Theorem fthoppc 15828

Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. Proposition 3.43(c) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fulloppc.o	|- O = (oppCat ` C )
fulloppc.p	|- P = (oppCat ` D )
fthoppc.f	|- ( ph -> F ( C Faith D ) G )

Assertion

Ref	Expression
fthoppc	|- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Proof of Theorem fthoppc

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fulloppc.o	. . 3 |- O = (oppCat ` C )
2		fulloppc.p	. . 3 |- P = (oppCat ` D )
3		fthoppc.f	. . . 4 |- ( ph -> F ( C Faith D ) G )
4		fthfunc 15812	. . . . 5 |- ( C Faith D ) C_ ( C Func D )
5	4	ssbri 4445	. . . 4 |- ( F ( C Faith D ) G -> F ( C Func D ) G )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F ( C Func D ) G )
7	1, 2, 6	funcoppc 15780	. 2 |- ( ph -> F ( O Func P )tpos G )
8		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
9		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
11	3	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> F ( C Faith D ) G )
12		simprr 766	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
13		simprl 764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	fthf1 15822	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) )
15		df-f1 5587	. . . . . 6 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) <-> ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) --> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) /\ Fun `' ( y G x ) ) )
16	15	simprbi 466	. . . . 5 |- ( ( y G x ) : ( y ( Hom ` C ) x ) -1-1-> ( ( F ` y ) ( Hom ` D ) ( F ` x ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
17	14, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( y G x ) )
18		ovtpos 6988	. . . . . 6 |- ( xtpos G y ) = ( y G x )
19	18	cnveqi 5009	. . . . 5 |- `' ( xtpos G y ) = `' ( y G x )
20	19	funeqi 5602	. . . 4 |- ( Fun `' ( xtpos G y ) <-> Fun `' ( y G x ) )
21	17, 20	sylibr 216	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> Fun `' ( xtpos G y ) )
22	21	ralrimivva 2809	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) )
23	1, 8	oppcbas 15623	. . 3 |- ( Base ` C ) = ( Base ` O )
24	23	isfth 15819	. 2 |- ( F ( O Faith P )tpos G <-> ( F ( O Func P )tpos G /\ A. x e. ( Base ` C ) A. y e. ( Base ` C ) Fun `' ( xtpos G y ) ) )
25	7, 22, 24	sylanbrc 670	1 |- ( ph -> F ( O Faith P )tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   Fun wfun 5576   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290  tpos ctpos 6972   Basecbs 15121   Hom chom 15201  oppCatcoppc 15616   Func cfunc 15759   Faith cfth 15808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-tpos 6973  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-hom 15214  df-cco 15215  df-cat 15574  df-cid 15575  df-oppc 15617  df-func 15763  df-fth 15810

This theorem is referenced by:  ffthoppc  15829  fthepi  15833