Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucco Structured version   Unicode version

Theorem fucco 15818
 Description: Value of the composition of natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucco.q FuncCat
fucco.n Nat
fucco.a
fucco.o comp
fucco.x comp
fucco.f
fucco.g
Assertion
Ref Expression
fucco
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem fucco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucco.q . . . 4 FuncCat
2 eqid 2429 . . . 4
3 fucco.n . . . 4 Nat
4 fucco.a . . . 4
5 fucco.o . . . 4 comp
6 fucco.f . . . . . . . 8
73natrcl 15806 . . . . . . . 8
86, 7syl 17 . . . . . . 7
98simpld 460 . . . . . 6
10 funcrcl 15719 . . . . . 6
119, 10syl 17 . . . . 5
1211simpld 460 . . . 4
1311simprd 464 . . . 4
14 fucco.x . . . 4 comp
151, 2, 3, 4, 5, 12, 13, 14fuccofval 15815 . . 3
16 fvex 5891 . . . . 5
1716a1i 11 . . . 4
18 simprl 762 . . . . . 6
1918fveq2d 5885 . . . . 5
20 op1stg 6819 . . . . . . 7
218, 20syl 17 . . . . . 6
2221adantr 466 . . . . 5
2319, 22eqtrd 2470 . . . 4
24 fvex 5891 . . . . . 6
2524a1i 11 . . . . 5
2618adantr 466 . . . . . . 7
2726fveq2d 5885 . . . . . 6
28 op2ndg 6820 . . . . . . . 8
298, 28syl 17 . . . . . . 7
3029ad2antrr 730 . . . . . 6
3127, 30eqtrd 2470 . . . . 5
32 simpr 462 . . . . . . 7
33 simprr 764 . . . . . . . 8
3433ad2antrr 730 . . . . . . 7
3532, 34oveq12d 6323 . . . . . 6
36 simplr 760 . . . . . . 7
3736, 32oveq12d 6323 . . . . . 6
3836fveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11
3938fveq1d 5883 . . . . . . . . . 10
4032fveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11
4140fveq1d 5883 . . . . . . . . . 10
4239, 41opeq12d 4198 . . . . . . . . 9
4334fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10
4443fveq1d 5883 . . . . . . . . 9
4542, 44oveq12d 6323 . . . . . . . 8
4645oveqd 6322 . . . . . . 7
4746mpteq2dv 4513 . . . . . 6
4835, 37, 47mpt2eq123dv 6367 . . . . 5
4925, 31, 48csbied2 3429 . . . 4
5017, 23, 49csbied2 3429 . . 3
51 opelxpi 4886 . . . 4
528, 51syl 17 . . 3
53 fucco.g . . . . 5
543natrcl 15806 . . . . 5
5553, 54syl 17 . . . 4
5655simprd 464 . . 3
57 ovex 6333 . . . . 5
58 ovex 6333 . . . . 5
5957, 58mpt2ex 6884 . . . 4
6059a1i 11 . . 3
6115, 50, 52, 56, 60ovmpt2d 6438 . 2
62 simprl 762 . . . . 5
6362fveq1d 5883 . . . 4
64 simprr 764 . . . . 5
6564fveq1d 5883 . . . 4
6663, 65oveq12d 6323 . . 3
6766mpteq2dv 4513 . 2
68 fvex 5891 . . . . 5
694, 68eqeltri 2513 . . . 4
7069mptex 6151 . . 3
7170a1i 11 . 2
7261, 67, 53, 6, 71ovmpt2d 6438 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cvv 3087  csb 3401  cop 4008   cmpt 4484   cxp 4852  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1st 6805  c2nd 6806  cbs 15084  compcco 15164  ccat 15521   cfunc 15710   Nat cnat 15797   FuncCat cfuc 15798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-hom 15176  df-cco 15177  df-func 15714  df-nat 15799  df-fuc 15800 This theorem is referenced by:  fuccoval  15819  fuccocl  15820  fuclid  15822  fucrid  15823  fucass  15824  fucsect  15828  curfcl  16068
 Copyright terms: Public domain W3C validator