MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucbas Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fucbas 15943
Description: The objects of the functor category are functors from 
C to  D. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fucbas.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
Assertion
Ref Expression
fucbas  |-  ( C 
Func  D )  =  (
Base `  Q )

Proof of Theorem fucbas
Dummy variables  a 
b  f  g  h  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
2 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  =  ( C  Func  D )
3 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( C Nat 
D )  =  ( C Nat  D )
4 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2471 . . . . 5  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
6 simpl 464 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  C  e.  Cat )
7 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  D  e.  Cat )
8 eqid 2471 . . . . . 6  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 15942 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  (comp `  Q )  =  ( v  e.  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) ) ,  h  e.  ( C 
Func  D )  |->  [_ ( 1st `  v )  / 
f ]_ [_ ( 2nd `  v )  /  g ]_ ( b  e.  ( g ( C Nat  D
) h ) ,  a  e.  ( f ( C Nat  D ) g )  |->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( b `
 x ) (
<. ( ( 1st `  f
) `  x ) ,  ( ( 1st `  g ) `  x
) >. (comp `  D
) ( ( 1st `  h ) `  x
) ) ( a `
 x ) ) ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 15941 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } )
11 catstr 15940 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
12 baseid 15247 . . . 4  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
13 snsstp1 4114 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. ( Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. }
14 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  e.  _V )
16 eqid 2471 . . . 4  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
1710, 11, 12, 13, 15, 16strfv3 15236 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Base `  Q
)  =  ( C 
Func  D ) )
1817eqcomd 2477 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  ( Base `  Q ) )
19 base0 15240 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
20 funcrcl 15846 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2120con3i 142 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  -.  f  e.  ( C  Func  D )
)
2221eq0rdv 3773 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  (/) )
23 fnfuc 15928 . . . . . . 7  |- FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )
24 fndm 5685 . . . . . . 7  |-  ( FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )  ->  dom FuncCat  =  ( Cat  X. 
Cat ) )
2523, 24ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom FuncCat  =  ( Cat  X.  Cat )
2625ndmov 6472 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C FuncCat  D )  =  (/) )
271, 26syl5eq 2517 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  (/) )
2827fveq2d 5883 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  (/) ) )
2919, 22, 283eqtr4a 2531 . 2  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  ( Base `  Q ) )
3018, 29pm2.61i 169 1  |-  ( C 
Func  D )  =  (
Base `  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   (/)c0 3722   {ctp 3963   <.cop 3965    X. cxp 4837   dom cdm 4839    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1c1 9558   5c5 10684  ;cdc 11074   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   Hom chom 15279  compcco 15280   Catccat 15648    Func cfunc 15837   Nat cnat 15924   FuncCat cfuc 15925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-hom 15292  df-cco 15293  df-func 15841  df-fuc 15927
This theorem is referenced by:  fuccatid  15952  fucsect  15955  fucinv  15956  fuciso  15958  evlfcllem  16184  evlfcl  16185  curfcl  16195  uncf1  16199  uncf2  16200  curfuncf  16201  diag1cl  16205  curf2ndf  16210  yon1cl  16226  oyon1cl  16234  yonedalem21  16236  yonedalem22  16241  yonedalem3b  16242  yonedalem3  16243  yonedainv  16244  yonffthlem  16245  yoneda  16246  yoniso  16248
  Copyright terms: Public domain W3C validator