Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2 Structured version   Unicode version

Theorem ftc2 22318
 Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part two. If is a function continuous on and continuously differentiable on , then the integral of the derivative of is equal to . This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2.a
ftc2.b
ftc2.le
ftc2.c
ftc2.i
ftc2.f
Assertion
Ref Expression
ftc2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem ftc2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc2.a . . . . . . 7
21rexrd 9646 . . . . . 6
3 ftc2.b . . . . . . 7
43rexrd 9646 . . . . . 6
5 ftc2.le . . . . . 6
6 ubicc2 11646 . . . . . 6
72, 4, 5, 6syl3anc 1229 . . . . 5
8 fvex 5866 . . . . . 6
98fvconst2 6111 . . . . 5
107, 9syl 16 . . . 4
11 eqid 2443 . . . . . . . 8 fld fld
1211subcn 21243 . . . . . . . . 9 fld fld fld
1312a1i 11 . . . . . . . 8 fld fld fld
14 eqid 2443 . . . . . . . . 9
15 ssid 3508 . . . . . . . . . 10
1615a1i 11 . . . . . . . . 9
17 ioossre 11595 . . . . . . . . . 10
1817a1i 11 . . . . . . . . 9
19 ftc2.i . . . . . . . . 9
20 ftc2.c . . . . . . . . . 10
21 cncff 21270 . . . . . . . . . 10
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9
2314, 1, 3, 5, 16, 18, 19, 22ftc1a 22311 . . . . . . . 8
24 ftc2.f . . . . . . . . . . 11
25 cncff 21270 . . . . . . . . . . 11
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . 10
2726feqmptd 5911 . . . . . . . . 9
2827, 24eqeltrrd 2532 . . . . . . . 8
2911, 13, 23, 28cncfmpt2f 21291 . . . . . . 7
30 ax-resscn 9552 . . . . . . . . . . 11
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10
32 iccssre 11615 . . . . . . . . . . 11
331, 3, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
34 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . 13
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
363adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
3736rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . 14
38 elicc2 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
391, 3, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4039biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140simp3d 1011 . . . . . . . . . . . . . 14
42 iooss2 11574 . . . . . . . . . . . . . 14
4337, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
44 ioombl 21848 . . . . . . . . . . . . . 14
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4634a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
4722feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847, 19eqeltrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . 14
4948adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
5043, 45, 46, 49iblss 22084 . . . . . . . . . . . 12
5135, 50itgcl 22063 . . . . . . . . . . 11
5226ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . 11
5351, 52subcld 9936 . . . . . . . . . 10
5411tgioo2 21181 . . . . . . . . . 10 fldt
55 iccntr 21199 . . . . . . . . . . 11
561, 3, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
5731, 33, 53, 54, 11, 56dvmptntr 22247 . . . . . . . . 9
58 reelprrecn 9587 . . . . . . . . . . 11
5958a1i 11 . . . . . . . . . 10
60 ioossicc 11619 . . . . . . . . . . . 12
6160sseli 3485 . . . . . . . . . . 11
6261, 51sylan2 474 . . . . . . . . . 10
6322ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . 10
6414, 1, 3, 5, 20, 19ftc1cn 22317 . . . . . . . . . . 11
6531, 33, 51, 54, 11, 56dvmptntr 22247 . . . . . . . . . . 11
6622feqmptd 5911 . . . . . . . . . . 11
6764, 65, 663eqtr3d 2492 . . . . . . . . . 10
6861, 52sylan2 474 . . . . . . . . . 10
6931, 33, 52, 54, 11, 56dvmptntr 22247 . . . . . . . . . . 11
7027oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12
7170, 66eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . 11
7269, 71eqtr3d 2486 . . . . . . . . . 10
7359, 62, 63, 67, 68, 63, 72dvmptsub 22243 . . . . . . . . 9
7463subidd 9924 . . . . . . . . . 10
7574mpteq2dva 4523 . . . . . . . . 9
7657, 73, 753eqtrd 2488 . . . . . . . 8
77 fconstmpt 5033 . . . . . . . 8
7876, 77syl6eqr 2502 . . . . . . 7
791, 3, 29, 78dveq0 22274 . . . . . 6
8079fveq1d 5858 . . . . 5
81 oveq2 6289 . . . . . . . . 9
82 itgeq1 22052 . . . . . . . . 9
8381, 82syl 16 . . . . . . . 8
84 fveq2 5856 . . . . . . . 8
8583, 84oveq12d 6299 . . . . . . 7
86 eqid 2443 . . . . . . 7
87 ovex 6309 . . . . . . 7
8885, 86, 87fvmpt 5941 . . . . . 6
897, 88syl 16 . . . . 5
9080, 89eqtr3d 2486 . . . 4
91 lbicc2 11645 . . . . . 6
922, 4, 5, 91syl3anc 1229 . . . . 5
93 oveq2 6289 . . . . . . . . . . 11
94 iooid 11566 . . . . . . . . . . 11
9593, 94syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10
96 itgeq1 22052 . . . . . . . . . 10
9795, 96syl 16 . . . . . . . . 9
98 itg0 22059 . . . . . . . . 9
9997, 98syl6eq 2500 . . . . . . . 8
100 fveq2 5856 . . . . . . . 8
10199, 100oveq12d 6299 . . . . . . 7
102 df-neg 9813 . . . . . . 7
103101, 102syl6eqr 2502 . . . . . 6
104 negex 9823 . . . . . 6
105103, 86, 104fvmpt 5941 . . . . 5
10692, 105syl 16 . . . 4
10710, 90, 1063eqtr3d 2492 . . 3
108107oveq2d 6297 . 2
10926, 7ffvelrnd 6017 . . 3
11034a1i 11 . . . 4
111110, 48itgcl 22063 . . 3
112109, 111pncan3d 9939 . 2
11326, 92ffvelrnd 6017 . . 3
114109, 113negsubd 9942 . 2
115108, 112, 1143eqtr3d 2492 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   wss 3461  c0 3770  csn 4014  cpr 4016   class class class wbr 4437   cmpt 4495   cxp 4987   cdm 4989   crn 4990  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cr 9494  cc0 9495   caddc 9498  cxr 9630   cle 9632   cmin 9810  cneg 9811  cioo 11538  cicc 11541  ctopn 14696  ctg 14712  ℂfldccnfld 18294  cnt 19391   ccn 19598   ctx 19934  ccncf 21253  cvol 21748  cibl 21899  citg 21900   cdv 22140 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-5 10603  df-6 10604  df-7 10605  df-8 10606  df-9 10607  df-10 10608  df-n0 10802  df-z 10871  df-dec 10985  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xneg 11327  df-xadd 11328  df-xmul 11329  df-ioo 11542  df-ioc 11543  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-struct 14511  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-ress 14516  df-plusg 14587  df-mulr 14588  df-starv 14589  df-sca 14590  df-vsca 14591  df-ip 14592  df-tset 14593  df-ple 14594  df-ds 14596  df-unif 14597  df-hom 14598  df-cco 14599  df-rest 14697  df-topn 14698  df-0g 14716  df-gsum 14717  df-topgen 14718  df-pt 14719  df-prds 14722  df-xrs 14776  df-qtop 14781  df-imas 14782  df-xps 14784  df-mre 14860  df-mrc 14861  df-acs 14863  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15841  df-mulg 15934  df-cntz 16229  df-cmn 16674  df-psmet 18285  df-xmet 18286  df-met 18287  df-bl 18288  df-mopn 18289  df-fbas 18290  df-fg 18291  df-cnfld 18295  df-top 19272  df-bases 19274  df-topon 19275  df-topsp 19276  df-cld 19393  df-ntr 19394  df-cls 19395  df-nei 19472  df-lp 19510  df-perf 19511  df-cn 19601  df-cnp 19602  df-haus 19689  df-cmp 19760  df-tx 19936  df-hmeo 20129  df-fil 20220  df-fm 20312  df-flim 20313  df-flf 20314  df-xms 20696  df-ms 20697  df-tms 20698  df-cncf 21255  df-ovol 21749  df-vol 21750  df-mbf 21901  df-itg1 21902  df-itg2 21903  df-ibl 21904  df-itg 21905  df-0p 21950  df-limc 22143  df-dv 22144 This theorem is referenced by:  ftc2ditglem  22319  itgparts  22321  itgsubstlem  22322  itgpowd  31158  lhe4.4ex1a  31210  itgsin0pilem1  31638  itgcoscmulx  31658  itgsincmulx  31663  dirkeritg  31773
 Copyright terms: Public domain W3C validator