Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcid Unicode version

Theorem funcid 14022
 Description: A functor maps each identity to the corresponding identity in the target category. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcid.b
funcid.1
funcid.i
funcid.f
funcid.x
Assertion
Ref Expression
funcid

Proof of Theorem funcid
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcid.x . 2
2 funcid.f . . . . 5
3 funcid.b . . . . . 6
4 eqid 2404 . . . . . 6
5 eqid 2404 . . . . . 6
6 eqid 2404 . . . . . 6
7 funcid.1 . . . . . 6
8 funcid.i . . . . . 6
9 eqid 2404 . . . . . 6 comp comp
10 eqid 2404 . . . . . 6 comp comp
11 df-br 4173 . . . . . . . . 9
122, 11sylib 189 . . . . . . . 8
13 funcrcl 14015 . . . . . . . 8
1412, 13syl 16 . . . . . . 7
1514simpld 446 . . . . . 6
1614simprd 450 . . . . . 6
173, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, 16isfunc 14016 . . . . 5 comp comp
182, 17mpbid 202 . . . 4 comp comp
1918simp3d 971 . . 3 comp comp
20 simpl 444 . . . 4 comp comp
2120ralimi 2741 . . 3 comp comp
2219, 21syl 16 . 2
23 id 20 . . . . . 6
2423, 23oveq12d 6058 . . . . 5
25 fveq2 5687 . . . . 5
2624, 25fveq12d 5693 . . . 4
27 fveq2 5687 . . . . 5
2827fveq2d 5691 . . . 4
2926, 28eqeq12d 2418 . . 3
3029rspcv 3008 . 2
311, 22, 30sylc 58 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cop 3777   class class class wbr 4172   cxp 4835  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  c1st 6306  c2nd 6307   cmap 6977  cixp 7022  cbs 13424   chom 13495  compcco 13496  ccat 13844  ccid 13845   cfunc 14006 This theorem is referenced by:  funcsect  14024  funcoppc  14027  cofucl  14040  funcres  14048  fthsect  14077  catcisolem  14216  prfcl  14255  evlfcl  14274  curf1cl  14280  curfcl  14284  curfuncf  14290  yonedainv  14333 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-ixp 7023  df-func 14010
 Copyright terms: Public domain W3C validator