MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1lem1 21407
Description: Lemma for ftc1a 21409 and ftc1 21414. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1a.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
ftc1lem1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
ftc1lem1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Distinct variable groups:    x, t, D    t, A, x    t, B, x    t, X, x    ph, t, x    t, Y, x    t, F, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( A [,] B ) )
2 oveq2 6098 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  Y  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) Y
) )
3 itgeq1 21150 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) Y )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
5 ftc1.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
6 itgex 21148 . . . . . . 7  |-  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
74, 5, 6fvmpt 5771 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  =  S. ( A (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
98adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  S. ( A (,) Y
) ( F `  t )  _d t )
10 ftc1.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
1110adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  e.  RR )
12 ftc1.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
13 iccssre 11373 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1410, 12, 13syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1514, 1sseldd 3354 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
1615adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  Y  e.  RR )
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  ( A [,] B ) )
1814, 17sseldd 3354 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1918adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  RR )
20 elicc2 11356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2110, 12, 20syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] B )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) ) )
2217, 21mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  B ) )
2322simp2d 996 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  X )
2423adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  A  <_  X )
25 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  <_  Y )
26 elicc2 11356 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  Y  e.  RR )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2710, 15, 26syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( A [,] Y )  <-> 
( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y ) ) )
2827adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( X  e.  ( A [,] Y
)  <->  ( X  e.  RR  /\  A  <_  X  /\  X  <_  Y
) ) )
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1166 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  X  e.  ( A [,] Y ) )
3012rexrd 9429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
31 elicc2 11356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
3210, 12, 31syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) ) )
331, 32mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  RR  /\  A  <_  Y  /\  Y  <_  B ) )
3433simp3d 997 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  <_  B )
35 iooss2 11332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  Y  <_  B )  ->  ( A (,) Y )  C_  ( A (,) B ) )
3630, 34, 35syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
37 ftc1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
3836, 37sstrd 3363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) Y
)  C_  D )
3938adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( A (,) Y )  C_  D
)
4039sselda 3353 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  t  e.  D )
41 ftc1a.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
4241ffvelrnda 5840 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4342adantlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4440, 43syldan 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  X  <_  Y )  /\  t  e.  ( A (,) Y
) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
4522simp3d 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  B )
46 iooss2 11332 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  X  <_  B )  ->  ( A (,) X )  C_  ( A (,) B ) )
4730, 45, 46syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  ( A (,) B ) )
4847, 37sstrd 3363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  C_  D )
49 ioombl 20946 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) X )  e. 
dom  vol
5049a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) X
)  e.  dom  vol )
51 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 t )  e. 
_V
5251a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
5341feqmptd 5741 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( t  e.  D  |->  ( F `
 t ) ) )
54 ftc1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
5553, 54eqeltrrd 2516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( t  e.  D  |->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
5648, 50, 52, 55iblss 21182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( A (,) X ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
5756adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( A (,) X
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
5810rexrd 9429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
59 iooss1 11331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  X )  ->  ( X (,) Y )  C_  ( A (,) Y ) )
6058, 23, 59syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) Y ) )
6160, 36sstrd 3363 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  ( A (,) B ) )
6261, 37sstrd 3363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  C_  D )
63 ioombl 20946 . . . . . . . 8  |-  ( X (,) Y )  e. 
dom  vol
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X (,) Y
)  e.  dom  vol )
6562, 64, 52, 55iblss 21182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( X (,) Y ) 
|->  ( F `  t
) )  e.  L^1 )
6665adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( t  e.  ( X (,) Y
)  |->  ( F `  t ) )  e.  L^1 )
6711, 16, 29, 44, 57, 66itgsplitioo 21215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  S. ( A (,) Y ) ( F `  t )  _d t  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
689, 67eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  Y )  =  ( S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t ) )
69 oveq2 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A (,) x )  =  ( A (,) X
) )
70 itgeq1 21150 . . . . . . 7  |-  ( ( A (,) x )  =  ( A (,) X )  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7169, 70syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  S. ( A (,) x ) ( F `  t
)  _d t  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
72 itgex 21148 . . . . . 6  |-  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  e. 
_V
7371, 5, 72fvmpt 5771 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( A [,] B )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t )
7417, 73syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  X
)  =  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )
7574adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( G `  X )  =  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )
7668, 75oveq12d 6108 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t ) )
7751a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( A (,) X ) )  ->  ( F `  t )  e.  _V )
7877, 56itgcl 21161 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) X ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
7962sselda 3353 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  t  e.  D )
8079, 42syldan 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
8180, 65itgcl 21161 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t  e.  CC )
8278, 81pncan2d 9717 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )  -  S. ( A (,) X ) ( F `  t
)  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )
8382adantr 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t  +  S. ( X (,) Y ) ( F `  t )  _d t )  -  S. ( A (,) X
) ( F `  t )  _d t )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `  t
)  _d t )
8476, 83eqtrd 2473 1  |-  ( (
ph  /\  X  <_  Y )  ->  ( ( G `  Y )  -  ( G `  X ) )  =  S. ( X (,) Y ) ( F `
 t )  _d t )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277    + caddc 9281   RR*cxr 9413    <_ cle 9415    - cmin 9591   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   volcvol 20847   L^1cibl 20997   S.citg 20998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001  df-ibl 21002  df-itg 21003  df-0p 21048
This theorem is referenced by:  ftc1a  21409  ftc1lem4  21411  ftc1cnnclem  28374
  Copyright terms: Public domain W3C validator