MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthepi Structured version   Unicode version

Theorem fthepi 15541
Description: A faithful functor reflects epimorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fthmon.h  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
fthmon.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
fthmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
fthmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
fthmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
fthepi.e  |-  E  =  (Epi `  C )
fthepi.p  |-  P  =  (Epi `  D )
fthepi.1  |-  ( ph  ->  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) P ( F `  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fthepi  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X E Y ) )

Proof of Theorem fthepi
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4  |-  (oppCat `  C )  =  (oppCat `  C )
2 fthmon.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  C
)
31, 2oppcbas 15331 . . 3  |-  B  =  ( Base `  (oppCat `  C ) )
4 eqid 2402 . . 3  |-  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)  =  ( Hom  `  (oppCat `  C )
)
5 eqid 2402 . . . 4  |-  (oppCat `  D )  =  (oppCat `  D )
6 fthmon.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
71, 5, 6fthoppc 15536 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( (oppCat `  C ) Faith  (oppCat `  D
) )tpos  G )
8 fthmon.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
9 fthmon.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
10 fthmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
11 fthmon.h . . . . 5  |-  H  =  ( Hom  `  C
)
1211, 1oppchom 15328 . . . 4  |-  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X H Y )
1310, 12syl6eleqr 2501 . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  ( Y ( Hom  `  (oppCat `  C ) ) X ) )
14 eqid 2402 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  C ) )  =  (Mono `  (oppCat `  C ) )
15 eqid 2402 . . 3  |-  (Mono `  (oppCat `  D ) )  =  (Mono `  (oppCat `  D ) )
16 ovtpos 6973 . . . . . 6  |-  ( Ytpos 
G X )  =  ( X G Y )
1716fveq1i 5850 . . . . 5  |-  ( ( Ytpos  G X ) `
 R )  =  ( ( X G Y ) `  R
)
18 fthepi.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) P ( F `  Y ) ) )
1917, 18syl5eqel 2494 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Ytpos  G X ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) P ( F `  Y ) ) )
20 fthfunc 15520 . . . . . . . . . 10  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
2120ssbri 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
226, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
23 df-br 4396 . . . . . . . 8  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
2422, 23sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
25 funcrcl 15476 . . . . . . 7  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
2726simprd 461 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
28 fthepi.p . . . . 5  |-  P  =  (Epi `  D )
295, 27, 15, 28oppcmon 15351 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y ) (Mono `  (oppCat `  D ) ) ( F `  X
) )  =  ( ( F `  X
) P ( F `
 Y ) ) )
3019, 29eleqtrrd 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Ytpos  G X ) `  R
)  e.  ( ( F `  Y ) (Mono `  (oppCat `  D
) ) ( F `
 X ) ) )
313, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 30fthmon 15540 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  ( Y (Mono `  (oppCat `  C
) ) X ) )
3226simpld 457 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
33 fthepi.e . . 3  |-  E  =  (Epi `  C )
341, 32, 14, 33oppcmon 15351 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y (Mono `  (oppCat `  C ) ) X )  =  ( X E Y ) )
3531, 34eleqtrd 2492 1  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X E Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   <.cop 3978   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278  tpos ctpos 6957   Basecbs 14841   Hom chom 14920   Catccat 15278  oppCatcoppc 15324  Monocmon 15341  Epicepi 15342    Func cfunc 15467   Faith cfth 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-hom 14933  df-cco 14934  df-cat 15282  df-cid 15283  df-oppc 15325  df-mon 15343  df-epi 15344  df-func 15471  df-fth 15518
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator