Theorem ftpg 6069

Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ftpg	|- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )

Proof of Theorem ftpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 993	. . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2		3simpa 993	. . . 4 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
3		simp1 996	. . . 4 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> X =/= Y )
4		fprg 6068	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( A e. F /\ B e. G ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1270	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
6		eqidd 2468	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } )
7		simp3 998	. . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> Z e. W )
8		simp3 998	. . . . . . 7 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> C e. H )
9	7, 8	anim12i 566	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
10	9	3adant3 1016	. . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
11		fsng 6058	. . . . 5 |- ( ( Z e. W /\ C e. H ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
12	10, 11	syl 16	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
13	6, 12	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } )
14		elpri 4047	. . . . . . . 8 |- ( Z e. { X , Y } -> ( Z = X \/ Z = Y ) )
15		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z = X <-> X = Z )
16		nne 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. X =/= Z <-> X = Z )
17	15, 16	bitr4i 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = X <-> -. X =/= Z )
18		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z = Y <-> Y = Z )
19		nne 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. Y =/= Z <-> Y = Z )
20	18, 19	bitr4i 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( Z = Y <-> -. Y =/= Z )
21	17, 20	orbi12i 521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) <-> ( -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
22	21	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> ( -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
23		ianor 488	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) <-> ( -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
24	22, 23	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> -. ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
25	14, 24	syl 16	. . . . . . 7 |- ( Z e. { X , Y } -> -. ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
26	25	con2i 120	. . . . . 6 |- ( ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
27	26	3adant1 1014	. . . . 5 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
28	27	3ad2ant3 1019	. . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> -. Z e. { X , Y } )
29		disjsn 4088	. . . 4 |- ( ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. { X , Y } )
30	28, 29	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
31		fun 5746	. . 3 |- ( ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } /\ { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } ) /\ ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
32	5, 13, 30, 31	syl21anc 1227	. 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
33		df-tp 4032	. . . 4 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
34	33	feq1i 5721	. . 3 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )
35		df-tp 4032	. . . 4 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
36		df-tp 4032	. . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
37	35, 36	feq23i 5723	. . 3 |- ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
38	34, 37	bitri 249	. 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
39	32, 38	sylibr 212	1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   u. cun 3474   i^i cin 3475   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   -->wf 5582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593

This theorem is referenced by:  ftp  6070  2trllemG  24233