Theorem fullsubc 14864

Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullsubc.b	|- B = ( Base ` C )
fullsubc.h	|- H = ( Hom f ` C )
fullsubc.c	|- ( ph -> C e. Cat )
fullsubc.s	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
fullsubc	|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Proof of Theorem fullsubc

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullsubc.h	. . . . 5 |- H = ( Hom f ` C )
2		fullsubc.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
3	1, 2	homffn 14736	. . . 4 |- H Fn ( B X. B )
4		fvex 5801	. . . . 5 |- ( Base ` C ) e. _V
5	2, 4	eqeltri 2535	. . . 4 |- B e. _V
6		sscres 14840	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ B e. _V ) -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
7	3, 5, 6	mp2an 672	. . 3 |- ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
9		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
11		fullsubc.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
12	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> C e. Cat )
13		fullsubc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ B )
14	13	sselda 3456	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. B )
15	2, 9, 10, 12, 14	catidcl 14724	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
16		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. S )
17	16, 16	ovresd 6333	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x H x ) )
18	1, 2, 9, 14, 14	homfval 14735	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
19	17, 18	eqtrd 2492	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
20	15, 19	eleqtrrd 2542	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) )
21		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
22	12	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
23	14	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B )
24	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> S C_ B )
25	24	sselda 3456	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. B )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. B )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B )
28	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> S C_ B )
29	28	sselda 3456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. B )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B )
31		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
32		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
33	2, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32	catcocl 14727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
34	16	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. S )
35		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. S )
36	34, 35	ovresd 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x H z ) )
37	1, 2, 9, 23, 30	homfval 14735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
38	36, 37	eqtrd 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
39	33, 38	eleqtrrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
40	39	ralrimivva 2906	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
41		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. S )
42		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. S )
43	41, 42	ovresd 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x H y ) )
44	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. B )
45	1, 2, 9, 44, 25	homfval 14735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
46	43, 45	eqtrd 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
47	46	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
48		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. S )
49		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. S )
50	48, 49	ovresd 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y H z ) )
51	1, 2, 9, 26, 29	homfval 14735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y H z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
52	50, 51	eqtrd 2492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
53	52	raleqdv 3021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
54	47, 53	raleqbidv 3029	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
55	40, 54	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
56	55	ralrimiva 2822	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
57	56	ralrimiva 2822	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
58	20, 57	jca 532	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
59	58	ralrimiva 2822	. 2 |- ( ph -> A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
60		xpss12 5045	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ S C_ B ) -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
61	13, 13, 60	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
62		fnssres 5624	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
63	3, 61, 62	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
64	1, 10, 21, 11, 63	issubc2 14853	. 2 |- ( ph -> ( ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) <-> ( ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H /\ A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) ) )
65	8, 59, 64	mpbir2and 913	1 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070   C_ wss 3428   <.cop 3983   class class class wbr 4392   X. cxp 4938   |` cres 4942   Fn wfn 5513   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   Hom chom 14353  compcco 14354   Catccat 14706   Idccid 14707   Hom _f chomf 14708   C__cat cssc 14824  Subcatcsubc 14826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-cat 14710  df-cid 14711  df-homf 14712  df-ssc 14827  df-subc 14829

This theorem is referenced by:  resscat  14866  funcres2c  14915  ressffth  14952  funcsetcres2  15065