Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fun2dmnop Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fun2dmnop 39173
Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fun2dmnop.a  |-  A  e. 
_V
fun2dmnop.b  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fun2dmnop  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) )

Proof of Theorem fun2dmnop
StepHypRef Expression
1 simpl1 1033 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  Fun  G )
2 dmexg 6743 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  ->  dom  G  e.  _V )
32adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  dom  G  e.  _V )
4 fun2dmnop.a . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
5 fun2dmnop.b . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
64, 5prss 4117 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  B  e.  dom  G )  <->  { A ,  B }  C_  dom  G )
7 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  B  e.  dom  G )  ->  A  e.  dom  G )
86, 7sylbir 218 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  C_ 
dom  G  ->  A  e. 
dom  G )
983ad2ant3 1053 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  A  e.  dom  G )
109adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  A  e.  dom  G
)
11 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  B  e.  dom  G )  ->  B  e.  dom  G )
126, 11sylbir 218 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  C_ 
dom  G  ->  B  e. 
dom  G )
13123ad2ant3 1053 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  B  e.  dom  G )
1413adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  B  e.  dom  G
)
15 simpl2 1034 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  A  =/=  B )
163, 10, 14, 15nehash2 24631 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  2  <_  ( # `  dom  G ) )
17 fundmge2nop 39172 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  2  <_  ( # `  dom  G ) )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) )
181, 16, 17syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V )
)
1918ex 441 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  ( G  e.  _V  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
20 prcnel 3046 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  -.  G  e.  ( _V 
X.  _V ) )
2119, 20pm2.61d1 164 1  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   {cpr 3961   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   dom cdm 4839   Fun wfun 5583   ` cfv 5589    <_ cle 9694   2c2 10681   #chash 12553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554
This theorem is referenced by:  funvtxdm2val  39266  funiedgdm2val  39267  funiedgval  39274
  Copyright terms: Public domain W3C validator