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Theorem ftc1lem6 22310
Description: Lemma for ftc1 22311. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
ftc1.h  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Distinct variable groups:    x, t,
z, C    t, D, x, z    z, G    t, A, x, z    t, B, x, z    ph, t, x, z    t, F, x, z    x, L, z
Allowed substitution hints:    G( x, t)    H( x, z, t)    J( x, z, t)    K( x, z, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables  s  u  v  w  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1.le . . . 4  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1.s . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1.i . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
8 ftc1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
9 ftc1.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
10 ftc1.j . . . 4  |-  J  =  ( Lt  RR )
11 ftc1.k . . . 4  |-  K  =  ( Lt  D )
12 ftc1.l . . . 4  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 22307 . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
145, 8sseldd 3510 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  D )
1513, 14ffvelrnd 6033 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
16 cnxmet 21148 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
17 ax-resscn 9561 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
186, 17syl6ss 3521 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  D  C_  CC )
20 xmetres2 20732 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D ) )
2116, 19, 20sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( *Met `  D
) )
2216a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
23 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
2412cnfldtopn 21157 . . . . . . . . . . . 12  |-  L  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
25 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
2623, 24, 25metrest 20895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2716, 18, 26sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Lt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2811, 27syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
2928oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K  CnP  L
)  =  ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) )
3029fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  CnP  L ) `  C )  =  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
319, 30eleqtrd 2557 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
) )
3231adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  CnP  L ) `
 C ) )
33 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
3425, 24metcnpi2 20916 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( *Met `  D )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( (
( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )  CnP 
L ) `  C
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1229 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )
)
36 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  D )
3714ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  D )
3836, 37ovresd 6438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( y ( abs  o.  -  ) C ) )
3918adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  D  C_  CC )
4039sselda 3509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  y  e.  CC )
41 iccssre 11618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
422, 3, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
4342, 17syl6ss 3521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
44 ioossicc 11622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
4544, 8sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A [,] B ) )
4643, 45sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  C  e.  CC )
48 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4948cnmetdval 21146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5040, 47, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) C
)  =  ( abs `  ( y  -  C
) ) )
5138, 50eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) C )  =  ( abs `  (
y  -  C ) ) )
5251breq1d 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  C
) )  <  v
) )
5313adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : D --> CC )
5453ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  y
)  e.  CC )
5515ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( F `  C
)  e.  CC )
5648cnmetdval 21146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  CC  /\  ( F `  C )  e.  CC )  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5754, 55, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) ) )
5857breq1d 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( F `
 y ) ( abs  o.  -  )
( F `  C
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C ) ) )  <  w ) )
5952, 58imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  y  e.  D )  ->  ( ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
6059ralbidva 2903 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  <->  A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
61 simprll 761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )
62 eldifsni 4159 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  -> 
s  =/=  C )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  =/=  C )
642ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
653ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
664ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
686ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  D  C_  RR )
697ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L^1 )
708ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  C  e.  ( A (,) B
) )
719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `  C ) )
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  H  =  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 C ) )  /  ( z  -  C ) ) )
73 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
74 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
75 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
76 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
y  -  C )  =  ( u  -  C ) )
7776fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( y  -  C ) )  =  ( abs `  (
u  -  C ) ) )
7877breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  C
) )  <  v
) )
79 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  u  ->  ( F `  y )  =  ( F `  u ) )
8079oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  u  ->  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) )  =  ( ( F `
 u )  -  ( F `  C ) ) )
8180fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  u  ->  ( abs `  ( ( F `
 y )  -  ( F `  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C ) ) ) )
8281breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  u  ->  (
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8378, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  u  ->  (
( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
8483rspccva 3218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  /\  u  e.  D
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  C )
) )  <  w
) )
8575, 84sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  u  e.  D )  ->  (
( abs `  (
u  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
8661eldifad 3493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  s  e.  ( A [,] B
) )
87 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 22309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  /\  s  =/=  C )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
8963, 88mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( s  -  C
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
)
9089expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( abs `  (
s  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9190adantld 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } )  /\  A. y  e.  D  (
( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )  ->  (
( s  =/=  C  /\  ( abs `  (
s  -  C ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9291expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  ( y  -  C ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  C )
) )  <  w
)  ->  ( (
s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9392ralrimdva 2885 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( abs `  (
y  -  C ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9460, 93sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9594anassrs 648 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  ->  ( A. y  e.  D  ( ( y ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  -> 
( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  A. s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) )
9695reximdva 2942 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. y  e.  D  ( (
y ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) C )  <  v  ->  ( ( F `  y ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  C )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( H `
 s )  -  ( F `  C ) ) )  <  w
) ) )
9735, 96mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
9897ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) )
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 22305 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10099, 43, 45dvlem 22168 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  C ) )  /  ( z  -  C ) )  e.  CC )
101100, 72fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( A [,] B ) 
\  { C }
) --> CC )
10243ssdifssd 3647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  { C } )  C_  CC )
103101, 102, 46ellimc3 22151 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C )  e.  ( H lim CC  C )  <-> 
( ( F `  C )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. s  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } ) ( ( s  =/=  C  /\  ( abs `  ( s  -  C ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( H `  s
)  -  ( F `
 C ) ) )  <  w ) ) ) )
10415, 98, 103mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( H lim
CC  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   abscabs 13047   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694   *Metcxmt 18273   MetOpencmopn 18278  ℂfldccnfld 18290    CnP ccnp 19594   L^1cibl 21894   S.citg 21895   lim CC climc 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-limc 22138
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