Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fulloppc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fulloppc 15820
 Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o oppCat
fulloppc.p oppCat
fulloppc.f Full
Assertion
Ref Expression
fulloppc Full tpos

Proof of Theorem fulloppc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 oppCat
2 fulloppc.p . . 3 oppCat
3 fulloppc.f . . . 4 Full
4 fullfunc 15804 . . . . 5 Full
54ssbri 4444 . . . 4 Full
63, 5syl 17 . . 3
71, 2, 6funcoppc 15773 . 2 tpos
8 eqid 2450 . . . . . 6
9 eqid 2450 . . . . . 6
10 eqid 2450 . . . . . 6
113adantr 467 . . . . . 6 Full
12 simprr 765 . . . . . 6
13 simprl 763 . . . . . 6
148, 9, 10, 11, 12, 13fullfo 15810 . . . . 5
15 forn 5794 . . . . 5
1614, 15syl 17 . . . 4
17 ovtpos 6985 . . . . 5 tpos
1817rneqi 5060 . . . 4 tpos
199, 2oppchom 15613 . . . 4
2016, 18, 193eqtr4g 2509 . . 3 tpos
2120ralrimivva 2808 . 2 tpos
221, 8oppcbas 15616 . . 3
23 eqid 2450 . . 3
2422, 23isfull 15808 . 2 Full tpos tpos tpos
257, 21, 24sylanbrc 669 1 Full tpos
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736   class class class wbr 4401   crn 4834  wfo 5579  cfv 5581  (class class class)co 6288  tpos ctpos 6969  cbs 15114   chom 15194  oppCatcoppc 15609   cfunc 15752   Full cful 15800 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-tpos 6970  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-map 7471  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-hom 15207  df-cco 15208  df-cat 15567  df-cid 15568  df-oppc 15610  df-func 15756  df-full 15802 This theorem is referenced by:  ffthoppc  15822
 Copyright terms: Public domain W3C validator