Theorem fthoppc 15141

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	|- O = (oppCat ` C )
fulloppc.p	|- P = (oppCat ` D )
fthoppc.f	|- ( ph -> F ( C Faith D ) G )

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	|- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 |- O = (oppCat ` C )
2		fulloppc.p	. . 3 |- P = (oppCat ` D )
3		fthoppc.f	. . . 4 |- ( ph -> F ( C Faith D ) G )
4		fthfunc 15125	. . . . 5 |- ( C Faith D ) C_ ( C Func D )
5	4	ssbri 4484	. . . 4 |- ( F ( C Faith D ) G -> F ( C Func D ) G )
6	3, 5	syl 16	. . 3 |- ( ph -> F ( C Func D ) G )
7	1, 2, 6	funcoppc 15093	. 2 |- ( ph -> F ( O Func P )tpos G )
8		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
9		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2462	. . . . . 6 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
11	3	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> F ( C Faith D ) G )
12		simprr 756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
13		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 15135	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) )
15		df-f1 5586	. . . . . 6 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) <-> ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) --> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) /\ Fun `' ( y G x ) ) )
16	15	simprbi 464	. . . . 5 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
17	14, 16	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
18		ovtpos 6962	. . . . . 6 |- ( xtpos G y ) = ( y G x )
19	18	cnveqi 5170	. . . . 5 |- `' ( xtpos G y ) = `' ( y G x )
20	19	funeqi 5601	. . . 4 |- ( Fun `' ( xtpos G y ) <-> Fun `' ( y G x ) )
21	17, 20	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( xtpos G y ) )
22	21	ralrimivva 2880	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) )
23	1, 8	oppcbas 14965	. . 3 |- ( Base ` C ) = ( Base ` O )
24	23	isfth 15132	. 2 |- ( F ( O Faith P )tpos G <-> ( F ( O Func P )tpos G /\ A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) ) )
25	7, 22, 24	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2809   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   Fun wfun 5575   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6277  tpos ctpos 6946   Basecbs 14481   Hom chom 14557  oppCatcoppc 14958   Func cfunc 15072   Faith cfth 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-hom 14570  df-cco 14571  df-cat 14914  df-cid 14915  df-oppc 14959  df-func 15076  df-fth 15123

This theorem is referenced by:  ffthoppc  15142  fthepi  15146