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Theorem ftc1cnnc 31720
Description: Choice-free proof of ftc1cn 22872. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Distinct variable groups:    x, t, A    x, B, t    x, F, t    ph, x, t
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables  y 
z  s  u  v  w  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 22739 . . . . 5  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC )
3 ffun 5748 . . . 4  |-  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR 
_D  G ) --> CC 
->  Fun  ( RR  _D  G ) )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( RR  _D  G ) )
5 ax-resscn 9595 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 ftc1cnnc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
8 ftc1cnnc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1cnnc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 ftc1cnnc.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
11 ssid 3489 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
13 ioossre 11696 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
15 ftc1cnnc.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
16 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17 cncff 21821 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
1816, 17syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 22865 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
20 iccssre 11716 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
218, 9, 20syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
22 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322tgioo2 21732 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 22732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )
25 iccntr 21750 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
268, 9, 25syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2724, 26sseqtrd 3506 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  ( A (,) B ) )
28 retop 21693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2923, 28eqeltrri 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR )  e.  Top )
3121adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
32 iooretop 21697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
3332, 23eleqtri 2515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
35 ioossicc 11720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
37 uniretop 21694 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
3823unieqi 4231 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( topGen `
 ran  (,) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3937, 38eqtri 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4039ssntr 20004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  /\  (
( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4130, 31, 34, 36, 40syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
42 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
4341, 42sseldd 3471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4418ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
45 cnxmet 21704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
4613, 5sstri 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  CC
47 xmetres2 21307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B
) ) )
4845, 46, 47mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B ) ) )
5045a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
51 ssid 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
52 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
5322cnfldtop 21715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
5422cnfldtopon 21714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
5554toponunii 19878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5655restid 15291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5753, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
5857eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
5922, 52, 58cncfcn 21837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
6046, 51, 59mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
6116, 60syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
62 resttopon 20108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
6354, 46, 62mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) )
6463toponunii 19878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6564eleq2i 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  <->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
6665biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
67 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6867cncnpi 20225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
6961, 66, 68syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
70 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )
7122cnfldtopn 21713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
72 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7370, 71, 72metrest 21470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) ) )
7445, 46, 73mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7574oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) )
7675fveq1i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  c
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)
7769, 76syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
7877adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
79 simpr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
8072, 71metcnpi2 21491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
8149, 50, 78, 79, 80syl22anc 1265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
82 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  ( A (,) B ) )
83 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  ( A (,) B ) )
8482, 83ovresd 6451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( u ( abs 
o.  -  ) c
) )
85 elioore 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  RR )
8685recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  CC )
8786adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  CC )
8846sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
8988ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  CC )
90 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9190cnmetdval 21702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9287, 89, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9384, 92eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( abs `  (
u  -  c ) ) )
9493breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B
) ) ) c )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v
) )
9518ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
9695ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  u
)  e.  CC )
9744ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  c
)  e.  CC )
9890cnmetdval 21702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  CC  /\  ( F `  c )  e.  CC )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
9996, 97, 98syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
10099breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) ( abs  o.  -  )
( F `  c
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
10194, 100imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
102101ralbidva 2868 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
103 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )
104 eldifsni 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  =/=  c
)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  =/=  c )
10621ssdifssd 3609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  RR )
107106sselda 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  z  e.  RR )
108107ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )  ->  z  e.  RR )
109108ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  RR )
110 elioore 11666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  RR )
111110ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  RR )
112109, 111lttri2d 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  (
z  =/=  c  <->  ( z  <  c  \/  c  < 
z ) ) )
113112biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( z  <  c  \/  c  <  z ) )
114 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
115114oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) ) )
116 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
s  -  c )  =  ( z  -  c ) )
117115, 116oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  =  z  ->  (
( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
118 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )
119 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) )  e. 
_V
120117, 118, 119fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
121120ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  (
( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `
 z )  =  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
122121ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
12319ad4antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
124 eldifi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  e.  ( A [,] B ) )
125124ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
126125ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  ( A [,] B ) )
127123, 126ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
12835sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
12919ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
130128, 129sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
131130ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  c
)  e.  CC )
132109adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  RR )
133132recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  CC )
13488ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
c  e.  CC )
135 ltne 9729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
c  =/=  z )
136135necomd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
137109, 136sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
138127, 131, 133, 134, 137div2subd 10432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
139122, 138eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
140139oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) )  -  ( F `  c )
) )
141140fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1428ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
1439ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
14410ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
14516ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
14615ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L^1 )
147 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A (,) B
) )
148 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
149 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
150 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
151 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
u  -  c )  =  ( y  -  c ) )
152151fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( u  -  c ) )  =  ( abs `  (
y  -  c ) ) )
153152breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  c
) )  <  v
) )
154 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
155154oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )
156155fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c ) ) ) )
157156breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
158153, 157imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
159158rspccva 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
160150, 159sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
161103, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
162 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )
163128ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
164110recnd 9668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
165164subidd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  (
c  -  c )  =  0 )
166165abs00bd 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
167166ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
168149rpgt0d 11344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  0  <  v )
169167, 168eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  < 
v )
1707, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 161, 162, 163, 169ftc1cnnclem 31719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
171141, 170eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
172120oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
)  =  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )
173172fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
174173ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
175174ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1767, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 163, 169, 161, 162ftc1cnnclem 31719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
177175, 176eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
178171, 177jaodan 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  ( z  <  c  \/  c  <  z ) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
179113, 178syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
180105, 179mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
)
181180expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
182181adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
)  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
183182expr 618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) )  ->  ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
)  ->  ( (
z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
184183ralrimdva 2850 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
185102, 184sylbid 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
186185anassrs 652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
187186reximdva 2907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) ) )
18881, 187mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
189188ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
19019adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  G :
( A [,] B
) --> CC )
19121, 5syl6ss 3482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
192191adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
193128adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A [,] B ) )
194190, 192, 193dvlem 22728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) )  e.  CC )
195194, 118fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) : ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) --> CC )
196191ssdifssd 3609 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  CC )
197196adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
C_  CC )
19888adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  CC )
199195, 197, 198ellimc3 22711 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c )  <-> 
( ( F `  c )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) ) )
20044, 189, 199mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) lim
CC  c ) )
201 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
202201, 22, 118, 6, 19, 21eldv 22730 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( c ( RR 
_D  G ) ( F `  c )  <-> 
( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
203202adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  <->  ( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
20443, 200, 203mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c ( RR  _D  G ) ( F `  c ) )
205 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
206 fvex 5891 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
207205, 206breldm 5059 . . . . . . 7  |-  ( c ( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G ) )
208204, 207syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
209208ex 435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) ) )
210209ssrdv 3476 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
21127, 210eqssd 3487 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
212 df-fn 5604 . . 3  |-  ( ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B )  <->  ( Fun  ( RR  _D  G
)  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) ) )
2134, 211, 212sylanbrc 668 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
214 ffn 5746 . . 3  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
21518, 214syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
2164adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  Fun  ( RR 
_D  G ) )
217 funbrfv 5919 . . 3  |-  ( Fun  ( RR  _D  G
)  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  (
( RR  _D  G
) `  c )  =  ( F `  c ) ) )
218216, 204, 217sylc 62 . 2  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  c )  =  ( F `  c ) )
219213, 215, 218eqfnfvd 5994 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783    \ cdif 3439    C_ wss 3442   {csn 4002   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484    X. cxp 4852   dom cdm 4854   ran crn 4855    |` cres 4856    o. ccom 4858   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   abscabs 13276   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279   topGenctg 15295   *Metcxmt 18890   MetOpencmopn 18895  ℂfldccnfld 18905   Topctop 19848  TopOnctopon 19849   intcnt 19963    Cn ccn 20171    CnP ccnp 20172   -cn->ccncf 21804   L^1cibl 22452   S.citg 22453   lim CC climc 22694    _D cdv 22695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-lp 20083  df-perf 20084  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505  df-limc 22698  df-dv 22699
This theorem is referenced by:  ftc2nc  31730
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