Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem6 22624
 Description: Lemma for ftc1 22625. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g
ftc1.a
ftc1.b
ftc1.le
ftc1.s
ftc1.d
ftc1.i
ftc1.c
ftc1.f
ftc1.j t
ftc1.k t
ftc1.l fld
ftc1.h
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 lim
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4
2 ftc1.a . . . 4
3 ftc1.b . . . 4
4 ftc1.le . . . 4
5 ftc1.s . . . 4
6 ftc1.d . . . 4
7 ftc1.i . . . 4
8 ftc1.c . . . 4
9 ftc1.f . . . 4
10 ftc1.j . . . 4 t
11 ftc1.k . . . 4 t
12 ftc1.l . . . 4 fld
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 22621 . . 3
145, 8sseldd 3440 . . 3
1513, 14ffvelrnd 5964 . 2
16 cnxmet 21462 . . . . . 6
17 ax-resscn 9497 . . . . . . . 8
186, 17syl6ss 3451 . . . . . . 7
1918adantr 463 . . . . . 6
20 xmetres2 21046 . . . . . 6
2116, 19, 20sylancr 661 . . . . 5
2216a1i 11 . . . . 5
23 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12
2412cnfldtopn 21471 . . . . . . . . . . . 12
25 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12
2623, 24, 25metrest 21209 . . . . . . . . . . 11 t
2716, 18, 26sylancr 661 . . . . . . . . . 10 t
2811, 27syl5eq 2453 . . . . . . . . 9
2928oveq1d 6247 . . . . . . . 8
3029fveq1d 5805 . . . . . . 7
319, 30eleqtrd 2490 . . . . . 6
3231adantr 463 . . . . 5
33 simpr 459 . . . . 5
3425, 24metcnpi2 21230 . . . . 5
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1229 . . . 4
36 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12
3714ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37ovresd 6378 . . . . . . . . . . 11
3918adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13
4039sselda 3439 . . . . . . . . . . . 12
41 iccssre 11575 . . . . . . . . . . . . . . . 16
422, 3, 41syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342, 17syl6ss 3451 . . . . . . . . . . . . . 14
44 ioossicc 11579 . . . . . . . . . . . . . . 15
4544, 8sseldi 3437 . . . . . . . . . . . . . 14
4643, 45sseldd 3440 . . . . . . . . . . . . 13
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12
48 eqid 2400 . . . . . . . . . . . . 13
4948cnmetdval 21460 . . . . . . . . . . . 12
5040, 47, 49syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11
5138, 50eqtrd 2441 . . . . . . . . . 10
5251breq1d 4402 . . . . . . . . 9
5313adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
5453ffvelrnda 5963 . . . . . . . . . . 11
5515ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11
5648cnmetdval 21460 . . . . . . . . . . 11
5754, 55, 56syl2anc 659 . . . . . . . . . 10
5857breq1d 4402 . . . . . . . . 9
5952, 58imbi12d 318 . . . . . . . 8
6059ralbidva 2837 . . . . . . 7
61 simprll 762 . . . . . . . . . . . . 13
62 eldifsni 4095 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12
642ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
653ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
664ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
675ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
686ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
697ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
708ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
719ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13
73 simplrl 760 . . . . . . . . . . . . 13
74 simplrr 761 . . . . . . . . . . . . 13
75 simprlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14
76 oveq1 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7776fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877breq1d 4402 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079oveq1d 6247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8180fveq2d 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8281breq1d 4402 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8378, 82imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . 15
8483rspccva 3156 . . . . . . . . . . . . . 14
8575, 84sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13
8661eldifad 3423 . . . . . . . . . . . . 13
87 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 22623 . . . . . . . . . . . 12
8963, 88mpdan 666 . . . . . . . . . . 11
9089expr 613 . . . . . . . . . 10
9190adantld 465 . . . . . . . . 9
9291expr 613 . . . . . . . 8
9392ralrimdva 2819 . . . . . . 7
9460, 93sylbid 215 . . . . . 6
9594anassrs 646 . . . . 5
9695reximdva 2876 . . . 4
9735, 96mpd 15 . . 3
9897ralrimiva 2815 . 2
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 22619 . . . . 5
10099, 43, 45dvlem 22482 . . . 4
101100, 72fmptd 5987 . . 3
10243ssdifssd 3578 . . 3
103101, 102, 46ellimc3 22465 . 2 lim
10415, 98, 103mpbir2and 921 1 lim
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  wrex 2752   cdif 3408   wss 3411  csn 3969   class class class wbr 4392   cmpt 4450   cxp 4938   cres 4942   ccom 4944  wf 5519  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc 9438  cr 9439   clt 9576   cle 9577   cmin 9759   cdiv 10165  crp 11181  cioo 11498  cicc 11501  cabs 13121   ↾t crest 14925  ctopn 14926  cxmt 18613  cmopn 18618  ℂfldccnfld 18630   ccnp 19909  cibl 22208  citg 22209   lim climc 22448 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cc 8765  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-ofr 6476  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-omul 7090  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-cmp 20070  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-cncf 21564  df-ovol 22058  df-vol 22059  df-mbf 22210  df-itg1 22211  df-itg2 22212  df-ibl 22213  df-itg 22214  df-0p 22259  df-limc 22452 This theorem is referenced by:  ftc1  22625
 Copyright terms: Public domain W3C validator