
76mobii 2286 . . 3  |-  ( E* x  y `' A x 
<->  E* x  x A y )
87albii 1611 . 2  |-  ( A. y E* x  y `' A x  <->  A. y E* x  x A
y )
93, 8bitri 249 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  x A y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184   A.wal 1368   E*wmo 2261   class class class wbr 4392   `'ccnv 4939   Rel wrel 4945   Fun wfun 5512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-fun 5520
This theorem is referenced by:  funcnv  5578  fun2cnv  5580  fun11  5583  dff12  5705  1stconst  6763  2ndconst  6764
  Copyright terms: Public domain W3C validator