MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucbas Structured version   Unicode version

Theorem fucbas 14993
Description: The objects of the functor category are functors from 
C to  D. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fucbas.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
Assertion
Ref Expression
fucbas  |-  ( C 
Func  D )  =  (
Base `  Q )

Proof of Theorem fucbas
Dummy variables  a 
b  f  g  h  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  =  ( C  Func  D )
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( C Nat 
D )  =  ( C Nat  D )
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
6 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  C  e.  Cat )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  D  e.  Cat )
8 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 14992 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  (comp `  Q )  =  ( v  e.  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) ) ,  h  e.  ( C 
Func  D )  |->  [_ ( 1st `  v )  / 
f ]_ [_ ( 2nd `  v )  /  g ]_ ( b  e.  ( g ( C Nat  D
) h ) ,  a  e.  ( f ( C Nat  D ) g )  |->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( b `
 x ) (
<. ( ( 1st `  f
) `  x ) ,  ( ( 1st `  g ) `  x
) >. (comp `  D
) ( ( 1st `  h ) `  x
) ) ( a `
 x ) ) ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 14991 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } )
11 catstr 14990 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
12 baseid 14342 . . . 4  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
13 snsstp1 4135 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. }
14 ovex 6228 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  e.  _V )
16 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
1710, 11, 12, 13, 15, 16strfv3 14331 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Base `  Q
)  =  ( C 
Func  D ) )
1817eqcomd 2462 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  ( Base `  Q ) )
19 base0 14335 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
20 funcrcl 14896 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2120con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  -.  f  e.  ( C  Func  D )
)
2221eq0rdv 3783 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  (/) )
23 fnfuc 14978 . . . . . . 7  |- FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )
24 fndm 5621 . . . . . . 7  |-  ( FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )  ->  dom FuncCat  =  ( Cat  X. 
Cat ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom FuncCat  =  ( Cat  X.  Cat )
2625ndmov 6360 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C FuncCat  D )  =  (/) )
271, 26syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  (/) )
2827fveq2d 5806 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  (/) ) )
2919, 22, 283eqtr4a 2521 . 2  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  ( Base `  Q ) )
3018, 29pm2.61i 164 1  |-  ( C 
Func  D )  =  (
Base `  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   {ctp 3992   <.cop 3994    X. cxp 4949   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   1c1 9398   5c5 10489  ;cdc 10870   ndxcnx 14293   Basecbs 14296   Hom chom 14372  compcco 14373   Catccat 14725    Func cfunc 14887   Nat cnat 14974   FuncCat cfuc 14975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-hom 14385  df-cco 14386  df-func 14891  df-fuc 14977
This theorem is referenced by:  fuccatid  15002  fucsect  15005  fucinv  15006  fuciso  15008  evlfcllem  15154  evlfcl  15155  curfcl  15165  uncf1  15169  uncf2  15170  curfuncf  15171  diag1cl  15175  curf2ndf  15180  yon1cl  15196  oyon1cl  15204  yonedalem21  15206  yonedalem22  15211  yonedalem3b  15212  yonedalem3  15213  yonedainv  15214  yonffthlem  15215  yoneda  15216  yoniso  15218
  Copyright terms: Public domain W3C validator