MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem2 22310
Description: Lemma for ftc1 22316. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 5866 . . . 4  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  ( A (,) x
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
3 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
54rexrd 9646 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR* )
6 ftc1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7 elicc2 11598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
86, 3, 7syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
109simp3d 1011 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
11 iooss2 11574 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  <_  B )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
125, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
13 ftc1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  D
)
1512, 14sstrd 3499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  D
)
16 ioombl 21848 . . . . 5  |-  ( A (,) x )  e. 
dom  vol
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  e.  dom  vol )
181a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
19 ftc1a.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
2019feqmptd 5911 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
21 ftc1.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
2220, 21eqeltrrd 2532 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) )  e.  L^1 )
2415, 17, 18, 23iblss 22084 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) x
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
252, 24itgcl 22063 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
26 ftc1.g . 2  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2725, 26fmptd 6040 1  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   (,)cioo 11538   [,]cicc 11541   volcvol 21748   L^1cibl 21899   S.citg 21900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-q 11192  df-rp 11230  df-xadd 11328  df-ioo 11542  df-ico 11544  df-icc 11545  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-fl 11908  df-mod 11976  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-rlim 13291  df-sum 13488  df-xmet 18286  df-met 18287  df-ovol 21749  df-vol 21750  df-mbf 21901  df-itg1 21902  df-itg2 21903  df-ibl 21904  df-itg 21905
This theorem is referenced by:  ftc1a  22311  ftc1lem5  22314  ftc1lem6  22315  ftc1  22316  ftc1cn  22317  ftc1cnnc  30064  ftc1anc  30073
  Copyright terms: Public domain W3C validator