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Theorem fullsubc 14864
Description: The full subcategory generated by a subset of objects is the category with these objects and the same morphisms as the original. The result is always a subcategory (and it is full, meaning that all morphisms of the original category between objects in the subcategory is also in the subcategory). (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fullsubc.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fullsubc.h  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
fullsubc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
fullsubc.s  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
Assertion
Ref Expression
fullsubc  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )

Proof of Theorem fullsubc
Dummy variables  f 
g  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fullsubc.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom f  `  C )
2 fullsubc.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2homffn 14736 . . . 4  |-  H  Fn  ( B  X.  B
)
4 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  e.  _V
52, 4eqeltri 2535 . . . 4  |-  B  e. 
_V
6 sscres 14840 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  B  e.  _V )  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
73, 5, 6mp2an 672 . . 3  |-  ( H  |`  ( S  X.  S
) )  C_cat  H
87a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) ) 
C_cat  H )
9 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
10 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Id
`  C )  =  ( Id `  C
)
11 fullsubc.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
1211adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  C  e.  Cat )
13 fullsubc.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
1413sselda 3456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  B )
152, 9, 10, 12, 14catidcl 14724 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x ( Hom  `  C ) x ) )
16 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  S )
1716, 16ovresd 6333 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x H x ) )
181, 2, 9, 14, 14homfval 14735 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x H x )  =  ( x ( Hom  `  C )
x ) )
1917, 18eqtrd 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  =  ( x ( Hom  `  C )
x ) )
2015, 19eleqtrrd 2542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( Id `  C
) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x ) )
21 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  (comp `  C )  =  (comp `  C )
2212ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  C  e.  Cat )
2314ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  B
)
2413adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  S  C_  B )
2524sselda 3456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  B )
2726adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  y  e.  B
)
2824adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
2928sselda 3456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  B )
3029adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  B
)
31 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) )
32 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) )
332, 9, 21, 22, 23, 27, 30, 31, 32catcocl 14727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( Hom  `  C )
z ) )
3416ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  x  e.  S
)
35 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  z  e.  S
)
3634, 35ovresd 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x H z ) )
371, 2, 9, 23, 30homfval 14735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x H z )  =  ( x ( Hom  `  C
) z ) )
3836, 37eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  =  ( x ( Hom  `  C
) z ) )
3933, 38eleqtrrd 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  /\  (
f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y )  /\  g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ) )  ->  ( g (
<. x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
4039ralrimivva 2906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C ) y ) A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) )
41 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  S )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
4341, 42ovresd 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x H y ) )
4414adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  x  e.  B )
451, 2, 9, 44, 25homfval 14735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x H y )  =  ( x ( Hom  `  C )
y ) )
4643, 45eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x ( Hom  `  C )
y ) )
4746adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y )  =  ( x ( Hom  `  C )
y ) )
48 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  S )
49 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  S )
5048, 49ovresd 6333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y H z ) )
511, 2, 9, 26, 29homfval 14735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y H z )  =  ( y ( Hom  `  C )
z ) )
5250, 51eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z )  =  ( y ( Hom  `  C )
z ) )
5352raleqdv 3021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. g  e.  (
y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. g  e.  ( y ( Hom  `  C
) z ) ( g ( <. x ,  y >. (comp `  C ) z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ) )
5447, 53raleqbidv 3029 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  ( A. f  e.  (
x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z )  <->  A. f  e.  ( x ( Hom  `  C
) y ) A. g  e.  ( y
( Hom  `  C ) z ) ( g ( <. x ,  y
>. (comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5540, 54mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S
)  /\  z  e.  S )  ->  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5655ralrimiva 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  y  e.  S )  ->  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5756ralrimiva 2822 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) )
5820, 57jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
( ( Id `  C ) `  x
)  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x
( H  |`  ( S  X.  S ) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
5958ralrimiva 2822 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) )
60 xpss12 5045 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  S  C_  B )  -> 
( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
6113, 13, 60syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )
62 fnssres 5624 . . . 4  |-  ( ( H  Fn  ( B  X.  B )  /\  ( S  X.  S
)  C_  ( B  X.  B ) )  -> 
( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
633, 61, 62sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  Fn  ( S  X.  S ) )
641, 10, 21, 11, 63issubc2 14853 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( H  |`  ( S  X.  S
) )  e.  (Subcat `  C )  <->  ( ( H  |`  ( S  X.  S ) )  C_cat  H  /\  A. x  e.  S  ( ( ( Id
`  C ) `  x )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) x )  /\  A. y  e.  S  A. z  e.  S  A. f  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S
) ) y ) A. g  e.  ( y ( H  |`  ( S  X.  S
) ) z ) ( g ( <.
x ,  y >.
(comp `  C )
z ) f )  e.  ( x ( H  |`  ( S  X.  S ) ) z ) ) ) ) )
658, 59, 64mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( H  |`  ( S  X.  S ) )  e.  (Subcat `  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3070    C_ wss 3428   <.cop 3983   class class class wbr 4392    X. cxp 4938    |` cres 4942    Fn wfn 5513   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   Hom chom 14353  compcco 14354   Catccat 14706   Idccid 14707   Hom f chomf 14708    C_cat cssc 14824  Subcatcsubc 14826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-id 4736  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-pm 7319  df-ixp 7366  df-cat 14710  df-cid 14711  df-homf 14712  df-ssc 14827  df-subc 14829
This theorem is referenced by:  resscat  14866  funcres2c  14915  ressffth  14952  funcsetcres2  15065
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