Theorem fullsubc 14002

Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullsubc.b	|- B = ( Base ` C )
fullsubc.h	|- H = ( Homf ` C )
fullsubc.c	|- ( ph -> C e. Cat )
fullsubc.s	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
fullsubc	|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Proof of Theorem fullsubc

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullsubc.h	. . . . 5 |- H = ( Homf ` C )
2		fullsubc.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
3	1, 2	homffn 13874	. . . 4 |- H Fn ( B X. B )
4		fvex 5701	. . . . 5 |- ( Base ` C ) e. _V
5	2, 4	eqeltri 2474	. . . 4 |- B e. _V
6		sscres 13978	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ B e. _V ) -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
7	3, 5, 6	mp2an 654	. . 3 |- ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
9		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
11		fullsubc.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
12	11	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> C e. Cat )
13		fullsubc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ B )
14	13	sselda 3308	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. B )
15	2, 9, 10, 12, 14	catidcl 13862	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
16		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. S )
17	16, 16	ovresd 6173	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x H x ) )
18	1, 2, 9, 14, 14	homfval 13873	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
19	17, 18	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
20	15, 19	eleqtrrd 2481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) )
21		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
22	12	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
23	14	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B )
24	13	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> S C_ B )
25	24	sselda 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. B )
26	25	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. B )
27	26	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B )
28	24	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> S C_ B )
29	28	sselda 3308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. B )
30	29	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B )
31		simprl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
32		simprr 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
33	2, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32	catcocl 13865	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
34	16	ad3antrrr 711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. S )
35		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. S )
36	34, 35	ovresd 6173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x H z ) )
37	1, 2, 9, 23, 30	homfval 13873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
38	36, 37	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
39	33, 38	eleqtrrd 2481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
40	39	ralrimivva 2758	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
41		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. S )
42		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. S )
43	41, 42	ovresd 6173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x H y ) )
44	14	adantr 452	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. B )
45	1, 2, 9, 44, 25	homfval 13873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
46	43, 45	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
47	46	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
48		simplr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. S )
49		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. S )
50	48, 49	ovresd 6173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y H z ) )
51	1, 2, 9, 26, 29	homfval 13873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y H z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
52	50, 51	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
53	52	raleqdv 2870	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
54	47, 53	raleqbidv 2876	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
55	40, 54	mpbird 224	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
56	55	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
57	56	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
58	20, 57	jca 519	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
59	58	ralrimiva 2749	. 2 |- ( ph -> A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
60		xpss12 4940	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ S C_ B ) -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
61	13, 13, 60	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
62		fnssres 5517	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
63	3, 61, 62	sylancr 645	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
64	1, 10, 21, 11, 63	issubc2 13991	. 2 |- ( ph -> ( ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) <-> ( ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H /\ A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) ) )
65	8, 59, 64	mpbir2and 889	1 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   |` cres 4839   Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844   Idccid 13845   Hom_f chomf 13846   C__cat cssc 13962  Subcatcsubc 13964

This theorem is referenced by:  resscat  14004  funcres2c  14053  ressffth  14090  funcsetcres2  14203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-cat 13848  df-cid 13849  df-homf 13850  df-ssc 13965  df-subc 13967