MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fucbas Unicode version

Theorem fucbas 14112
Description: The objects of the functor category are functors from 
C to  D. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jan-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
fucbas.q  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
Assertion
Ref Expression
fucbas  |-  ( C 
Func  D )  =  (
Base `  Q )

Proof of Theorem fucbas
Dummy variables  a 
b  f  g  h  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5  |-  Q  =  ( C FuncCat  D )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  =  ( C  Func  D )
3 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( C Nat 
D )  =  ( C Nat  D )
4 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
5 eqid 2404 . . . . 5  |-  (comp `  D )  =  (comp `  D )
6 simpl 444 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  C  e.  Cat )
7 simpr 448 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  D  e.  Cat )
8 eqid 2404 . . . . . 6  |-  (comp `  Q )  =  (comp `  Q )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 14111 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  (comp `  Q )  =  ( v  e.  ( ( C  Func  D )  X.  ( C 
Func  D ) ) ,  h  e.  ( C 
Func  D )  |->  [_ ( 1st `  v )  / 
f ]_ [_ ( 2nd `  v )  /  g ]_ ( b  e.  ( g ( C Nat  D
) h ) ,  a  e.  ( f ( C Nat  D ) g )  |->  ( x  e.  ( Base `  C
)  |->  ( ( b `
 x ) (
<. ( ( 1st `  f
) `  x ) ,  ( ( 1st `  g ) `  x
) >. (comp `  D
) ( ( 1st `  h ) `  x
) ) ( a `
 x ) ) ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 14110 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } )
11 catstr 14109 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. } Struct  <. 1 , ; 1 5 >.
12 baseid 13466 . . . 4  |-  Base  = Slot  ( Base `  ndx )
13 snsstp1 3909 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. }  C_  { <. (
Base `  ndx ) ,  ( C  Func  D
) >. ,  <. (  Hom  `  ndx ) ,  ( C Nat  D )
>. ,  <. (comp `  ndx ) ,  (comp `  Q ) >. }
14 ovex 6065 . . . . 5  |-  ( C 
Func  D )  e.  _V
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  e.  _V )
16 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  Q )  =  (
Base `  Q )
1710, 11, 12, 13, 15, 16strfv3 13457 . . 3  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Base `  Q
)  =  ( C 
Func  D ) )
1817eqcomd 2409 . 2  |-  ( ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  ( Base `  Q ) )
19 base0 13461 . . 3  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
20 funcrcl 14015 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( C  Func  D )  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2120con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  -.  f  e.  ( C  Func  D )
)
2221eq0rdv 3622 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  (/) )
23 fnfuc 14097 . . . . . . 7  |- FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )
24 fndm 5503 . . . . . . 7  |-  ( FuncCat  Fn  ( Cat  X.  Cat )  ->  dom FuncCat  =  ( Cat  X. 
Cat ) )
2523, 24ax-mp 8 . . . . . 6  |-  dom FuncCat  =  ( Cat  X.  Cat )
2625ndmov 6190 . . . . 5  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C FuncCat  D )  =  (/) )
271, 26syl5eq 2448 . . . 4  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  Q  =  (/) )
2827fveq2d 5691 . . 3  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( Base `  Q
)  =  ( Base `  (/) ) )
2919, 22, 283eqtr4a 2462 . 2  |-  ( -.  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )  ->  ( C  Func  D
)  =  ( Base `  Q ) )
3018, 29pm2.61i 158 1  |-  ( C 
Func  D )  =  (
Base `  Q )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   {ctp 3776   <.cop 3777    X. cxp 4835   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1c1 8947   5c5 10008  ;cdc 10338   ndxcnx 13421   Basecbs 13424    Hom chom 13495  compcco 13496   Catccat 13844    Func cfunc 14006   Nat cnat 14093   FuncCat cfuc 14094
This theorem is referenced by:  fuccatid  14121  fucsect  14124  fucinv  14125  fuciso  14127  evlfcllem  14273  evlfcl  14274  curfcl  14284  uncf1  14288  uncf2  14289  curfuncf  14290  diag1cl  14294  curf2ndf  14299  yon1cl  14315  oyon1cl  14323  yonedalem21  14325  yonedalem22  14330  yonedalem3b  14331  yonedalem3  14332  yonedainv  14333  yonffthlem  14334  yoneda  14335  yoniso  14337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-hom 13508  df-cco 13509  df-func 14010  df-fuc 14096
  Copyright terms: Public domain W3C validator