Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fun2dmnop Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fun2dmnop 39027
Description: A function with a domain containing (at least) two different elements is not an ordered pair. (Contributed by AV, 21-Sep-2020.) (Proof shortened by AV, 12-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fun2dmnop.a  |-  A  e.  V
fun2dmnop.b  |-  B  e.  W
Assertion
Ref Expression
fun2dmnop  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) )

Proof of Theorem fun2dmnop
StepHypRef Expression
1 simpl1 1011 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  Fun  G )
2 dmexg 6724 . . . . . 6  |-  ( G  e.  _V  ->  dom  G  e.  _V )
32adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  dom  G  e.  _V )
4 fun2dmnop.a . . . . . . . . . 10  |-  A  e.  V
54elexi 3055 . . . . . . . . 9  |-  A  e. 
_V
6 fun2dmnop.b . . . . . . . . . 10  |-  B  e.  W
76elexi 3055 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
85, 7prss 4126 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  B  e.  dom  G )  <->  { A ,  B }  C_  dom  G )
9 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  B  e.  dom  G )  ->  A  e.  dom  G )
108, 9sylbir 217 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  C_ 
dom  G  ->  A  e. 
dom  G )
11103ad2ant3 1031 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  A  e.  dom  G )
1211adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  A  e.  dom  G
)
13 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  G  /\  B  e.  dom  G )  ->  B  e.  dom  G )
148, 13sylbir 217 . . . . . . 7  |-  ( { A ,  B }  C_ 
dom  G  ->  B  e. 
dom  G )
15143ad2ant3 1031 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  B  e.  dom  G )
1615adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  B  e.  dom  G
)
17 simpl2 1012 . . . . 5  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  A  =/=  B )
183, 12, 16, 17nehash2 24552 . . . 4  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  2  <_  ( # `  dom  G ) )
19 fundmge2nop 39026 . . . 4  |-  ( ( Fun  G  /\  2  <_  ( # `  dom  G ) )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) )
201, 18, 19syl2anc 667 . . 3  |-  ( ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_ 
dom  G )  /\  G  e.  _V )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V )
)
2120ex 436 . 2  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  ( G  e.  _V  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) ) )
22 elex 3054 . . 3  |-  ( G  e.  ( _V  X.  _V )  ->  G  e. 
_V )
2322con3i 141 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  -.  G  e.  ( _V 
X.  _V ) )
2421, 23pm2.61d1 163 1  |-  ( ( Fun  G  /\  A  =/=  B  /\  { A ,  B }  C_  dom  G )  ->  -.  G  e.  ( _V  X.  _V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    e. wcel 1887    =/= wne 2622   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   {cpr 3970   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   dom cdm 4834   Fun wfun 5576   ` cfv 5582    <_ cle 9676   2c2 10659   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516
This theorem is referenced by:  funvtxdm2val  39113  funiedgdm2val  39114  funiedgval  39121
  Copyright terms: Public domain W3C validator