MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthres2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fthres2 15837
Description: A faithful functor into a restricted category is also a faithful functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
fthres2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C Faith  ( D  |`cat  R ) )  C_  ( C Faith  D ) )

Proof of Theorem fthres2
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfth 15814 . . 3  |-  Rel  ( C Faith  ( D  |`cat  R )
)
21a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  Rel  ( C Faith 
( D  |`cat  R )
) )
3 funcres2 15803 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C  Func  ( D  |`cat  R )
)  C_  ( C  Func  D ) )
43ssbrd 4444 . . . . 5  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( f
( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) g  ->  f ( C 
Func  D ) g ) )
54anim1d 568 . . . 4  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( (
f ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) )  ->  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) ) )
6 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
76isfth 15819 . . . 4  |-  ( f ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) g  <-> 
( f ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) )
86isfth 15819 . . . 4  |-  ( f ( C Faith  D ) g  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) )
95, 7, 83imtr4g 274 . . 3  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( f
( C Faith  ( D  |`cat  R ) ) g  -> 
f ( C Faith  D
) g ) )
10 df-br 4403 . . 3  |-  ( f ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) g  <->  <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) )
11 df-br 4403 . . 3  |-  ( f ( C Faith  D ) g  <->  <. f ,  g
>.  e.  ( C Faith  D
) )
129, 10, 113imtr3g 273 . 2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  ( D  |`cat  R
) )  ->  <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  D ) ) )
132, 12relssdv 4927 1  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C Faith  ( D  |`cat  R ) )  C_  ( C Faith  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1887   A.wral 2737    C_ wss 3404   <.cop 3974   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121    |`cat cresc 15713  Subcatcsubc 15714    Func cfunc 15759   Faith cfth 15808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-hom 15214  df-cco 15215  df-cat 15574  df-cid 15575  df-homf 15576  df-ssc 15715  df-resc 15716  df-subc 15717  df-func 15763  df-fth 15810
This theorem is referenced by:  rescfth  15842
  Copyright terms: Public domain W3C validator