Theorem fullsubc 15066

Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fullsubc.b	|- B = ( Base ` C )
fullsubc.h	|- H = ( Hom f ` C )
fullsubc.c	|- ( ph -> C e. Cat )
fullsubc.s	|- ( ph -> S C_ B )

Assertion

Ref	Expression
fullsubc	|- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Proof of Theorem fullsubc

Dummy variables f g x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fullsubc.h	. . . . 5 |- H = ( Hom f ` C )
2		fullsubc.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` C )
3	1, 2	homffn 14938	. . . 4 |- H Fn ( B X. B )
4		fvex 5867	. . . . 5 |- ( Base ` C ) e. _V
5	2, 4	eqeltri 2544	. . . 4 |- B e. _V
6		sscres 15042	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ B e. _V ) -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
7	3, 5, 6	mp2an 672	. . 3 |- ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H )
9		eqid 2460	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2460	. . . . . 6 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
11		fullsubc.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. Cat )
12	11	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> C e. Cat )
13		fullsubc.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S C_ B )
14	13	sselda 3497	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. B )
15	2, 9, 10, 12, 14	catidcl 14926	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
16		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> x e. S )
17	16, 16	ovresd 6418	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x H x ) )
18	1, 2, 9, 14, 14	homfval 14937	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x H x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
19	17, 18	eqtrd 2501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) = ( x ( Hom ` C ) x ) )
20	15, 19	eleqtrrd 2551	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) )
21		eqid 2460	. . . . . . . . . 10 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
22	12	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
23	14	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. B )
24	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> S C_ B )
25	24	sselda 3497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. B )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. B )
27	26	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. B )
28	24	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> S C_ B )
29	28	sselda 3497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. B )
30	29	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. B )
31		simprl 755	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
32		simprr 756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
33	2, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32	catcocl 14929	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
34	16	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. S )
35		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. S )
36	34, 35	ovresd 6418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x H z ) )
37	1, 2, 9, 23, 30	homfval 14937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x H z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
38	36, 37	eqtrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( x ( Hom ` C ) z ) )
39	33, 38	eleqtrrd 2551	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
40	39	ralrimivva 2878	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
41		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. S )
42		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> y e. S )
43	41, 42	ovresd 6418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x H y ) )
44	14	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> x e. B )
45	1, 2, 9, 44, 25	homfval 14937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x H y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
46	43, 45	eqtrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
47	46	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) = ( x ( Hom ` C ) y ) )
48		simplr 754	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> y e. S )
49		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> z e. S )
50	48, 49	ovresd 6418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y H z ) )
51	1, 2, 9, 26, 29	homfval 14937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y H z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
52	50, 51	eqtrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) = ( y ( Hom ` C ) z ) )
53	52	raleqdv 3057	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
54	47, 53	raleqbidv 3065	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> ( A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) <-> A. f e. ( x ( Hom ` C ) y ) A. g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
55	40, 54	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) /\ z e. S ) -> A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
56	55	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. S ) /\ y e. S ) -> A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
57	56	ralrimiva 2871	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) )
58	20, 57	jca 532	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
59	58	ralrimiva 2871	. 2 |- ( ph -> A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) )
60		xpss12 5099	. . . . 5 |- ( ( S C_ B /\ S C_ B ) -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
61	13, 13, 60	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( S X. S ) C_ ( B X. B ) )
62		fnssres 5685	. . . 4 |- ( ( H Fn ( B X. B ) /\ ( S X. S ) C_ ( B X. B ) ) -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
63	3, 61, 62	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) Fn ( S X. S ) )
64	1, 10, 21, 11, 63	issubc2 15055	. 2 |- ( ph -> ( ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) <-> ( ( H |` ( S X. S ) ) C_cat H /\ A. x e. S ( ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) x ) /\ A. y e. S A. z e. S A. f e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) y ) A. g e. ( y ( H |` ( S X. S ) ) z ) ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( H |` ( S X. S ) ) z ) ) ) ) )
65	8, 59, 64	mpbir2and 915	1 |- ( ph -> ( H |` ( S X. S ) ) e. (Subcat ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   <.cop 4026   class class class wbr 4440   X. cxp 4990   |` cres 4994   Fn wfn 5574   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   Hom chom 14555  compcco 14556   Catccat 14908   Idccid 14909   Hom _f chomf 14910   C__cat cssc 15026  Subcatcsubc 15028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-cat 14912  df-cid 14913  df-homf 14914  df-ssc 15029  df-subc 15031

This theorem is referenced by:  resscat  15068  funcres2c  15117  ressffth  15154  funcsetcres2  15267