Theorem fun2ssres 4461

Description: Equality of restrictions of a function and a subclass.

Assertion

Ref	Expression
fun2ssres	|- ((Fun F /\ G C_ F /\ A C_ dom G) -> (F |` A) = (G |` A))

Proof of Theorem fun2ssres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resabs1 4244	. . . 4 |- (A C_ dom G -> ((F |` dom G) |` A) = (F |` A))
2	1	eqcomd 1889	. . 3 |- (A C_ dom G -> (F |` A) = ((F |` dom G) |` A))
3		funssres 4460	. . . 4 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (F |` dom G) = G)
4		reseq1 4218	. . . 4 |- ((F |` dom G) = G -> ((F |` dom G) |` A) = (G |` A))
5	3, 4	syl 12	. . 3 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> ((F |` dom G) |` A) = (G |` A))
6	2, 5	sylan9eqr 1951	. 2 |- (((Fun F /\ G C_ F) /\ A C_ dom G) -> (F |` A) = (G |` A))
7	6	3impa 1062	1 |- ((Fun F /\ G C_ F /\ A C_ dom G) -> (F |` A) = (G |` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   C_ wss 2593  dom cdm 3986   |` cres 3988  Fun wfun 3992

This theorem is referenced by:  tfrlem9 5127  tfrlem11 5129  subgres 9426  bnj1503 13164  wfrlem12 13968  wfrlem14 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-res 4006  df-fun 4008

Copyright terms: Public domain