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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fullsubc | Structured version Unicode version |
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) |
Ref | Expression |
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fullsubc.b |
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fullsubc.h |
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fullsubc.c |
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fullsubc.s |
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Ref | Expression |
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fullsubc |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fullsubc.h |
. . . . 5
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2 | fullsubc.b |
. . . . 5
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3 | 1, 2 | homffn 14736 |
. . . 4
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4 | fvex 5801 |
. . . . 5
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5 | 2, 4 | eqeltri 2535 |
. . . 4
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6 | sscres 14840 |
. . . 4
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7 | 3, 5, 6 | mp2an 672 |
. . 3
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8 | 7 | a1i 11 |
. 2
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9 | eqid 2451 |
. . . . . 6
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10 | eqid 2451 |
. . . . . 6
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11 | fullsubc.c |
. . . . . . 7
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12 | 11 | adantr 465 |
. . . . . 6
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13 | fullsubc.s |
. . . . . . 7
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14 | 13 | sselda 3456 |
. . . . . 6
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15 | 2, 9, 10, 12, 14 | catidcl 14724 |
. . . . 5
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16 | simpr 461 |
. . . . . . 7
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17 | 16, 16 | ovresd 6333 |
. . . . . 6
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18 | 1, 2, 9, 14, 14 | homfval 14735 |
. . . . . 6
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19 | 17, 18 | eqtrd 2492 |
. . . . 5
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20 | 15, 19 | eleqtrrd 2542 |
. . . 4
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21 | eqid 2451 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 12 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . 10
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23 | 14 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 13 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . . 13
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25 | 24 | sselda 3456 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 25 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 26 | adantr 465 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 24 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . . 12
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29 | 28 | sselda 3456 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | adantr 465 |
. . . . . . . . . 10
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31 | simprl 755 |
. . . . . . . . . 10
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32 | simprr 756 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 2, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32 | catcocl 14727 |
. . . . . . . . 9
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34 | 16 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | simplr 754 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 34, 35 | ovresd 6333 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 1, 2, 9, 23, 30 | homfval 14735 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 36, 37 | eqtrd 2492 |
. . . . . . . . 9
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39 | 33, 38 | eleqtrrd 2542 |
. . . . . . . 8
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40 | 39 | ralrimivva 2906 |
. . . . . . 7
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41 | simplr 754 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | simpr 461 |
. . . . . . . . . . 11
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43 | 41, 42 | ovresd 6333 |
. . . . . . . . . 10
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44 | 14 | adantr 465 |
. . . . . . . . . . 11
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45 | 1, 2, 9, 44, 25 | homfval 14735 |
. . . . . . . . . 10
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46 | 43, 45 | eqtrd 2492 |
. . . . . . . . 9
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47 | 46 | adantr 465 |
. . . . . . . 8
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48 | simplr 754 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | simpr 461 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 48, 49 | ovresd 6333 |
. . . . . . . . . 10
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51 | 1, 2, 9, 26, 29 | homfval 14735 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 50, 51 | eqtrd 2492 |
. . . . . . . . 9
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53 | 52 | raleqdv 3021 |
. . . . . . . 8
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54 | 47, 53 | raleqbidv 3029 |
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55 | 40, 54 | mpbird 232 |
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56 | 55 | ralrimiva 2822 |
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57 | 56 | ralrimiva 2822 |
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58 | 20, 57 | jca 532 |
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59 | 58 | ralrimiva 2822 |
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60 | xpss12 5045 |
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61 | 13, 13, 60 | syl2anc 661 |
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62 | fnssres 5624 |
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63 | 3, 61, 62 | sylancr 663 |
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64 | 1, 10, 21, 11, 63 | issubc2 14853 |
. 2
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65 | 8, 59, 64 | mpbir2and 913 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4503 ax-sep 4513 ax-nul 4521 ax-pow 4570 ax-pr 4631 ax-un 6474 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1373 df-fal 1376 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rmo 2803 df-rab 2804 df-v 3072 df-sbc 3287 df-csb 3389 df-dif 3431 df-un 3433 df-in 3435 df-ss 3442 df-nul 3738 df-if 3892 df-pw 3962 df-sn 3978 df-pr 3980 df-op 3984 df-uni 4192 df-iun 4273 df-br 4393 df-opab 4451 df-mpt 4452 df-id 4736 df-xp 4946 df-rel 4947 df-cnv 4948 df-co 4949 df-dm 4950 df-rn 4951 df-res 4952 df-ima 4953 df-iota 5481 df-fun 5520 df-fn 5521 df-f 5522 df-f1 5523 df-fo 5524 df-f1o 5525 df-fv 5526 df-riota 6153 df-ov 6195 df-oprab 6196 df-mpt2 6197 df-1st 6679 df-2nd 6680 df-pm 7319 df-ixp 7366 df-cat 14710 df-cid 14711 df-homf 14712 df-ssc 14827 df-subc 14829 |
This theorem is referenced by: resscat 14866 funcres2c 14915 ressffth 14952 funcsetcres2 15065 |
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