MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftpg Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ftpg 6090
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ftpg |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )
Proof of Theorem ftpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 1027 . . . 4 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> ( X e. U /\ Y e. V ) )
2 3simpa 1027 . . . 4 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> ( A e. F /\ B e. G ) )
3 simp1 1030 . . . 4 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> X =/= Y )
4 fprg 6089 . . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V ) /\ ( A e. F /\ B e. G ) /\ X =/= Y ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
51, 2, 3, 4syl3an 1334 . . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } )
6 eqidd 2472 . . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } )
7 simp3 1032 . . . . . . 7 |- ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) -> Z e. W )
8 simp3 1032 . . . . . . 7 |- ( ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) -> C e. H )
97, 8anim12i 576 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
1093adant3 1050 . . . . 5 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( Z e. W /\ C e. H ) )
11 fsng 6079 . . . . 5 |- ( ( Z e. W /\ C e. H ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
1210, 11syl 17 . . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } <-> { <. Z , C >. } = { <. Z , C >. } ) )
136, 12mpbird 240 . . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } )
14 elpri 3976 . . . . . . . 8 |- ( Z e. { X , Y } -> ( Z = X \/ Z = Y ) )
15 eqcom 2478 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z = X <-> X = Z )
16 nne 2647 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. X =/= Z <-> X = Z )
1715, 16bitr4i 260 . . . . . . . . . 10 |- ( Z = X <-> -. X =/= Z )
18 eqcom 2478 . . . . . . . . . . 11 |- ( Z = Y <-> Y = Z )
19 nne 2647 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. Y =/= Z <-> Y = Z )
2018, 19bitr4i 260 . . . . . . . . . 10 |- ( Z = Y <-> -. Y =/= Z )
2117, 20orbi12i 530 . . . . . . . . 9 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) <-> ( -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
22 ianor 496 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) <-> ( -. X =/= Z \/ -. Y =/= Z ) )
2321, 22sylbb2 221 . . . . . . . 8 |- ( ( Z = X \/ Z = Y ) -> -. ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
2414, 23syl 17 . . . . . . 7 |- ( Z e. { X , Y } -> -. ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) )
2524con2i 124 . . . . . 6 |- ( ( X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
26253adant1 1048 . . . . 5 |- ( ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) -> -. Z e. { X , Y } )
27263ad2ant3 1053 . . . 4 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> -. Z e. { X , Y } )
28 disjsn 4023 . . . 4 |- ( ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. { X , Y } )
2927, 28sylibr 217 . . 3 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) )
30 fun 5758 . . 3 |- ( ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } : { X , Y } --> { A , B } /\ { <. Z , C >. } : { Z } --> { C } ) /\ ( { X , Y } i^i { Z } ) = (/) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
315, 13, 29, 30syl21anc 1291 . 2 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
32 df-tp 3964 . . . 4 |- { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } = ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } )
3332feq1i 5730 . . 3 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )
34 df-tp 3964 . . . 4 |- { X , Y , Z } = ( { X , Y } u. { Z } )
35 df-tp 3964 . . . 4 |- { A , B , C } = ( { A , B } u. { C } )
3634, 35feq23i 5733 . . 3 |- ( ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
3733, 36bitri 257 . 2 |- ( { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } <-> ( { <. X , A >. , <. Y , B >. } u. { <. Z , C >. } ) : ( { X , Y } u. { Z } ) --> ( { A , B } u. { C } ) )
3831, 37sylibr 217 1 |- ( ( ( X e. U /\ Y e. V /\ Z e. W ) /\ ( A e. F /\ B e. G /\ C e. H ) /\ ( X =/= Y /\ X =/= Z /\ Y =/= Z ) ) -> { <. X , A >. , <. Y , B >. , <. Z , C >. } : { X , Y , Z } --> { A , B , C } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   u. cun 3388   i^i cin 3389   (/)c0 3722   {csn 3959   {cpr 3961   {ctp 3963   <.cop 3965   -->wf 5585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596
This theorem is referenced by:  ftp  6091  2trllemG  25367
  Copyright terms: Public domain W3C validator