MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuchom Structured version   Unicode version

Theorem fuchom 14871
Description: The morphisms in the functor category are natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucbas.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
fuchom.n  |-  N  =  ( C Nat  D )
Assertion
Ref Expression
fuchom  |-  N  =  ( Hom  `  Q
)

Proof of Theorem fuchom
Dummy variables  a 
b  f  g  h  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
2 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  =  ( C  Func  D )
3 fuchom.n . . . . 5  |-  N  =  ( C Nat  D )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
6 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  C  e.  Cat )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  D  e.  Cat )
8 eqid 2443 . . . . . 6  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 14869 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  (comp `  Q )  =  ( v  e.  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) ) ,  h  e.  ( C 
Func  D )  |->  [_ ( 1st `  v )  / 
f ]_ [_ ( 2nd `  v )  /  g ]_ ( b  e.  ( g N h ) ,  a  e.  ( f N g ) 
|->  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( b `  x ) ( <.
( ( 1st `  f
) `  x ) ,  ( ( 1st `  g ) `  x
) >. (comp `  D
) ( ( 1st `  h ) `  x
) ) ( a `
 x ) ) ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 14868 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } )
11 catstr 14867 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
12 homid 14354 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
13 snsstp2 4025 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. }
14 ovex 6116 . . . . . 6  |-  ( C Nat 
D )  e.  _V
153, 14eqeltri 2513 . . . . 5  |-  N  e. 
_V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  e.  _V )
17 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Hom  `  Q )  =  ( Hom  `  Q )
1810, 11, 12, 13, 16, 17strfv3 14209 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Hom  `  Q
)  =  N )
1918eqcomd 2448 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  ( Hom  `  Q ) )
20 df-hom 14262 . . . 4  |-  Hom  = Slot ; 1 4
2120str0 14212 . . 3  |-  (/)  =  ( Hom  `  (/) )
223natffn 14859 . . . . 5  |-  N  Fn  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )
23 funcrcl 14773 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2423con3i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  -.  f  e.  ( C  Func  D )
)
2524eq0rdv 3672 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  (/) )
2625xpeq2d 4864 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  =  ( ( C  Func  D )  X.  (/) ) )
27 xp0 5256 . . . . . . 7  |-  ( ( C  Func  D )  X.  (/) )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2491 . . . . . 6  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  =  (/) )
2928fneq2d 5502 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( N  Fn  (
( C  Func  D
)  X.  ( C 
Func  D ) )  <->  N  Fn  (/) ) )
3022, 29mpbii 211 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  Fn  (/) )
31 fn0 5530 . . . 4  |-  ( N  Fn  (/)  <->  N  =  (/) )
3230, 31sylib 196 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  (/) )
33 fnfuc 14855 . . . . . . 7  |- FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )
34 fndm 5510 . . . . . . 7  |-  ( FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )  ->  dom FuncCat  =  ( Cat  X. 
Cat ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom FuncCat  =  ( Cat  X.  Cat )
3635ndmov 6247 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C FuncCat  D )  =  (/) )
371, 36syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  (/) )
3837fveq2d 5695 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Hom  `  Q
)  =  ( Hom  `  (/) ) )
3921, 32, 383eqtr4a 2501 . 2  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  ( Hom  `  Q ) )
4019, 39pm2.61i 164 1  |-  N  =  ( Hom  `  Q
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   {ctp 3881   <.cop 3883    X. cxp 4838   dom cdm 4840    Fn wfn 5413   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   1c1 9283   4c4 10373   5c5 10374  ;cdc 10755   ndxcnx 14171   Basecbs 14174   Hom chom 14249  compcco 14250   Catccat 14602    Func cfunc 14764   Nat cnat 14851   FuncCat cfuc 14852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-hom 14262  df-cco 14263  df-func 14768  df-nat 14853  df-fuc 14854
This theorem is referenced by:  fuccatid  14879  fucsect  14882  fuciso  14885  evlfcllem  15031  evlfcl  15032  curfcl  15042  uncf2  15047  curfuncf  15048  diag2cl  15056  curf2ndf  15057  yonedalem21  15083  yonedalem22  15088  yonedalem3b  15089  yonedalem3  15090  yonffthlem  15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator