MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullres2c Structured version   Unicode version

Theorem fullres2c 14868
Description: Condition for a full functor to also be a full functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ffthres2c.a  |-  A  =  ( Base `  C
)
ffthres2c.e  |-  E  =  ( Ds  S )
ffthres2c.d  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
ffthres2c.r  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
ffthres2c.1  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
Assertion
Ref Expression
fullres2c  |-  ( ph  ->  ( F ( C Full 
D ) G  <->  F ( C Full  E ) G ) )

Proof of Theorem fullres2c
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffthres2c.a . . . 4  |-  A  =  ( Base `  C
)
2 ffthres2c.e . . . 4  |-  E  =  ( Ds  S )
3 ffthres2c.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
4 ffthres2c.r . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
5 ffthres2c.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> S )
61, 2, 3, 4, 5funcres2c 14830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( C 
Func  D ) G  <->  F ( C  Func  E ) G ) )
7 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
82, 7resshom 14376 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  V  ->  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  E
) )
94, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Hom  `  D
)  =  ( Hom  `  E ) )
109oveqd 6127 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 x ) ( Hom  `  E )
( F `  y
) ) )
1110eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <->  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  E
) ( F `  y ) ) ) )
12112ralbidv 2776 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  E
) ( F `  y ) ) ) )
136, 12anbi12d 710 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) )  <->  ( F ( C  Func  E ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  E ) ( F `
 y ) ) ) ) )
141, 7isfull 14839 . 2  |-  ( F ( C Full  D ) G  <->  ( F ( C  Func  D ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  D ) ( F `
 y ) ) ) )
15 eqid 2443 . . 3  |-  ( Hom  `  E )  =  ( Hom  `  E )
161, 15isfull 14839 . 2  |-  ( F ( C Full  E ) G  <->  ( F ( C  Func  E ) G  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ran  ( x G y )  =  ( ( F `  x ) ( Hom  `  E ) ( F `
 y ) ) ) )
1713, 14, 163bitr4g 288 1  |-  ( ph  ->  ( F ( C Full 
D ) G  <->  F ( C Full  E ) G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   class class class wbr 4311   ran crn 4860   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   Basecbs 14193   ↾s cress 14194   Hom chom 14268   Catccat 14621    Func cfunc 14783   Full cful 14831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-hom 14281  df-cco 14282  df-cat 14625  df-cid 14626  df-homf 14627  df-comf 14628  df-ssc 14742  df-resc 14743  df-subc 14744  df-func 14787  df-full 14833
This theorem is referenced by:  ffthres2c  14869
  Copyright terms: Public domain W3C validator