Theorem funcf1 14768

Description: The object part of a functor is a function on objects. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcf1.b	|- B = ( Base ` D )
funcf1.c	|- C = ( Base ` E )
funcf1.f	|- ( ph -> F ( D Func E ) G )

Assertion

Ref	Expression
funcf1	|- ( ph -> F : B --> C )

Proof of Theorem funcf1

Dummy variables m n x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcf1.f	. . 3 |- ( ph -> F ( D Func E ) G )
2		funcf1.b	. . . 4 |- B = ( Base ` D )
3		funcf1.c	. . . 4 |- C = ( Base ` E )
4		eqid 2438	. . . 4 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
5		eqid 2438	. . . 4 |- ( Hom ` E ) = ( Hom ` E )
6		eqid 2438	. . . 4 |- ( Id ` D ) = ( Id ` D )
7		eqid 2438	. . . 4 |- ( Id ` E ) = ( Id ` E )
8		eqid 2438	. . . 4 |- (comp ` D ) = (comp ` D )
9		eqid 2438	. . . 4 |- (comp ` E ) = (comp ` E )
10		df-br 4288	. . . . . . 7 |- ( F ( D Func E ) G <-> <. F , G >. e. ( D Func E ) )
11	1, 10	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ph -> <. F , G >. e. ( D Func E ) )
12		funcrcl 14765	. . . . . 6 |- ( <. F , G >. e. ( D Func E ) -> ( D e. Cat /\ E e. Cat ) )
13	11, 12	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( D e. Cat /\ E e. Cat ) )
14	13	simpld 459	. . . 4 |- ( ph -> D e. Cat )
15	13	simprd 463	. . . 4 |- ( ph -> E e. Cat )
16	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 14, 15	isfunc 14766	. . 3 |- ( ph -> ( F ( D Func E ) G <-> ( F : B --> C /\ G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` E ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` D ) ` z ) ) /\ A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` D ) ` x ) ) = ( ( Id ` E ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` E ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) ) )
17	1, 16	mpbid 210	. 2 |- ( ph -> ( F : B --> C /\ G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) ( Hom ` E ) ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( ( Hom ` D ) ` z ) ) /\ A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( ( Id ` D ) ` x ) ) = ( ( Id ` E ) ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x ( Hom ` D ) y ) A. n e. ( y ( Hom ` D ) z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. (comp ` D ) z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. (comp ` E ) ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) )
18	17	simp1d 1000	1 |- ( ph -> F : B --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   <.cop 3878   class class class wbr 4287   X. cxp 4833   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571   ^m cmap 7206   X_cixp 7255   Basecbs 14166   Hom chom 14241  compcco 14242   Catccat 14594   Idccid 14595   Func cfunc 14756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208  df-ixp 7256  df-func 14760

This theorem is referenced by:  funcsect  14774  funcinv  14775  funciso  14776  funcoppc  14777  cofu1  14786  cofucl  14790  cofuass  14791  cofulid  14792  cofurid  14793  funcres  14798  funcres2  14800  wunfunc  14801  funcres2c  14803  fullpropd  14822  fthsect  14827  fthinv  14828  fthmon  14829  ffthiso  14831  cofull  14836  cofth  14837  fuccocl  14866  fucidcl  14867  fuclid  14868  fucrid  14869  fucass  14870  fucsect  14874  fucinv  14875  invfuc  14876  fuciso  14877  natpropd  14878  fucpropd  14879  catciso  14967  prfval  15001  prfcl  15005  prf1st  15006  prf2nd  15007  1st2ndprf  15008  evlfcllem  15023  evlfcl  15024  curf1cl  15030  curfcl  15034  uncf1  15038  uncf2  15039  curfuncf  15040  uncfcurf  15041  diag1cl  15044  curf2ndf  15049  yon1cl  15065  oyon1cl  15073  yonedalem3a  15076  yonedalem4c  15079  yonedalem3b  15081  yonedalem3  15082  yonedainv  15083  yonffthlem  15084  yoniso  15087