Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucsect Structured version   Unicode version

Theorem fucsect 15388
 Description: Two natural transformations are in a section iff all the components are in a section relation. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fuciso.q FuncCat
fuciso.b
fuciso.n Nat
fuciso.f
fuciso.g
fucsect.s Sect
fucsect.t Sect
Assertion
Ref Expression
fucsect
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem fucsect
StepHypRef Expression
1 fuciso.q . . . 4 FuncCat
21fucbas 15376 . . 3
3 fuciso.n . . . 4 Nat
41, 3fuchom 15377 . . 3
5 eqid 2457 . . 3 comp comp
6 eqid 2457 . . 3
7 fucsect.s . . 3 Sect
8 fuciso.f . . . . . 6
9 funcrcl 15279 . . . . . 6
108, 9syl 16 . . . . 5
1110simpld 459 . . . 4
1210simprd 463 . . . 4
131, 11, 12fuccat 15386 . . 3
14 fuciso.g . . 3
152, 4, 5, 6, 7, 13, 8, 14issect 15169 . 2 comp
16 ovex 6324 . . . . . . 7 comp
1716rgenw 2818 . . . . . 6 comp
18 mpteqb 5971 . . . . . 6 comp comp comp
1917, 18mp1i 12 . . . . 5 comp comp
20 fuciso.b . . . . . . 7
21 eqid 2457 . . . . . . 7 comp comp
22 simprl 756 . . . . . . 7
23 simprr 757 . . . . . . 7
241, 3, 20, 21, 5, 22, 23fucco 15378 . . . . . 6 comp comp
25 eqid 2457 . . . . . . . 8
268adantr 465 . . . . . . . 8
271, 6, 25, 26fucid 15387 . . . . . . 7
2812adantr 465 . . . . . . . . . 10
29 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11
3029, 25cidfn 15096 . . . . . . . . . 10
3128, 30syl 16 . . . . . . . . 9
32 dffn2 5738 . . . . . . . . 9
3331, 32sylib 196 . . . . . . . 8
34 relfunc 15278 . . . . . . . . . . 11
35 1st2ndbr 6848 . . . . . . . . . . 11
3634, 8, 35sylancr 663 . . . . . . . . . 10
3720, 29, 36funcf1 15282 . . . . . . . . 9
3837adantr 465 . . . . . . . 8
39 fcompt 6068 . . . . . . . 8
4033, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . 7
4127, 40eqtrd 2498 . . . . . 6
4224, 41eqeq12d 2479 . . . . 5 comp comp
43 eqid 2457 . . . . . . 7
44 fucsect.t . . . . . . 7 Sect
4528adantr 465 . . . . . . 7
4638ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
47 1st2ndbr 6848 . . . . . . . . . . 11
4834, 14, 47sylancr 663 . . . . . . . . . 10
4920, 29, 48funcf1 15282 . . . . . . . . 9
5049adantr 465 . . . . . . . 8
5150ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
5222adantr 465 . . . . . . . . 9
533, 52nat1st2nd 15367 . . . . . . . 8
54 simpr 461 . . . . . . . 8
553, 53, 20, 43, 54natcl 15369 . . . . . . 7
5623adantr 465 . . . . . . . . 9
573, 56nat1st2nd 15367 . . . . . . . 8
583, 57, 20, 43, 54natcl 15369 . . . . . . 7
5929, 43, 21, 25, 44, 45, 46, 51, 55, 58issect2 15170 . . . . . 6 comp
6059ralbidva 2893 . . . . 5 comp
6119, 42, 603bitr4d 285 . . . 4 comp
6261pm5.32da 641 . . 3 comp
63 df-3an 975 . . 3 comp comp
64 df-3an 975 . . 3
6562, 63, 643bitr4g 288 . 2 comp
6615, 65bitrd 253 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807  cvv 3109  cop 4038   class class class wbr 4456   cmpt 4515   ccom 5012   wrel 5013   wfn 5589  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296  c1st 6797  c2nd 6798  cbs 14644   chom 14723  compcco 14724  ccat 15081  ccid 15082  Sectcsect 15160   cfunc 15270   Nat cnat 15357   FuncCat cfuc 15358 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-hom 14736  df-cco 14737  df-cat 15085  df-cid 15086  df-sect 15163  df-func 15274  df-nat 15359  df-fuc 15360 This theorem is referenced by:  fucinv  15389
 Copyright terms: Public domain W3C validator