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Theorem ftc1lem6 21518
Description: Lemma for ftc1 21519. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Distinct variable groups:    x, t,
z, C    t, D, x, z    z, G    t, A, x, z    t, B, x, z    ph, t, x, z    t, F, x, z    x, L, z
Allowed substitution hints:    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, z, t)    K( x, z, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables  s  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
8 ftc1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
9 ftc1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
10 ftc1.j . . . 4  |-  J  =  ( Lt  RR )
11 ftc1.k . . . 4  |-  K  =  ( Lt  D )
12 ftc1.l . . . 4  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 21515 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
145, 8sseldd 3362 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1513, 14ffvelrnd 5849 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
16 cnxmet 20357 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
17 ax-resscn 9344 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
186, 17syl6ss 3373 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  D  C_  CC )
20 xmetres2 19941 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2116, 19, 20sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
) )
2216a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
23 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
2412cnfldtopn 20366 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
25 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2623, 24, 25metrest 20104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2716, 18, 26sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2811, 27syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2928oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  CnP  L
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) )
3029fveq1d 5698 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  CnP  L ) `  C )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
319, 30eleqtrd 2519 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
) )
3231adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
33 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
3425, 24metcnpi2 20125 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( (
( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1219 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3714ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  D )
3836, 37ovresd 6236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( y ( abs  o.  -  ) C ) )
3918adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  D  C_  CC )
4039sselda 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
41 iccssre 11382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
422, 3, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4342, 17syl6ss 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
44 ioossicc 11386 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
4544, 8sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4643, 45sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  CC )
48 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4948cnmetdval 20355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5040, 47, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5138, 50eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( abs `  (
y  -  C ) ) )
5251breq1d 4307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  v
) )
5313adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : D --> CC )
5453ffvelrnda 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
5515ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5648cnmetdval 20355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5754, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5857breq1d 4307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( F `
 y ) ( abs  o.  -  )
( F `  C
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  w ) )
5952, 58imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
6059ralbidva 2736 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
61 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )
62 eldifsni 4006 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  -> 
s  =/=  C )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  =/=  C )
642ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
653ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
664ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
686ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  D  C_  RR )
697ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L^1 )
708ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `  C ) )
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
73 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
74 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
75 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
76 oveq1 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y  -  C )  =  ( u  -  C ) )
7776fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
u  -  C ) ) )
7877breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  C
) )  <  v
) )
79 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
8079oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 u )  -  ( F `  C ) ) )
8180fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C ) ) ) )
8281breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8378, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
8483rspccva 3077 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  /\  u  e.  D
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8575, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  u  e.  D )  ->  (
( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
8661eldifad 3345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
87 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 21517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  s  =/=  C )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
8963, 88mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
9089expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( abs `  (
s  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9190adantld 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( s  =/=  C  /\  ( abs `  (
s  -  C ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9291expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
)  ->  ( (
s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9392ralrimdva 2811 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9460, 93sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9594anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9695reximdva 2833 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( (
y ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
) ) )
9735, 96mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9897ralrimiva 2804 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 21513 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10099, 43, 45dvlem 21376 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
101100, 72fmptd 5872 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) --> CC )
10243ssdifssd 3499 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  { C } )  C_  CC )
103101, 102, 46ellimc3 21359 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  e.  ( H lim CC  C )  <-> 
( ( F `  C )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) ) )
10415, 98, 103mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330    C_ wss 3333   {csn 3882   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355    X. cxp 4843    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   RR+crp 10996   (,)cioo 11305   [,]cicc 11308   abscabs 12728   ↾t crest 14364   TopOpenctopn 14365   *Metcxmt 17806   MetOpencmopn 17811  ℂfldccnfld 17823    CnP ccnp 18834   L^1cibl 21102   S.citg 21103   lim CC climc 21342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-cmp 18995  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-cncf 20459  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-itg 21108  df-0p 21153  df-limc 21346
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