Theorem funbrfvbg 3833

Description: Function value in terms of a binary relation.

Assertion

Ref	Expression
funbrfvbg	|- ((Fun F /\ A e. dom F /\ B e. C) -> ((F` A) = B <-> AFB))

Proof of Theorem funbrfvbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq2 1521	. . . . . 6 |- (x = B -> ((F` A) = x <-> (F` A) = B))
2		breq2 2673	. . . . . 6 |- (x = B -> (AFx <-> AFB))
3	1, 2	bibi12d 631	. . . . 5 |- (x = B -> (((F` A) = x <-> AFx) <-> ((F` A) = B <-> AFB)))
4	3	imbi2d 614	. . . 4 |- (x = B -> (((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x <-> AFx)) <-> ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB))))
5		visset 1851	. . . . 5 |- x e. V
6	5	funbrfvb 3831	. . . 4 |- ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = x <-> AFx))
7	4, 6	vtoclg 1885	. . 3 |- (B e. C -> ((Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB)))
8	7	3impib 834	. 2 |- ((B e. C /\ Fun F /\ A e. dom F) -> ((F` A) = B <-> AFB))
9	8	3coml 843	1 |- ((Fun F /\ A e. dom F /\ B e. C) -> ((F` A) = B <-> AFB))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   /\ w3a 778   = wceq 988   e. wcel 990   class class class wbr 2669  dom cdm 3225  Fun wfun 3231  ` cfv 3237

This theorem is referenced by:  fvelimab 3841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-sep 2754  ax-pow 2794  ax-pr 2832

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-rex 1688  df-v 1850  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-nul 2325  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-op 2461  df-uni 2552  df-br 2670  df-opab 2718  df-id 2889  df-xp 3239  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-fv 3253

Copyright terms: Public domain