Theorem fthoppc 15428

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	|- O = (oppCat ` C )
fulloppc.p	|- P = (oppCat ` D )
fthoppc.f	|- ( ph -> F ( C Faith D ) G )

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	|- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 |- O = (oppCat ` C )
2		fulloppc.p	. . 3 |- P = (oppCat ` D )
3		fthoppc.f	. . . 4 |- ( ph -> F ( C Faith D ) G )
4		fthfunc 15412	. . . . 5 |- ( C Faith D ) C_ ( C Func D )
5	4	ssbri 4436	. . . 4 |- ( F ( C Faith D ) G -> F ( C Func D ) G )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F ( C Func D ) G )
7	1, 2, 6	funcoppc 15380	. 2 |- ( ph -> F ( O Func P )tpos G )
8		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
9		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
11	3	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> F ( C Faith D ) G )
12		simprr 758	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
13		simprl 756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 15422	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) )
15		df-f1 5530	. . . . . 6 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) <-> ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) --> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) /\ Fun `' ( y G x ) ) )
16	15	simprbi 462	. . . . 5 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
17	14, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
18		ovtpos 6927	. . . . . 6 |- ( xtpos G y ) = ( y G x )
19	18	cnveqi 5119	. . . . 5 |- `' ( xtpos G y ) = `' ( y G x )
20	19	funeqi 5545	. . . 4 |- ( Fun `' ( xtpos G y ) <-> Fun `' ( y G x ) )
21	17, 20	sylibr 212	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( xtpos G y ) )
22	21	ralrimivva 2824	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) )
23	1, 8	oppcbas 15223	. . 3 |- ( Base ` C ) = ( Base ` O )
24	23	isfth 15419	. 2 |- ( F ( O Faith P )tpos G <-> ( F ( O Func P )tpos G /\ A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) ) )
25	7, 22, 24	sylanbrc 662	1 |- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2753   class class class wbr 4394   `'ccnv 4941   Fun wfun 5519   -->wf 5521   -1-1->wf1 5522   ` cfv 5525  (class class class)co 6234  tpos ctpos 6911   Basecbs 14733   Hom chom 14812  oppCatcoppc 15216   Func cfunc 15359   Faith cfth 15408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-er 7268  df-map 7379  df-ixp 7428  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-hom 14825  df-cco 14826  df-cat 15174  df-cid 15175  df-oppc 15217  df-func 15363  df-fth 15410

This theorem is referenced by:  ffthoppc  15429  fthepi  15433