MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fthoppc 15828
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
fulloppc.p  |-  P  =  (oppCat `  D )
fthoppc.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
Assertion
Ref Expression
fthoppc  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 fulloppc.p . . 3  |-  P  =  (oppCat `  D )
3 fthoppc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
4 fthfunc 15812 . . . . 5  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
54ssbri 4445 . . . 4  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
71, 2, 6funcoppc 15780 . 2  |-  ( ph  ->  F ( O  Func  P )tpos  G )
8 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
9 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
10 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
113adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  F
( C Faith  D ) G )
12 simprr 766 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
13 simprl 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 15822 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) ) )
15 df-f1 5587 . . . . . 6  |-  ( ( y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) )  <->  ( (
y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) --> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) )  /\  Fun  `' ( y G x ) ) )
1615simprbi 466 . . . . 5  |-  ( ( y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
1714, 16syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
18 ovtpos 6988 . . . . . 6  |-  ( xtpos 
G y )  =  ( y G x )
1918cnveqi 5009 . . . . 5  |-  `' ( xtpos  G y )  =  `' ( y G x )
2019funeqi 5602 . . . 4  |-  ( Fun  `' ( xtpos  G
y )  <->  Fun  `' ( y G x ) )
2117, 20sylibr 216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( xtpos  G y ) )
2221ralrimivva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( xtpos  G
y ) )
231, 8oppcbas 15623 . . 3  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
2423isfth 15819 . 2  |-  ( F ( O Faith  P )tpos 
G  <->  ( F ( O  Func  P )tpos  G  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
xtpos  G y ) ) )
257, 22, 24sylanbrc 670 1  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  tpos ctpos 6972   Basecbs 15121   Hom chom 15201  oppCatcoppc 15616    Func cfunc 15759   Faith cfth 15808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-hom 15214  df-cco 15215  df-cat 15574  df-cid 15575  df-oppc 15617  df-func 15763  df-fth 15810
This theorem is referenced by:  ffthoppc  15829  fthepi  15833
  Copyright terms: Public domain W3C validator