MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucid Structured version   Unicode version

Theorem fucid 15187
Description: The identity morphism in the functor category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucid.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
fucid.i  |-  I  =  ( Id `  Q
)
fucid.1  |-  .1.  =  ( Id `  D )
fucid.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C 
Func  D ) )
Assertion
Ref Expression
fucid  |-  ( ph  ->  ( I `  F
)  =  (  .1. 
o.  ( 1st `  F
) ) )

Proof of Theorem fucid
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucid.i . . 3  |-  I  =  ( Id `  Q
)
2 fucid.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
3 fucid.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  ( C 
Func  D ) )
4 funcrcl 15079 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
65simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
75simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
8 fucid.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( Id `  D )
92, 6, 7, 8fuccatid 15185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  Cat  /\  ( Id `  Q
)  =  ( f  e.  ( C  Func  D )  |->  (  .1.  o.  ( 1st `  f ) ) ) ) )
109simprd 463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Id `  Q
)  =  ( f  e.  ( C  Func  D )  |->  (  .1.  o.  ( 1st `  f ) ) ) )
111, 10syl5eq 2513 . 2  |-  ( ph  ->  I  =  ( f  e.  ( C  Func  D )  |->  (  .1.  o.  ( 1st `  f ) ) ) )
12 simpr 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
1312fveq2d 5861 . . 3  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  ( 1st `  f )  =  ( 1st `  F
) )
1413coeq2d 5156 . 2  |-  ( (
ph  /\  f  =  F )  ->  (  .1.  o.  ( 1st `  f
) )  =  (  .1.  o.  ( 1st `  F ) ) )
15 fvex 5867 . . . . 5  |-  ( Id
`  D )  e. 
_V
168, 15eqeltri 2544 . . . 4  |-  .1.  e.  _V
17 fvex 5867 . . . 4  |-  ( 1st `  F )  e.  _V
1816, 17coex 6726 . . 3  |-  (  .1. 
o.  ( 1st `  F
) )  e.  _V
1918a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  o.  ( 1st `  F ) )  e.  _V )
2011, 14, 3, 19fvmptd 5946 1  |-  ( ph  ->  ( I `  F
)  =  (  .1. 
o.  ( 1st `  F
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    |-> cmpt 4498    o. ccom 4996   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1stc1st 6772   Catccat 14908   Idccid 14909    Func cfunc 15070   FuncCat cfuc 15158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-hom 14568  df-cco 14569  df-cat 14912  df-cid 14913  df-func 15074  df-nat 15159  df-fuc 15160
This theorem is referenced by:  fucsect  15188  evlfcl  15338  curfcl  15348  curfuncf  15354  curf2ndf  15363
  Copyright terms: Public domain W3C validator