MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthres2 Structured version   Unicode version

Theorem fthres2 14825
Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
fthres2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C Faith  ( D  |`cat  R ) )  C_  ( C Faith  D ) )

Proof of Theorem fthres2
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfth 14802 . . 3  |-  Rel  ( C Faith  ( D  |`cat  R )
)
21a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  Rel  ( C Faith 
( D  |`cat  R )
) )
3 funcres2 14791 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C  Func  ( D  |`cat  R )
)  C_  ( C  Func  D ) )
43ssbrd 4321 . . . . 5  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( f
( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) g  ->  f ( C 
Func  D ) g ) )
54anim1d 559 . . . 4  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( (
f ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) )  ->  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) ) )
6 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
76isfth 14807 . . . 4  |-  ( f ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) g  <-> 
( f ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) )
86isfth 14807 . . . 4  |-  ( f ( C Faith  D ) g  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) )
95, 7, 83imtr4g 270 . . 3  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( f
( C Faith  ( D  |`cat  R ) ) g  -> 
f ( C Faith  D
) g ) )
10 df-br 4281 . . 3  |-  ( f ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) g  <->  <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) )
11 df-br 4281 . . 3  |-  ( f ( C Faith  D ) g  <->  <. f ,  g
>.  e.  ( C Faith  D
) )
129, 10, 113imtr3g 269 . 2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  ( D  |`cat  R
) )  ->  <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  D ) ) )
132, 12relssdv 4919 1  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C Faith  ( D  |`cat  R ) )  C_  ( C Faith  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755   A.wral 2705    C_ wss 3316   <.cop 3871   class class class wbr 4280   `'ccnv 4826   Rel wrel 4832   Fun wfun 5400   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Basecbs 14157    |`cat cresc 14704  Subcatcsubc 14705    Func cfunc 14747   Faith cfth 14796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-hom 14245  df-cco 14246  df-cat 14589  df-cid 14590  df-homf 14591  df-ssc 14706  df-resc 14707  df-subc 14708  df-func 14751  df-fth 14798
This theorem is referenced by:  rescfth  14830
  Copyright terms: Public domain W3C validator