Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuccocl Structured version   Unicode version

Theorem fuccocl 15579
 Description: The composition of two natural transformations is a natural transformation. Remark 6.14(a) in [Adamek] p. 87. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fuccocl.q FuncCat
fuccocl.n Nat
fuccocl.x comp
fuccocl.r
fuccocl.s
Assertion
Ref Expression
fuccocl

Proof of Theorem fuccocl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fuccocl.q . . . 4 FuncCat
2 fuccocl.n . . . 4 Nat
3 eqid 2404 . . . 4
4 eqid 2404 . . . 4 comp comp
5 fuccocl.x . . . 4 comp
6 fuccocl.r . . . 4
7 fuccocl.s . . . 4
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7fucco 15577 . . 3 comp
9 eqid 2404 . . . . . 6
10 eqid 2404 . . . . . 6
112natrcl 15565 . . . . . . . . . . 11
126, 11syl 17 . . . . . . . . . 10
1312simpld 459 . . . . . . . . 9
14 funcrcl 15478 . . . . . . . . 9
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8
1615simprd 463 . . . . . . 7
1716adantr 465 . . . . . 6
18 relfunc 15477 . . . . . . . . 9
19 1st2ndbr 6835 . . . . . . . . 9
2018, 13, 19sylancr 663 . . . . . . . 8
213, 9, 20funcf1 15481 . . . . . . 7
2221ffvelrnda 6011 . . . . . 6
232natrcl 15565 . . . . . . . . . . 11
247, 23syl 17 . . . . . . . . . 10
2524simpld 459 . . . . . . . . 9
26 1st2ndbr 6835 . . . . . . . . 9
2718, 25, 26sylancr 663 . . . . . . . 8
283, 9, 27funcf1 15481 . . . . . . 7
2928ffvelrnda 6011 . . . . . 6
3024simprd 463 . . . . . . . . 9
31 1st2ndbr 6835 . . . . . . . . 9
3218, 30, 31sylancr 663 . . . . . . . 8
333, 9, 32funcf1 15481 . . . . . . 7
3433ffvelrnda 6011 . . . . . 6
352, 6nat1st2nd 15566 . . . . . . . 8
3635adantr 465 . . . . . . 7
37 simpr 461 . . . . . . 7
382, 36, 3, 10, 37natcl 15568 . . . . . 6
392, 7nat1st2nd 15566 . . . . . . . 8
4039adantr 465 . . . . . . 7
412, 40, 3, 10, 37natcl 15568 . . . . . 6
429, 10, 4, 17, 22, 29, 34, 38, 41catcocl 15301 . . . . 5 comp
4342ralrimiva 2820 . . . 4 comp
44 fvex 5861 . . . . 5
45 mptelixpg 7546 . . . . 5 comp comp
4644, 45ax-mp 5 . . . 4 comp comp
4743, 46sylibr 214 . . 3 comp
488, 47eqeltrd 2492 . 2
4916adantr 465 . . . . . 6
5021adantr 465 . . . . . . 7
51 simpr1 1005 . . . . . . 7
5250, 51ffvelrnd 6012 . . . . . 6
53 simpr2 1006 . . . . . . 7
5450, 53ffvelrnd 6012 . . . . . 6
5528adantr 465 . . . . . . 7
5655, 53ffvelrnd 6012 . . . . . 6
57 eqid 2404 . . . . . . . 8
5820adantr 465 . . . . . . . 8
593, 57, 10, 58, 51, 53funcf2 15483 . . . . . . 7
60 simpr3 1007 . . . . . . 7
6159, 60ffvelrnd 6012 . . . . . 6
6235adantr 465 . . . . . . 7
632, 62, 3, 10, 53natcl 15568 . . . . . 6
6433adantr 465 . . . . . . 7
6564, 53ffvelrnd 6012 . . . . . 6
6639adantr 465 . . . . . . 7
672, 66, 3, 10, 53natcl 15568 . . . . . 6
689, 10, 4, 49, 52, 54, 56, 61, 63, 65, 67catass 15302 . . . . 5 comp comp comp comp
692, 62, 3, 57, 4, 51, 53, 60nati 15570 . . . . . . 7 comp comp
7069oveq2d 6296 . . . . . 6 comp comp comp comp
7155, 51ffvelrnd 6012 . . . . . . 7
722, 62, 3, 10, 51natcl 15568 . . . . . . 7
7327adantr 465 . . . . . . . . 9
743, 57, 10, 73, 51, 53funcf2 15483 . . . . . . . 8
7574, 60ffvelrnd 6012 . . . . . . 7
769, 10, 4, 49, 52, 71, 56, 72, 75, 65, 67catass 15302 . . . . . 6 comp comp comp comp
772, 66, 3, 57, 4, 51, 53, 60nati 15570 . . . . . . 7 comp comp
7877oveq1d 6295 . . . . . 6 comp comp comp comp
7970, 76, 783eqtr2d 2451 . . . . 5 comp comp comp comp
8064, 51ffvelrnd 6012 . . . . . 6
812, 66, 3, 10, 51natcl 15568 . . . . . 6
8232adantr 465 . . . . . . . 8
833, 57, 10, 82, 51, 53funcf2 15483 . . . . . . 7
8483, 60ffvelrnd 6012 . . . . . 6
859, 10, 4, 49, 52, 71, 80, 72, 81, 65, 84catass 15302 . . . . 5 comp comp comp comp
8668, 79, 853eqtrd 2449 . . . 4 comp comp comp comp
876adantr 465 . . . . . 6
887adantr 465 . . . . . 6
891, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 53fuccoval 15578 . . . . 5 comp
9089oveq1d 6295 . . . 4 comp comp comp
911, 2, 3, 4, 5, 87, 88, 51fuccoval 15578 . . . . 5 comp
9291oveq2d 6296 . . . 4 comp comp comp
9386, 90, 923eqtr4d 2455 . . 3 comp comp
9493ralrimivvva 2828 . 2 comp comp
952, 3, 57, 10, 4, 13, 30isnat2 15563 . 2 comp comp
9648, 94, 95mpbir2and 925 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 186   wa 369   w3a 976   wceq 1407   wcel 1844  wral 2756  cvv 3061  cop 3980   class class class wbr 4397   cmpt 4455   wrel 4830  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280  c1st 6784  c2nd 6785  cixp 7509  cbs 14843   chom 14922  compcco 14923  ccat 15280   cfunc 15469   Nat cnat 15556   FuncCat cfuc 15557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-hom 14935  df-cco 14936  df-cat 15284  df-func 15473  df-nat 15558  df-fuc 15559 This theorem is referenced by:  fucass  15583  fuccatid  15584  evlfcllem  15816  yonedalem3b  15874
 Copyright terms: Public domain W3C validator