MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftpg Structured version   Unicode version

Theorem ftpg 6069
Description: A function with a domain of three elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
ftpg  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C } )

Proof of Theorem ftpg
StepHypRef Expression
1 3simpa 993 . . . 4  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
) )
2 3simpa 993 . . . 4  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  ( A  e.  F  /\  B  e.  G
) )
3 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  X  =/=  Y )
4 fprg 6068 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G )  /\  X  =/=  Y )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } : { X ,  Y } --> { A ,  B }
)
51, 2, 3, 4syl3an 1270 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } : { X ,  Y } --> { A ,  B } )
6 eqidd 2468 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. Z ,  C >. }  =  { <. Z ,  C >. } )
7 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  Z  e.  W )
8 simp3 998 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  ->  C  e.  H )
97, 8anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H ) )  -> 
( Z  e.  W  /\  C  e.  H
) )
1093adant3 1016 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( Z  e.  W  /\  C  e.  H
) )
11 fsng 6058 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  W  /\  C  e.  H )  ->  ( { <. Z ,  C >. } : { Z } --> { C }  <->  {
<. Z ,  C >. }  =  { <. Z ,  C >. } ) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { <. Z ,  C >. } : { Z } --> { C }  <->  {
<. Z ,  C >. }  =  { <. Z ,  C >. } ) )
136, 12mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. Z ,  C >. } : { Z }
--> { C } )
14 elpri 4047 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  ( Z  =  X  \/  Z  =  Y ) )
15 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  =  X  <->  X  =  Z )
16 nne 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  X  =/=  Z  <->  X  =  Z )
1715, 16bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  X  <->  -.  X  =/=  Z )
18 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  =  Y  <->  Y  =  Z )
19 nne 2668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  Y  =/=  Z  <->  Y  =  Z )
2018, 19bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  =  Y  <->  -.  Y  =/=  Z )
2117, 20orbi12i 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  <->  ( -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z
) )
2221biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  ->  ( -.  X  =/= 
Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
23 ianor 488 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z
)  <->  ( -.  X  =/=  Z  \/  -.  Y  =/=  Z ) )
2422, 23sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  =  X  \/  Z  =  Y )  ->  -.  ( X  =/= 
Z  /\  Y  =/=  Z ) )
2514, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  { X ,  Y }  ->  -.  ( X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z ) )
2625con2i 120 . . . . . 6  |-  ( ( X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
27263adant1 1014 . . . . 5  |-  ( ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/=  Z )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
28273ad2ant3 1019 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
29 disjsn 4088 . . . 4  |-  ( ( { X ,  Y }  i^i  { Z }
)  =  (/)  <->  -.  Z  e.  { X ,  Y } )
3028, 29sylibr 212 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )
31 fun 5746 . . 3  |-  ( ( ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. } : { X ,  Y } --> { A ,  B }  /\  { <. Z ,  C >. } : { Z }
--> { C } )  /\  ( { X ,  Y }  i^i  { Z } )  =  (/) )  ->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
325, 13, 30, 31syl21anc 1227 . 2  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  -> 
( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
33 df-tp 4032 . . . 4  |-  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. }  =  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } )
3433feq1i 5721 . . 3  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C }  <->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C } )
35 df-tp 4032 . . . 4  |-  { X ,  Y ,  Z }  =  ( { X ,  Y }  u.  { Z } )
36 df-tp 4032 . . . 4  |-  { A ,  B ,  C }  =  ( { A ,  B }  u.  { C } )
3735, 36feq23i 5723 . . 3  |-  ( ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  { <. Z ,  C >. } ) : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C }  <->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
3834, 37bitri 249 . 2  |-  ( {
<. X ,  A >. , 
<. Y ,  B >. , 
<. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C }  <->  ( { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. }  u.  {
<. Z ,  C >. } ) : ( { X ,  Y }  u.  { Z } ) --> ( { A ,  B }  u.  { C } ) )
3932, 38sylibr 212 1  |-  ( ( ( X  e.  U  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  W
)  /\  ( A  e.  F  /\  B  e.  G  /\  C  e.  H )  /\  ( X  =/=  Y  /\  X  =/=  Z  /\  Y  =/= 
Z ) )  ->  { <. X ,  A >. ,  <. Y ,  B >. ,  <. Z ,  C >. } : { X ,  Y ,  Z } --> { A ,  B ,  C } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    u. cun 3474    i^i cin 3475   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029   {ctp 4031   <.cop 4033   -->wf 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593
This theorem is referenced by:  ftp  6070  2trllemG  24233
  Copyright terms: Public domain W3C validator