MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem2 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem2 22282
Description: Lemma for ftc1 22288. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    ph, t, x   
t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 5881 . . . 4  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  ( A (,) x
) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
3 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
43adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
54rexrd 9653 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR* )
6 ftc1.a . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
7 elicc2 11599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
86, 3, 7syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( A [,] B )  <-> 
( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B ) ) )
98biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  A  <_  x  /\  x  <_  B
) )
109simp3d 1010 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
11 iooss2 11575 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  x  <_  B )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
125, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  ( A (,) B ) )
13 ftc1.s . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  D
)
1512, 14sstrd 3519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  C_  D
)
16 ioombl 21820 . . . . 5  |-  ( A (,) x )  e. 
dom  vol
1716a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A (,) x )  e.  dom  vol )
181a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
19 ftc1a.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
2019feqmptd 5926 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
21 ftc1.i . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
2220, 21eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) )  e.  L^1 )
2415, 17, 18, 23iblss 22056 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( t  e.  ( A (,) x
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
252, 24itgcl 22035 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t )  _d t  e.  CC )
26 ftc1.g . 2  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2725, 26fmptd 6055 1  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   dom cdm 5004   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   CCcc 9500   RRcr 9501   RR*cxr 9637    <_ cle 9639   (,)cioo 11539   [,]cicc 11542   volcvol 21720   L^1cibl 21871   S.citg 21872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-inf2 8068  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579  ax-pre-sup 9580
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-of 6534  df-ofr 6535  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-2o 7141  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-oi 7945  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-div 10217  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-q 11193  df-rp 11231  df-xadd 11329  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-fl 11907  df-mod 11975  df-seq 12086  df-exp 12145  df-hash 12384  df-cj 12907  df-re 12908  df-im 12909  df-sqrt 13043  df-abs 13044  df-clim 13286  df-rlim 13287  df-sum 13484  df-xmet 18259  df-met 18260  df-ovol 21721  df-vol 21722  df-mbf 21873  df-itg1 21874  df-itg2 21875  df-ibl 21876  df-itg 21877
This theorem is referenced by:  ftc1a  22283  ftc1lem5  22286  ftc1lem6  22287  ftc1  22288  ftc1cn  22289  ftc1cnnc  29984  ftc1anc  29993
  Copyright terms: Public domain W3C validator