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Theorem ftc1lem6 22624
Description: Lemma for ftc1 22625. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Distinct variable groups:    x, t,
z, C    t, D, x, z    z, G    t, A, x, z    t, B, x, z    ph, t, x, z    t, F, x, z    x, L, z
Allowed substitution hints:    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, z, t)    K( x, z, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables  s  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
8 ftc1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
9 ftc1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
10 ftc1.j . . . 4  |-  J  =  ( Lt  RR )
11 ftc1.k . . . 4  |-  K  =  ( Lt  D )
12 ftc1.l . . . 4  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 22621 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
145, 8sseldd 3440 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1513, 14ffvelrnd 5964 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
16 cnxmet 21462 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
17 ax-resscn 9497 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
186, 17syl6ss 3451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
1918adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  D  C_  CC )
20 xmetres2 21046 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2116, 19, 20sylancr 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
) )
2216a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
23 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
2412cnfldtopn 21471 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
25 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2623, 24, 25metrest 21209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2716, 18, 26sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2811, 27syl5eq 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2928oveq1d 6247 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  CnP  L
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) )
3029fveq1d 5805 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  CnP  L ) `  C )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
319, 30eleqtrd 2490 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
) )
3231adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
33 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
3425, 24metcnpi2 21230 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( (
( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
36 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3714ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  D )
3836, 37ovresd 6378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( y ( abs  o.  -  ) C ) )
3918adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  D  C_  CC )
4039sselda 3439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
41 iccssre 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
422, 3, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4342, 17syl6ss 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
44 ioossicc 11579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
4544, 8sseldi 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4643, 45sseldd 3440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  CC )
48 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4948cnmetdval 21460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5040, 47, 49syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5138, 50eqtrd 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( abs `  (
y  -  C ) ) )
5251breq1d 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  v
) )
5313adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : D --> CC )
5453ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
5515ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5648cnmetdval 21460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5754, 55, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5857breq1d 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( F `
 y ) ( abs  o.  -  )
( F `  C
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  w ) )
5952, 58imbi12d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
6059ralbidva 2837 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
61 simprll 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )
62 eldifsni 4095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  -> 
s  =/=  C )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  =/=  C )
642ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
653ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
664ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
675ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
686ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  D  C_  RR )
697ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L^1 )
708ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
719ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `  C ) )
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
73 simplrl 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
74 simplrr 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
75 simprlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
76 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y  -  C )  =  ( u  -  C ) )
7776fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
u  -  C ) ) )
7877breq1d 4402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  C
) )  <  v
) )
79 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
8079oveq1d 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 u )  -  ( F `  C ) ) )
8180fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C ) ) ) )
8281breq1d 4402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8378, 82imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
8483rspccva 3156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  /\  u  e.  D
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8575, 84sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  u  e.  D )  ->  (
( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
8661eldifad 3423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
87 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 22623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  s  =/=  C )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
8963, 88mpdan 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
9089expr 613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( abs `  (
s  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9190adantld 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( s  =/=  C  /\  ( abs `  (
s  -  C ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9291expr 613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
)  ->  ( (
s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9392ralrimdva 2819 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9460, 93sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9594anassrs 646 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9695reximdva 2876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( (
y ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
) ) )
9735, 96mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9897ralrimiva 2815 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 22619 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10099, 43, 45dvlem 22482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
101100, 72fmptd 5987 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) --> CC )
10243ssdifssd 3578 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  { C } )  C_  CC )
103101, 102, 46ellimc3 22465 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  e.  ( H lim CC  C )  <-> 
( ( F `  C )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) ) )
10415, 98, 103mpbir2and 921 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752    \ cdif 3408    C_ wss 3411   {csn 3969   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450    X. cxp 4938    |` cres 4942    o. ccom 4944   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439    < clt 9576    <_ cle 9577    - cmin 9759    / cdiv 10165   RR+crp 11181   (,)cioo 11498   [,]cicc 11501   abscabs 13121   ↾t crest 14925   TopOpenctopn 14926   *Metcxmt 18613   MetOpencmopn 18618  ℂfldccnfld 18630    CnP ccnp 19909   L^1cibl 22208   S.citg 22209   lim CC climc 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cc 8765  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-ofr 6476  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-omul 7090  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-cmp 20070  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-cncf 21564  df-ovol 22058  df-vol 22059  df-mbf 22210  df-itg1 22211  df-itg2 22212  df-ibl 22213  df-itg 22214  df-0p 22259  df-limc 22452
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