MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuchom Structured version   Unicode version

Theorem fuchom 15200
Description: The morphisms in the functor category are natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucbas.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
fuchom.n  |-  N  =  ( C Nat  D )
Assertion
Ref Expression
fuchom  |-  N  =  ( Hom  `  Q
)

Proof of Theorem fuchom
Dummy variables  a 
b  f  g  h  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  =  ( C  Func  D )
3 fuchom.n . . . . 5  |-  N  =  ( C Nat  D )
4 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2467 . . . . 5  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
6 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  C  e.  Cat )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  D  e.  Cat )
8 eqid 2467 . . . . . 6  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 15198 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  (comp `  Q )  =  ( v  e.  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) ) ,  h  e.  ( C 
Func  D )  |->  [_ ( 1st `  v )  / 
f ]_ [_ ( 2nd `  v )  /  g ]_ ( b  e.  ( g N h ) ,  a  e.  ( f N g ) 
|->  ( x  e.  (
Base `  C )  |->  ( ( b `  x ) ( <.
( ( 1st `  f
) `  x ) ,  ( ( 1st `  g ) `  x
) >. (comp `  D
) ( ( 1st `  h ) `  x
) ) ( a `
 x ) ) ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 15197 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } )
11 catstr 15196 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
12 homid 14683 . . . 4  |-  Hom  = Slot  ( Hom  `  ndx )
13 snsstp2 4184 . . . 4  |-  { <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  N >. ,  <. (comp ` 
ndx ) ,  (comp `  Q ) >. }
14 ovex 6319 . . . . . 6  |-  ( C Nat 
D )  e.  _V
153, 14eqeltri 2551 . . . . 5  |-  N  e. 
_V
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  e.  _V )
17 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Hom  `  Q )  =  ( Hom  `  Q )
1810, 11, 12, 13, 16, 17strfv3 14537 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Hom  `  Q
)  =  N )
1918eqcomd 2475 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  ( Hom  `  Q ) )
20 df-hom 14591 . . . 4  |-  Hom  = Slot ; 1 4
2120str0 14540 . . 3  |-  (/)  =  ( Hom  `  (/) )
223natffn 15188 . . . . 5  |-  N  Fn  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )
23 funcrcl 15102 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2423con3i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  -.  f  e.  ( C  Func  D )
)
2524eq0rdv 3825 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  (/) )
2625xpeq2d 5028 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  =  ( ( C  Func  D )  X.  (/) ) )
27 xp0 5430 . . . . . . 7  |-  ( ( C  Func  D )  X.  (/) )  =  (/)
2826, 27syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) )  =  (/) )
2928fneq2d 5677 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( N  Fn  (
( C  Func  D
)  X.  ( C 
Func  D ) )  <->  N  Fn  (/) ) )
3022, 29mpbii 211 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  Fn  (/) )
31 fn0 5705 . . . 4  |-  ( N  Fn  (/)  <->  N  =  (/) )
3230, 31sylib 196 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  (/) )
33 fnfuc 15184 . . . . . . 7  |- FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )
34 fndm 5685 . . . . . . 7  |-  ( FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )  ->  dom FuncCat  =  ( Cat  X. 
Cat ) )
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom FuncCat  =  ( Cat  X.  Cat )
3635ndmov 6453 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C FuncCat  D )  =  (/) )
371, 36syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  (/) )
3837fveq2d 5875 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Hom  `  Q
)  =  ( Hom  `  (/) ) )
3921, 32, 383eqtr4a 2534 . 2  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  N  =  ( Hom  `  Q ) )
4019, 39pm2.61i 164 1  |-  N  =  ( Hom  `  Q
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {ctp 4036   <.cop 4038    X. cxp 5002   dom cdm 5004    Fn wfn 5588   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   1c1 9503   4c4 10597   5c5 10598  ;cdc 10986   ndxcnx 14499   Basecbs 14502   Hom chom 14578  compcco 14579   Catccat 14931    Func cfunc 15093   Nat cnat 15180   FuncCat cfuc 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-ixp 7480  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-hom 14591  df-cco 14592  df-func 15097  df-nat 15182  df-fuc 15183
This theorem is referenced by:  fuccatid  15208  fucsect  15211  fuciso  15214  evlfcllem  15360  evlfcl  15361  curfcl  15371  uncf2  15376  curfuncf  15377  diag2cl  15385  curf2ndf  15386  yonedalem21  15412  yonedalem22  15417  yonedalem3b  15418  yonedalem3  15419  yonffthlem  15421
  Copyright terms: Public domain W3C validator