MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuchom Structured version   Unicode version

Theorem fuchom 15853
Description: The morphisms in the functor category are natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucbas.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
fuchom.n  |-  N  =  ( C Nat  D )
Assertion
Ref Expression
fuchom  |-  N  =  ( Hom  `  Q
)

Proof of Theorem fuchom
Dummy variables  a 
b  f  g  h  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  =  ( C  Func  D )
3 fuchom.n . . . . 5  |-  N  =  ( C Nat  D )
4 eqid 2422 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2422 . . . . 5  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
6 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  C  e.  Cat )
7 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  D  e.  Cat )
8 eqid 2422 . . . . . 6  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 15851 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  (comp `  Q )  =  ( v  e.  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) ) ,  h  e.  ( C 
Func  D )  |->  [_ ( 1st `  v )  / 
f ]_ [_ ( 2nd `  v )  /  g ]_ ( b  e.  ( g N h ) ,  a  e.  ( f N g ) 
|->  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( b `  x ) ( <.
( ( 1st `  f
) `  x ) ,  ( ( 1st `  g ) `  x
) >. (comp `  D
) ( ( 1st `  h ) `  x
) ) ( a `
 x ) ) ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 15850 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } )
11 catstr 15849 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
12 homid 15300 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
13 snsstp2 4149 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. }
14 ovex 6329 . . . . . 6  |-  ( C Nat 
D )  e.  _V
153, 14eqeltri 2506 . . . . 5  |-  N  e. 
_V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  e.  _V )
17 eqid 2422 . . . 4  |-  ( Hom  `  Q )  =  ( Hom  `  Q )
1810, 11, 12, 13, 16, 17strfv3 15145 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Hom  `  Q
)  =  N )
1918eqcomd 2430 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  ( Hom  `  Q ) )
20 df-hom 15201 . . . 4  |-  Hom  = Slot ; 1 4
2120str0 15148 . . 3  |-  (/)  =  ( Hom  `  (/) )
223natffn 15841 . . . . 5  |-  N  Fn  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )
23 funcrcl 15755 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2423con3i 140 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  -.  f  e.  ( C  Func  D )
)
2524eq0rdv 3797 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  (/) )
2625xpeq2d 4873 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  =  ( ( C  Func  D )  X.  (/) ) )
27 xp0 5270 . . . . . . 7  |-  ( ( C  Func  D )  X.  (/) )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2479 . . . . . 6  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  =  (/) )
2928fneq2d 5681 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( N  Fn  (
( C  Func  D
)  X.  ( C 
Func  D ) )  <->  N  Fn  (/) ) )
3022, 29mpbii 214 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  Fn  (/) )
31 fn0 5709 . . . 4  |-  ( N  Fn  (/)  <->  N  =  (/) )
3230, 31sylib 199 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  (/) )
33 fnfuc 15837 . . . . . . 7  |- FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )
34 fndm 5689 . . . . . . 7  |-  ( FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )  ->  dom FuncCat  =  ( Cat  X. 
Cat ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom FuncCat  =  ( Cat  X.  Cat )
3635ndmov 6463 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C FuncCat  D )  =  (/) )
371, 36syl5eq 2475 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  (/) )
3837fveq2d 5881 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Hom  `  Q
)  =  ( Hom  `  (/) ) )
3921, 32, 383eqtr4a 2489 . 2  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  ( Hom  `  Q ) )
4019, 39pm2.61i 167 1  |-  N  =  ( Hom  `  Q
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   _Vcvv 3081   (/)c0 3761   {ctp 4000   <.cop 4002    X. cxp 4847   dom cdm 4849    Fn wfn 5592   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1c1 9540   4c4 10661   5c5 10662  ;cdc 11051   ndxcnx 15105   Basecbs 15108   Hom chom 15188  compcco 15189   Catccat 15557    Func cfunc 15746   Nat cnat 15833   FuncCat cfuc 15834
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-ixp 7527  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-hom 15201  df-cco 15202  df-func 15750  df-nat 15835  df-fuc 15836
This theorem is referenced by:  fuccatid  15861  fucsect  15864  fuciso  15867  evlfcllem  16093  evlfcl  16094  curfcl  16104  uncf2  16109  curfuncf  16110  diag2cl  16118  curf2ndf  16119  yonedalem21  16145  yonedalem22  16150  yonedalem3b  16151  yonedalem3  16152  yonffthlem  16154
  Copyright terms: Public domain W3C validator