MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthepi Structured version   Unicode version

Theorem fthepi 15148
Description: A faithful functor reflects epimorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fthmon.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
fthmon.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
fthmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
fthmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
fthmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
fthepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
fthepi.p  |-  P  =  (Epi `  D )
fthepi.1  |-  ( ph  ->  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) P ( F `  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fthepi  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X E Y ) )

Proof of Theorem fthepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 fthmon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 14967 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2467 . . 3  |-  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)  =  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)
5 eqid 2467 . . . 4  |-  (oppCat `  D )  =  (oppCat `  D )
6 fthmon.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
71, 5, 6fthoppc 15143 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( (oppCat `  C ) Faith  (oppCat `  D
) )tpos  G )
8 fthmon.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 fthmon.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
10 fthmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
11 fthmon.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
1211, 1oppchom 14964 . . . 4  |-  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X H Y )
1310, 12syl6eleqr 2566 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) X ) )
14 eqid 2467 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
15 eqid 2467 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  D ) )  =  (Mono `  (oppCat `  D ) )
16 ovtpos 6967 . . . . . 6  |-  ( Ytpos 
G X )  =  ( X G Y )
1716fveq1i 5865 . . . . 5  |-  ( ( Ytpos  G X ) `
 R )  =  ( ( X G Y ) `  R
)
18 fthepi.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) P ( F `  Y ) ) )
1917, 18syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Ytpos  G X ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) P ( F `  Y ) ) )
20 fthfunc 15127 . . . . . . . . . 10  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
2120ssbri 4489 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
226, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
23 df-br 4448 . . . . . . . 8  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
25 funcrcl 15083 . . . . . . 7  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2624, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
2726simprd 463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
28 fthepi.p . . . . 5  |-  P  =  (Epi `  D )
295, 27, 15, 28oppcmon 14987 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y ) (Mono `  (oppCat `  D ) ) ( F `  X
) )  =  ( ( F `  X
) P ( F `
 Y ) ) )
3019, 29eleqtrrd 2558 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Ytpos  G X ) `  R
)  e.  ( ( F `  Y ) (Mono `  (oppCat `  D
) ) ( F `
 X ) ) )
313, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 30fthmon 15147 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
3226simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
33 fthepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
341, 32, 14, 33oppcmon 14987 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
3531, 34eleqtrd 2557 1  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X E Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282  tpos ctpos 6951   Basecbs 14483   Hom chom 14559   Catccat 14912  oppCatcoppc 14960  Monocmon 14977  Epicepi 14978    Func cfunc 15074   Faith cfth 15123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-hom 14572  df-cco 14573  df-cat 14916  df-cid 14917  df-oppc 14961  df-mon 14979  df-epi 14980  df-func 15078  df-fth 15125
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator