MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucid Structured version   Unicode version

Theorem fucid 14985
Description: The identity morphism in the functor category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucid.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
fucid.i  |-  I  =  ( Id `  Q
)
fucid.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
fucid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C 
Func  D ) )
Assertion
Ref Expression
fucid  |-  ( ph  ->  ( I `  F
)  =  (  .1. 
o.  ( 1st `  F
) ) )

Proof of Theorem fucid
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucid.i . . 3  |-  I  =  ( Id `  Q
)
2 fucid.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
3 fucid.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 14877 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
65simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
75simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
8 fucid.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( Id `  D )
92, 6, 7, 8fuccatid 14983 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  Cat  /\  ( Id `  Q
)  =  ( f  e.  ( C  Func  D )  |->  (  .1.  o.  ( 1st `  f ) ) ) ) )
109simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Id `  Q
)  =  ( f  e.  ( C  Func  D )  |->  (  .1.  o.  ( 1st `  f ) ) ) )
111, 10syl5eq 2504 . 2  |-  ( ph  ->  I  =  ( f  e.  ( C  Func  D )  |->  (  .1.  o.  ( 1st `  f ) ) ) )
12 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
1312fveq2d 5795 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  ( 1st `  f )  =  ( 1st `  F
) )
1413coeq2d 5102 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  (  .1.  o.  ( 1st `  f
) )  =  (  .1.  o.  ( 1st `  F ) ) )
15 fvex 5801 . . . . 5  |-  ( Id
`  D )  e. 
_V
168, 15eqeltri 2535 . . . 4  |-  .1.  e.  _V
17 fvex 5801 . . . 4  |-  ( 1st `  F )  e.  _V
1816, 17coex 6631 . . 3  |-  (  .1. 
o.  ( 1st `  F
) )  e.  _V
1918a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  o.  ( 1st `  F ) )  e.  _V )
2011, 14, 3, 19fvmptd 5880 1  |-  ( ph  ->  ( I `  F
)  =  (  .1. 
o.  ( 1st `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070    |-> cmpt 4450    o. ccom 4944   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   1stc1st 6677   Catccat 14706   Idccid 14707    Func cfunc 14868   FuncCat cfuc 14956
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-hom 14366  df-cco 14367  df-cat 14710  df-cid 14711  df-func 14872  df-nat 14957  df-fuc 14958
This theorem is referenced by:  fucsect  14986  evlfcl  15136  curfcl  15146  curfuncf  15152  curf2ndf  15161
  Copyright terms: Public domain W3C validator