Theorem fullsubc 15463

Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory), see definition 4.1(2) of [Adamek] p. 48. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullsubc.b	|- B = ( Base ` C )
fullsubc.h	|- H = ( Hom f ` C )
fullsubc.c	|- ( ph -> C e. Cat )
fullsubc.s	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
fullsubc	|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Proof of Theorem fullsubc

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullsubc.h	. . . . 5 |- H = ( Hom f ` C )
2		fullsubc.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
3	1, 2	homffn 15306	. . . 4 |- H Fn ( B X. B )
4		fvex 5859	. . . . 5 |- ( Base ` C ) e. _V
5	2, 4	eqeltri 2486	. . . 4 |- B e. _V
6		sscres 15436	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ B e. _V ) -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
7	3, 5, 6	mp2an 670	. . 3 |- ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
9		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
11		fullsubc.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
12	11	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> C e. Cat )
13		fullsubc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ B )
14	13	sselda 3442	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. B )
15	2, 9, 10, 12, 14	catidcl 15296	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
16		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. S )
17	16, 16	ovresd 6424	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x H x ) )
18	1, 2, 9, 14, 14	homfval 15305	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
19	17, 18	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
20	15, 19	eleqtrrd 2493	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) )
21		eqid 2402	. . . . . . . . . 10 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
22	12	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
23	14	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B )
24	13	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> S C_ B )
25	24	sselda 3442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. B )
26	25	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. B )
27	26	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B )
28	24	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> S C_ B )
29	28	sselda 3442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. B )
30	29	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B )
31		simprl 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
32		simprr 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
33	2, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32	catcocl 15299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
34	16	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. S )
35		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. S )
36	34, 35	ovresd 6424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x H z ) )
37	1, 2, 9, 23, 30	homfval 15305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
38	36, 37	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
39	33, 38	eleqtrrd 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
40	39	ralrimivva 2825	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
41		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. S )
42		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. S )
43	41, 42	ovresd 6424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x H y ) )
44	14	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. B )
45	1, 2, 9, 44, 25	homfval 15305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
46	43, 45	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
47	46	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
48		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. S )
49		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. S )
50	48, 49	ovresd 6424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y H z ) )
51	1, 2, 9, 26, 29	homfval 15305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y H z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
52	50, 51	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
53	52	raleqdv 3010	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
54	47, 53	raleqbidv 3018	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
55	40, 54	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
56	55	ralrimiva 2818	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
57	56	ralrimiva 2818	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
58	20, 57	jca 530	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
59	58	ralrimiva 2818	. 2 |- ( ph -> A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
60		xpss12 4929	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ S C_ B ) -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
61	13, 13, 60	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
62		fnssres 5675	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
63	3, 61, 62	sylancr 661	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
64	1, 10, 21, 11, 63	issubc2 15449	. 2 |- ( ph -> ( ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) <-> ( ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H /\ A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) ) )
65	8, 59, 64	mpbir2and 923	1 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059   C_ wss 3414   <.cop 3978   class class class wbr 4395   X. cxp 4821   |` cres 4825   Fn wfn 5564   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   Hom chom 14920  compcco 14921   Catccat 15278   Idccid 15279   Hom _f chomf 15280   C__cat cssc 15420  Subcatcsubc 15422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-cat 15282  df-cid 15283  df-homf 15284  df-ssc 15423  df-subc 15425

This theorem is referenced by:  resscat  15465  funcres2c  15514  ressffth  15551  funcsetcres2  15696