MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthoppc Structured version   Unicode version

Theorem fthoppc 15141
Description: The opposite functor of a faithful functor is also faithful. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
fulloppc.p  |-  P  =  (oppCat `  D )
fthoppc.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
Assertion
Ref Expression
fthoppc  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )

Proof of Theorem fthoppc
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 fulloppc.p . . 3  |-  P  =  (oppCat `  D )
3 fthoppc.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
4 fthfunc 15125 . . . . 5  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
54ssbri 4484 . . . 4  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
71, 2, 6funcoppc 15093 . 2  |-  ( ph  ->  F ( O  Func  P )tpos  G )
8 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  C )
9 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  C )  =  ( Hom  `  C )
10 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Hom  `  D )  =  ( Hom  `  D )
113adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  F
( C Faith  D ) G )
12 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  y  e.  ( Base `  C
) )
13 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  x  e.  ( Base `  C
) )
148, 9, 10, 11, 12, 13fthf1 15135 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  (
y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) ) )
15 df-f1 5586 . . . . . 6  |-  ( ( y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) )  <->  ( (
y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) --> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) )  /\  Fun  `' ( y G x ) ) )
1615simprbi 464 . . . . 5  |-  ( ( y G x ) : ( y ( Hom  `  C )
x ) -1-1-> ( ( F `  y ) ( Hom  `  D
) ( F `  x ) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
1714, 16syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( y G x ) )
18 ovtpos 6962 . . . . . 6  |-  ( xtpos 
G y )  =  ( y G x )
1918cnveqi 5170 . . . . 5  |-  `' ( xtpos  G y )  =  `' ( y G x )
2019funeqi 5601 . . . 4  |-  ( Fun  `' ( xtpos  G
y )  <->  Fun  `' ( y G x ) )
2117, 20sylibr 212 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  C
)  /\  y  e.  ( Base `  C )
) )  ->  Fun  `' ( xtpos  G y ) )
2221ralrimivva 2880 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  C ) A. y  e.  ( Base `  C ) Fun  `' ( xtpos  G
y ) )
231, 8oppcbas 14965 . . 3  |-  ( Base `  C )  =  (
Base `  O )
2423isfth 15132 . 2  |-  ( F ( O Faith  P )tpos 
G  <->  ( F ( O  Func  P )tpos  G  /\  A. x  e.  ( Base `  C
) A. y  e.  ( Base `  C
) Fun  `' (
xtpos  G y ) ) )
257, 22, 24sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   class class class wbr 4442   `'ccnv 4993   Fun wfun 5575   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   ` cfv 5581  (class class class)co 6277  tpos ctpos 6946   Basecbs 14481   Hom chom 14557  oppCatcoppc 14958    Func cfunc 15072   Faith cfth 15121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-hom 14570  df-cco 14571  df-cat 14914  df-cid 14915  df-oppc 14959  df-func 15076  df-fth 15123
This theorem is referenced by:  ffthoppc  15142  fthepi  15146
  Copyright terms: Public domain W3C validator