Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fun11 Structured version   Unicode version

Theorem fun11 5658
 Description: Two ways of stating that is one-to-one (but not necessarily a function). Each side is equivalent to Definition 6.4(3) of [TakeutiZaring] p. 24, who use the notation "Un2 (A)" for one-to-one (but not necessarily a function). (Contributed by NM, 17-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
fun11
Distinct variable group:   ,,,,

Proof of Theorem fun11
StepHypRef Expression
1 dfbi2 632 . . . . . . . 8
21imbi2i 313 . . . . . . 7
3 pm4.76 874 . . . . . . 7
4 bi2.04 362 . . . . . . . 8
5 bi2.04 362 . . . . . . . 8
64, 5anbi12i 701 . . . . . . 7
72, 3, 63bitr2i 276 . . . . . 6
872albii 1688 . . . . 5
9 19.26-2 1726 . . . . 5
10 alcom 1894 . . . . . . 7
11 nfv 1751 . . . . . . . . 9
12 breq1 4420 . . . . . . . . . . 11
1312anbi1d 709 . . . . . . . . . 10
1413imbi1d 318 . . . . . . . . 9
1511, 14equsal 2088 . . . . . . . 8
1615albii 1687 . . . . . . 7
1710, 16bitri 252 . . . . . 6
18 nfv 1751 . . . . . . . 8
19 breq2 4421 . . . . . . . . . 10
2019anbi1d 709 . . . . . . . . 9
2120imbi1d 318 . . . . . . . 8
2218, 21equsal 2088 . . . . . . 7
2322albii 1687 . . . . . 6
2417, 23anbi12i 701 . . . . 5
258, 9, 243bitri 274 . . . 4
26252albii 1688 . . 3
27 19.26-2 1726 . . 3
2826, 27bitr2i 253 . 2
29 fun2cnv 5655 . . . 4
30 breq2 4421 . . . . . 6
3130mo4 2311 . . . . 5
3231albii 1687 . . . 4
33 alcom 1894 . . . . 5
3433albii 1687 . . . 4
3529, 32, 343bitri 274 . . 3
36 funcnv2 5652 . . . 4
37 breq1 4420 . . . . . 6
3837mo4 2311 . . . . 5
3938albii 1687 . . . 4
40 alcom 1894 . . . . . 6
4140albii 1687 . . . . 5
42 alcom 1894 . . . . 5
4341, 42bitri 252 . . . 4
4436, 39, 433bitri 274 . . 3
4535, 44anbi12i 701 . 2
46 alrot4 1896 . 2
4728, 45, 463bitr4i 280 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370  wal 1435  wmo 2264   class class class wbr 4417  ccnv 4845   wfun 5587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pr 4653 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-br 4418  df-opab 4477  df-id 4761  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-fun 5595 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator