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Theorem fun11iun 6535
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fun11iun.1  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
fun11iun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
fun11iun  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S )
Distinct variable groups:    x, A    y, A    y, B    x, C    x, S
Allowed substitution hints:    B( x)    C( y)    D( x, y)    S( y)

Proof of Theorem fun11iun
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
2 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  u  ->  (
z  =  B  <->  u  =  B ) )
32rexbidv 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  u  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  <->  E. x  e.  A  u  =  B ) )
41, 3elab 3104 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  u  =  B )
5 r19.29 2855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  E. x  e.  A  u  =  B )  ->  E. x  e.  A  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B ) )
6 nfv 1673 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( Fun  u  /\  Fun  `' u )
7 nfre1 2770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x E. x  e.  A  z  =  B
87nfab 2581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
9 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( u  C_  v  \/  v  C_  u )
108, 9nfral 2767 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u  C_  v  \/  v  C_  u )
116, 10nfan 1861 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )
12 f1eq1 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  B  ->  (
u : D -1-1-> S  <->  B : D -1-1-> S ) )
1312biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  u  =  B
)  ->  u : D -1-1-> S )
14 df-f1 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u : D -1-1-> S  <->  ( u : D --> S  /\  Fun  `' u ) )
15 ffun 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u : D --> S  ->  Fun  u )
1615anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u : D --> S  /\  Fun  `' u )  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
1714, 16sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u : D -1-1-> S  -> 
( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
1813, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  u  =  B
)  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u
) )
1918adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  ( Fun  u  /\  Fun  `' u ) )
20 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  v  e. 
_V
21 eqeq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  v  ->  (
z  =  B  <->  v  =  B ) )
2221rexbidv 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  v  ->  ( E. x  e.  A  z  =  B  <->  E. x  e.  A  v  =  B ) )
2320, 22elab 3104 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  <->  E. x  e.  A  v  =  B )
24 fun11iun.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  B  =  C )
2524eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
v  =  B  <->  v  =  C ) )
2625cbvrexv 2946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. x  e.  A  v  =  B  <->  E. y  e.  A  v  =  C )
27 r19.29 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  v  =  C ) )
28 sseq12 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( u  =  B  /\  v  =  C )  ->  ( u  C_  v  <->  B 
C_  C ) )
2928ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( u  C_  v  <->  B 
C_  C ) )
30 sseq12 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( v  C_  u  <->  C 
C_  B ) )
3129, 30orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  ( ( u  C_  v  \/  v  C_  u )  <->  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) ) )
3231biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  -> 
( ( v  =  C  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3332expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  v  =  C )  ->  ( u  =  B  ->  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3433rexlimivw 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B )  /\  v  =  C )  ->  ( u  =  B  ->  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
3534imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( E. y  e.  A  ( ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  v  =  C )  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3627, 35sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  /\  u  =  B )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3736an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
)  /\  u  =  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3837adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  E. y  e.  A  v  =  C )  ->  ( u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
3926, 38sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  E. x  e.  A  v  =  B )  ->  ( u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
4023, 39sylan2b 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  /\  v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  (
u  C_  v  \/  v  C_  u ) )
4140ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )
4219, 41jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  (
( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  =  B )  ->  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) ) ) )
4411, 43rexlimi 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. x  e.  A  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B
) )  /\  u  =  B )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
455, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  E. x  e.  A  u  =  B )  ->  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
464, 45sylan2b 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  u  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )  ->  (
( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
4746ralrimiva 2797 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  A. u  e.  {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( u  C_  v  \/  v  C_  u ) ) )
48 fun11uni 6529 . . . . . . 7  |-  ( A. u  e.  { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } 
( ( Fun  u  /\  Fun  `' u )  /\  A. v  e. 
{ z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  ( u 
C_  v  \/  v  C_  u ) )  -> 
( Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  /\  Fun  `' U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } ) )
4947, 48syl 16 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }  /\  Fun  `'
U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
) )
5049simpld 459 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
51 fun11iun.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
5251dfiun2 4202 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  A  B  =  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
5352funeqi 5436 . . . . 5  |-  ( Fun  U_ x  e.  A  B 
<->  Fun  U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
5450, 53sylibr 212 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  U_ x  e.  A  B )
55 nfra1 2764 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )
56 rsp 2774 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) ) ) )
571eldm2 5036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  dom  B  <->  E. v <. u ,  v >.  e.  B )
58 f1dm 5608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  dom  B  =  D )
5958eleq2d 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B : D -1-1-> S  -> 
( u  e.  dom  B  <-> 
u  e.  D ) )
6057, 59syl5bbr 259 . . . . . . . . . 10  |-  ( B : D -1-1-> S  -> 
( E. v <.
u ,  v >.  e.  B  <->  u  e.  D
) )
6160adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( E. v <. u ,  v >.  e.  B  <->  u  e.  D
) )
6256, 61syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( x  e.  A  ->  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  u  e.  D ) ) )
6362imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  u  e.  D ) )
6455, 63rexbida 2728 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( E. x  e.  A  E. v <. u ,  v >.  e.  B  <->  E. x  e.  A  u  e.  D )
)
65 eliun 4173 . . . . . . . 8  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  U_ x  e.  A  B 
<->  E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
6665exbii 1634 . . . . . . 7  |-  ( E. v <. u ,  v
>.  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. v E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
671eldm2 5036 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. v <. u ,  v >.  e.  U_ x  e.  A  B )
68 rexcom4 2990 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. v <. u ,  v
>.  e.  B  <->  E. v E. x  e.  A  <. u ,  v >.  e.  B )
6966, 67, 683bitr4i 277 . . . . . 6  |-  ( u  e.  dom  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  E. v <. u ,  v >.  e.  B )
70 eliun 4173 . . . . . 6  |-  ( u  e.  U_ x  e.  A  D  <->  E. x  e.  A  u  e.  D )
7164, 69, 703bitr4g 288 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ( u  e. 
dom  U_ x  e.  A  B 
<->  u  e.  U_ x  e.  A  D )
)
7271eqrdv 2439 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  D
)
73 df-fn 5419 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D 
<->  ( Fun  U_ x  e.  A  B  /\  dom  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  D ) )
7454, 72, 73sylanbrc 664 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D )
75 rniun 5245 . . . 4  |-  ran  U_ x  e.  A  B  =  U_ x  e.  A  ran  B
76 f1f 5604 . . . . . . . 8  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  B : D --> S )
77 frn 5563 . . . . . . . 8  |-  ( B : D --> S  ->  ran  B  C_  S )
7876, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B : D -1-1-> S  ->  ran  B  C_  S )
7978adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ran  B  C_  S
)
8079ralimi 2789 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  ran  B  C_  S )
81 iunss 4209 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  ran  B 
C_  S  <->  A. x  e.  A  ran  B  C_  S )
8280, 81sylibr 212 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  ran  B  C_  S )
8375, 82syl5eqss 3398 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  ran  U_ x  e.  A  B  C_  S
)
84 df-f 5420 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D
--> S  <->  ( U_ x  e.  A  B  Fn  U_ x  e.  A  D  /\  ran  U_ x  e.  A  B  C_  S ) )
8574, 83, 84sylanbrc 664 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D --> S )
8649simprd 463 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  `' U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
8752cnveqi 5012 . . . 4  |-  `' U_ x  e.  A  B  =  `' U. { z  |  E. x  e.  A  z  =  B }
8887funeqi 5436 . . 3  |-  ( Fun  `' U_ x  e.  A  B 
<->  Fun  `' U. {
z  |  E. x  e.  A  z  =  B } )
8986, 88sylibr 212 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  Fun  `' U_ x  e.  A  B )
90 df-f1 5421 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S  <->  ( U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D
--> S  /\  Fun  `' U_ x  e.  A  B
) )
9185, 89, 90sylanbrc 664 1  |-  ( A. x  e.  A  ( B : D -1-1-> S  /\  A. y  e.  A  ( B  C_  C  \/  C  C_  B ) )  ->  U_ x  e.  A  B : U_ x  e.  A  D -1-1-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2427   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   <.cop 3881   U.cuni 4089   U_ciun 4169   `'ccnv 4837   dom cdm 4838   ran crn 4839   Fun wfun 5410    Fn wfn 5411   -->wf 5412   -1-1->wf1 5413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421
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