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Theorem fullsubc 15463
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory), see definition 4.1(2) of [Adamek] p. 48. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fullsubc.h  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
fullsubc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
fullsubc.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
fullsubc  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
2 fullsubc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2homffn 15306 . . . 4  |-  H  Fn  ( B  X.  B
)
4 fvex 5859 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
52, 4eqeltri 2486 . . . 4  |-  B  e. 
_V
6 sscres 15436 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  B  e.  _V )  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
73, 5, 6mp2an 670 . . 3  |-  ( H  |`  ( S  X.  S
) )  C_cat  H
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
9 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
10 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
11 fullsubc.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
1211adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  Cat )
13 fullsubc.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
1413sselda 3442 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
152, 9, 10, 12, 14catidcl 15296 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )
16 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1716, 16ovresd 6424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x H x ) )
181, 2, 9, 14, 14homfval 15305 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x H x )  =  ( x ( Hom  `  C )
x ) )
1917, 18eqtrd 2443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x ( Hom  `  C )
x ) )
2015, 19eleqtrrd 2493 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x ) )
21 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
2212ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
2314ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  B
)
2413adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
2524sselda 3442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
2625adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  B )
2726adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  y  e.  B
)
2824adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
2928sselda 3442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
3029adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  B
)
31 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) )
32 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) )
332, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32catcocl 15299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  C )
z ) )
3416ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  S
)
35 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
3634, 35ovresd 6424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x H z ) )
371, 2, 9, 23, 30homfval 15305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x H z )  =  ( x ( Hom  `  C
) z ) )
3836, 37eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x ( Hom  `  C
) z ) )
3933, 38eleqtrrd 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
4039ralrimivva 2825 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) )
41 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  S )
42 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
4341, 42ovresd 6424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x H y ) )
4414adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  B )
451, 2, 9, 44, 25homfval 15305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x H y )  =  ( x ( Hom  `  C )
y ) )
4643, 45eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x ( Hom  `  C )
y ) )
4746adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x ( Hom  `  C )
y ) )
48 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  S )
49 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
5048, 49ovresd 6424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y H z ) )
511, 2, 9, 26, 29homfval 15305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y H z )  =  ( y ( Hom  `  C )
z ) )
5250, 51eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y ( Hom  `  C )
z ) )
5352raleqdv 3010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. g  e.  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ) )
5447, 53raleqbidv 3018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. f  e.  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5540, 54mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5655ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5756ralrimiva 2818 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5820, 57jca 530 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
)  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x
( H  |`  ( S  X.  S ) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5958ralrimiva 2818 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
60 xpss12 4929 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  S  C_  B )  -> 
( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
6113, 13, 60syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
62 fnssres 5675 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )  -> 
( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
633, 61, 62sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
641, 10, 21, 11, 63issubc2 15449 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  ( S  X.  S
) )  e.  (Subcat `  C )  <->  ( ( H  |`  ( S  X.  S ) )  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) ) ) )
658, 59, 64mpbir2and 923 1  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   <.cop 3978   class class class wbr 4395    X. cxp 4821    |` cres 4825    Fn wfn 5564   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   Hom chom 14920  compcco 14921   Catccat 15278   Idccid 15279   Hom f chomf 15280    C_cat cssc 15420  Subcatcsubc 15422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-cat 15282  df-cid 15283  df-homf 15284  df-ssc 15423  df-subc 15425
This theorem is referenced by:  resscat  15465  funcres2c  15514  ressffth  15551  funcsetcres2  15696
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