MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcnv2 Structured version   Unicode version

Theorem funcnv2 5555
Description: A simpler equivalence for single-rooted (see funcnv 5556). (Contributed by NM, 9-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
funcnv2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  x A y )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem funcnv2
StepHypRef Expression
1 relcnv 5287 . . 3  |-  Rel  `' A
2 dffun6 5511 . . 3  |-  ( Fun  `' A  <->  ( Rel  `' A  /\  A. y E* x  y `' A x ) )
31, 2mpbiran 916 . 2  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  y `' A x )
4 vex 3037 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
5 vex 3037 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
64, 5brcnv 5098 . . . 4  |-  ( y `' A x  <->  x A
y )
76mobii 2243 . . 3  |-  ( E* x  y `' A x 
<->  E* x  x A y )
87albii 1648 . 2  |-  ( A. y E* x  y `' A x  <->  A. y E* x  x A
y )
93, 8bitri 249 1  |-  ( Fun  `' A  <->  A. y E* x  x A y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184   A.wal 1397   E*wmo 2219   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   Rel wrel 4918   Fun wfun 5490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-fun 5498
This theorem is referenced by:  funcnv  5556  fun2cnv  5558  fun11  5561  dff12  5688  1stconst  6787  2ndconst  6788
  Copyright terms: Public domain W3C validator