MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthres2 Structured version   Unicode version

Theorem fthres2 14965
Description: A functor into a restricted category is also a functor into the whole category. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
fthres2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C Faith  ( D  |`cat  R ) )  C_  ( C Faith  D ) )

Proof of Theorem fthres2
Dummy variables  f 
g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relfth 14942 . . 3  |-  Rel  ( C Faith  ( D  |`cat  R )
)
21a1i 11 . 2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  Rel  ( C Faith 
( D  |`cat  R )
) )
3 funcres2 14931 . . . . . 6  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C  Func  ( D  |`cat  R )
)  C_  ( C  Func  D ) )
43ssbrd 4444 . . . . 5  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( f
( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) g  ->  f ( C 
Func  D ) g ) )
54anim1d 564 . . . 4  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( (
f ( C  Func  ( D  |`cat  R ) ) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) )  ->  ( f
( C  Func  D
) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) ) )
6 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
76isfth 14947 . . . 4  |-  ( f ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) g  <-> 
( f ( C 
Func  ( D  |`cat  R
) ) g  /\  A. x  e.  ( Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) )
86isfth 14947 . . . 4  |-  ( f ( C Faith  D ) g  <->  ( f ( C  Func  D )
g  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
x g y ) ) )
95, 7, 83imtr4g 270 . . 3  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( f
( C Faith  ( D  |`cat  R ) ) g  -> 
f ( C Faith  D
) g ) )
10 df-br 4404 . . 3  |-  ( f ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) g  <->  <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  ( D  |`cat 
R ) ) )
11 df-br 4404 . . 3  |-  ( f ( C Faith  D ) g  <->  <. f ,  g
>.  e.  ( C Faith  D
) )
129, 10, 113imtr3g 269 . 2  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  ( D  |`cat  R
) )  ->  <. f ,  g >.  e.  ( C Faith  D ) ) )
132, 12relssdv 5043 1  |-  ( R  e.  (Subcat `  D
)  ->  ( C Faith  ( D  |`cat  R ) )  C_  ( C Faith  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3439   <.cop 3994   class class class wbr 4403   `'ccnv 4950   Rel wrel 4956   Fun wfun 5523   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14296    |`cat cresc 14844  Subcatcsubc 14845    Func cfunc 14887   Faith cfth 14936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-hom 14385  df-cco 14386  df-cat 14729  df-cid 14730  df-homf 14731  df-ssc 14846  df-resc 14847  df-subc 14848  df-func 14891  df-fth 14938
This theorem is referenced by:  rescfth  14970
  Copyright terms: Public domain W3C validator