MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullsubc Unicode version

Theorem fullsubc 14002
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fullsubc.h  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
fullsubc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
fullsubc.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
fullsubc  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5  |-  H  =  (  Homf 
`  C )
2 fullsubc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2homffn 13874 . . . 4  |-  H  Fn  ( B  X.  B
)
4 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
52, 4eqeltri 2474 . . . 4  |-  B  e. 
_V
6 sscres 13978 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  B  e.  _V )  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
73, 5, 6mp2an 654 . . 3  |-  ( H  |`  ( S  X.  S
) )  C_cat  H
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
9 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (  Hom  `  C )  =  (  Hom  `  C )
10 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
11 fullsubc.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
1211adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  Cat )
13 fullsubc.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
1413sselda 3308 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
152, 9, 10, 12, 14catidcl 13862 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x (  Hom  `  C ) x ) )
16 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1716, 16ovresd 6173 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x H x ) )
181, 2, 9, 14, 14homfval 13873 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x H x )  =  ( x (  Hom  `  C )
x ) )
1917, 18eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x (  Hom  `  C )
x ) )
2015, 19eleqtrrd 2481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x ) )
21 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
2212ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
2314ad3antrrr 711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  B
)
2413adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
2524sselda 3308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  B )
2726adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  y  e.  B
)
2824adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
2928sselda 3308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
3029adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  B
)
31 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) )
32 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) )
332, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32catcocl 13865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x (  Hom  `  C )
z ) )
3416ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  S
)
35 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
3634, 35ovresd 6173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x H z ) )
371, 2, 9, 23, 30homfval 13873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x H z )  =  ( x (  Hom  `  C
) z ) )
3836, 37eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x (  Hom  `  C
) z ) )
3933, 38eleqtrrd 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
4039ralrimivva 2758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) )
41 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  S )
42 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
4341, 42ovresd 6173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x H y ) )
4414adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  B )
451, 2, 9, 44, 25homfval 13873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x H y )  =  ( x (  Hom  `  C )
y ) )
4643, 45eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x (  Hom  `  C )
y ) )
4746adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x (  Hom  `  C )
y ) )
48 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  S )
49 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
5048, 49ovresd 6173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y H z ) )
511, 2, 9, 26, 29homfval 13873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y H z )  =  ( y (  Hom  `  C )
z ) )
5250, 51eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y (  Hom  `  C )
z ) )
5352raleqdv 2870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. g  e.  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. g  e.  ( y (  Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ) )
5447, 53raleqbidv 2876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. f  e.  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. f  e.  ( x (  Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
(  Hom  `  C ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5540, 54mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5655ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5756ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5820, 57jca 519 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
)  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x
( H  |`  ( S  X.  S ) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5958ralrimiva 2749 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
60 xpss12 4940 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  S  C_  B )  -> 
( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
6113, 13, 60syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
62 fnssres 5517 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )  -> 
( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
633, 61, 62sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
641, 10, 21, 11, 63issubc2 13991 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  ( S  X.  S
) )  e.  (Subcat `  C )  <->  ( ( H  |`  ( S  X.  S ) )  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) ) ) )
658, 59, 64mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   <.cop 3777   class class class wbr 4172    X. cxp 4835    |` cres 4839    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424    Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844   Idccid 13845    Homf chomf 13846    C_cat cssc 13962  Subcatcsubc 13964
This theorem is referenced by:  resscat  14004  funcres2c  14053  ressffth  14090  funcsetcres2  14203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-cat 13848  df-cid 13849  df-homf 13850  df-ssc 13965  df-subc 13967
  Copyright terms: Public domain W3C validator