MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcf1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem funcf1 15783
Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
funcf1.b  |-  B  =  ( Base `  D
)
funcf1.c  |-  C  =  ( Base `  E
)
funcf1.f  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
Assertion
Ref Expression
funcf1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )

Proof of Theorem funcf1
Dummy variables  m  n  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcf1.f . . 3  |-  ( ph  ->  F ( D  Func  E ) G )
2 funcf1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  D
)
3 funcf1.c . . . 4  |-  C  =  ( Base `  E
)
4 eqid 2453 . . . 4  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
5 eqid 2453 . . . 4  |-  ( Hom  `  E )  =  ( Hom  `  E )
6 eqid 2453 . . . 4  |-  ( Id
`  D )  =  ( Id `  D
)
7 eqid 2453 . . . 4  |-  ( Id
`  E )  =  ( Id `  E
)
8 eqid 2453 . . . 4  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
9 eqid 2453 . . . 4  |-  (comp `  E )  =  (comp `  E )
10 df-br 4406 . . . . . . 7  |-  ( F ( D  Func  E
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( D 
Func  E ) )
111, 10sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( D  Func  E
) )
12 funcrcl 15780 . . . . . 6  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( D  Func  E
)  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e. 
Cat ) )
1311, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D  e.  Cat  /\  E  e.  Cat )
)
1413simpld 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
1513simprd 465 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  Cat )
162, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15isfunc 15781 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( D 
Func  E ) G  <->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `
 ( 1st `  z
) ) ( Hom  `  E ) ( F `
 ( 2nd `  z
) ) )  ^m  ( ( Hom  `  D
) `  z )
)  /\  A. x  e.  B  ( (
( x G x ) `  ( ( Id `  D ) `
 x ) )  =  ( ( Id
`  E ) `  ( F `  x ) )  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) A. n  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  E )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 m ) ) ) ) ) )
171, 16mpbid 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( F : B --> C  /\  G  e.  X_ z  e.  ( B  X.  B ) ( ( ( F `  ( 1st `  z ) ) ( Hom  `  E
) ( F `  ( 2nd `  z ) ) )  ^m  (
( Hom  `  D ) `
 z ) )  /\  A. x  e.  B  ( ( ( x G x ) `
 ( ( Id
`  D ) `  x ) )  =  ( ( Id `  E ) `  ( F `  x )
)  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  A. m  e.  ( x ( Hom  `  D ) y ) A. n  e.  ( y ( Hom  `  D
) z ) ( ( x G z ) `  ( n ( <. x ,  y
>. (comp `  D )
z ) m ) )  =  ( ( ( y G z ) `  n ) ( <. ( F `  x ) ,  ( F `  y )
>. (comp `  E )
( F `  z
) ) ( ( x G y ) `
 m ) ) ) ) )
1817simp1d 1021 1  |-  ( ph  ->  F : B --> C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   <.cop 3976   class class class wbr 4405    X. cxp 4835   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   1stc1st 6796   2ndc2nd 6797    ^m cmap 7477   X_cixp 7527   Basecbs 15133   Hom chom 15213  compcco 15214   Catccat 15582   Idccid 15583    Func cfunc 15771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7479  df-ixp 7528  df-func 15775
This theorem is referenced by:  funcsect  15789  funcinv  15790  funciso  15791  funcoppc  15792  cofu1  15801  cofucl  15805  cofuass  15806  cofulid  15807  cofurid  15808  funcres  15813  funcres2  15815  wunfunc  15816  funcres2c  15818  fullpropd  15837  fthsect  15842  fthinv  15843  fthmon  15844  ffthiso  15846  cofull  15851  cofth  15852  fuccocl  15881  fucidcl  15882  fuclid  15883  fucrid  15884  fucass  15885  fucsect  15889  fucinv  15890  invfuc  15891  fuciso  15892  natpropd  15893  fucpropd  15894  catciso  16014  prfval  16096  prfcl  16100  prf1st  16101  prf2nd  16102  1st2ndprf  16103  evlfcllem  16118  evlfcl  16119  curf1cl  16125  curfcl  16129  uncf1  16133  uncf2  16134  curfuncf  16135  uncfcurf  16136  diag1cl  16139  curf2ndf  16144  yon1cl  16160  oyon1cl  16168  yonedalem3a  16171  yonedalem4c  16174  yonedalem3b  16176  yonedalem3  16177  yonedainv  16178  yonffthlem  16179  yoniso  16182
  Copyright terms: Public domain W3C validator