Theorem ftc1lem3 22547

Description: Lemma for ftc1 22551. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftc1.g	|- G = ( x e. ( A [,] B ) |-> S. ( A (,) x ) ( F ` t ) _d t )
ftc1.a	|- ( ph -> A e. RR )
ftc1.b	|- ( ph -> B e. RR )
ftc1.le	|- ( ph -> A <_ B )
ftc1.s	|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ D )
ftc1.d	|- ( ph -> D C_ RR )
ftc1.i	|- ( ph -> F e. L^1 )
ftc1.c	|- ( ph -> C e. ( A (,) B ) )
ftc1.f	|- ( ph -> F e. ( ( K CnP L ) ` C ) )
ftc1.j	|- J = ( L ↾t RR )
ftc1.k	|- K = ( L ↾t D )
ftc1.l	|- L = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ftc1lem3	|- ( ph -> F : D --> CC )

Distinct variable groups:   x, t, C   t, D, x   t, A, x   t, B, x   ph, t, x   t, F, x   x, L

Allowed substitution hints:   G( x, t)   J( x, t)   K( x, t)   L( t)

Proof of Theorem ftc1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftc1.k	. . 3 |- K = ( L ↾t D )
2		ftc1.l	. . . . 5 |- L = ( TopOpen ` ℂfld )
3	2	cnfldtopon 21398	. . . 4 |- L e. (TopOn ` CC )
4		ftc1.d	. . . . 5 |- ( ph -> D C_ RR )
5		ax-resscn 9482	. . . . 5 |- RR C_ CC
6	4, 5	syl6ss 3446	. . . 4 |- ( ph -> D C_ CC )
7		resttopon 19771	. . . 4 |- ( ( L e. (TopOn ` CC ) /\ D C_ CC ) -> ( L ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
8	3, 6, 7	sylancr 661	. . 3 |- ( ph -> ( L ↾t D ) e. (TopOn ` D ) )
9	1, 8	syl5eqel 2488	. 2 |- ( ph -> K e. (TopOn ` D ) )
10	3	a1i 11	. 2 |- ( ph -> L e. (TopOn ` CC ) )
11		ftc1.f	. 2 |- ( ph -> F e. ( ( K CnP L ) ` C ) )
12		cnpf2 19860	. 2 |- ( ( K e. (TopOn ` D ) /\ L e. (TopOn ` CC ) /\ F e. ( ( K CnP L ) ` C ) ) -> F : D --> CC )
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1226	1 |- ( ph -> F : D --> CC )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1399   e. wcel 1836   C_ wss 3406   class class class wbr 4384   |-> cmpt 4442   -->wf 5509   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424   <_ cle 9562   (,)cioo 11472   [,]cicc 11475   ↾_t crest 14851   TopOpenctopn 14852  ℂ_fldccnfld 18556  TopOnctopon 19503   CnP ccnp 19835   L^1cibl 22134   S.citg 22135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fi 7808  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-fz 11616  df-seq 12034  df-exp 12093  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-rest 14853  df-topn 14854  df-topgen 14874  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-cnp 19838  df-xms 20931  df-ms 20932

This theorem is referenced by:  ftc1lem4  22548  ftc1lem5  22549  ftc1lem6  22550  ftc1  22551