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Theorem ftc1cnnc 28310
Description: Choice-free proof of ftc1cn 21357. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cnnc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cnnc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cnnc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cnnc.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cnnc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Distinct variable groups:    x, t, A    x, B, t    x, F, t    ph, x, t
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables  y 
z  s  u  v  w  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 21224 . . . . 5  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC )
3 ffun 5549 . . . 4  |-  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR 
_D  G ) --> CC 
->  Fun  ( RR  _D  G ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( RR  _D  G ) )
5 ax-resscn 9327 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 ftc1cnnc.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
8 ftc1cnnc.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1cnnc.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 ftc1cnnc.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
11 ssid 3363 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
13 ioossre 11345 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
15 ftc1cnnc.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
16 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17 cncff 20311 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 21350 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
20 iccssre 11365 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
218, 9, 20syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
22 eqid 2433 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322tgioo2 20222 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 21217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )
25 iccntr 20240 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
268, 9, 25syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2724, 26sseqtrd 3380 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  ( A (,) B ) )
28 retop 20182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
2923, 28eqeltrri 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( TopOpen
` fld
)t 
RR )  e.  Top )
3121adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
32 iooretop 20187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
3332, 23eleqtri 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  e.  ( ( TopOpen ` fld )t  RR ) )
35 ioossicc 11369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) )
37 uniretop 20183 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
3823unieqi 4088 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. ( topGen `
 ran  (,) )  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
3937, 38eqtri 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  =  U. ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
4039ssntr 18504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  RR )  e.  Top  /\  ( A [,] B )  C_  RR )  /\  (
( A (,) B
)  e.  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  /\  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4130, 31, 34, 36, 40syl22anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
42 simpr 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A (,) B ) )
4341, 42sseldd 3345 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) ) )
4418ffvelrnda 5831 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  CC )
45 cnxmet 20194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
4613, 5sstri 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A (,) B )  C_  CC
47 xmetres2 19778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B
) ) )
4845, 46, 47mp2an 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B ) ) )
5045a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
51 ssid 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  C_  CC
52 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
5322cnfldtop 20205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
5422cnfldtopon 20204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
5554toponunii 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
5655restid 14355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
5753, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
5857eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
5922, 52, 58cncfcn 20327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
6046, 51, 59mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A (,) B )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
6116, 60syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
62 resttopon 18607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
6354, 46, 62mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) )
6463toponunii 18379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A (,) B )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6564eleq2i 2497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  <->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
6665biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
67 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
6867cncnpi 18724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  c  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
6961, 66, 68syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
) )
70 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) )
7122cnfldtopn 20203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )
72 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7370, 71, 72metrest 19941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC )  -> 
( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) ) )
7445, 46, 73mp2an 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )
7574oveq1i 6090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) )  =  ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) )
7675fveq1i 5680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  CnP  ( TopOpen ` fld ) ) `  c
)  =  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)
7769, 76syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
7877adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  F  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen ` fld )
) `  c )
)
79 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  w  e.  RR+ )
8072, 71metcnpi2 19962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) )  e.  ( *Met `  ( A (,) B ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  /\  ( F  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( A (,) B
)  X.  ( A (,) B ) ) ) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  c
)  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
8149, 50, 78, 79, 80syl22anc 1212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )
)
82 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  ( A (,) B ) )
83 simpllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  ( A (,) B ) )
8482, 83ovresd 6220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( u ( abs 
o.  -  ) c
) )
85 elioore 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  RR )
8685recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ( A (,) B )  ->  u  e.  CC )
8786adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  ->  u  e.  CC )
8846sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
8988ad3antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
c  e.  CC )
90 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
9190cnmetdval 20192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( u  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  ( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9287, 89, 91syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( abs 
o.  -  ) c
)  =  ( abs `  ( u  -  c
) ) )
9384, 92eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  =  ( abs `  (
u  -  c ) ) )
9493breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B
) ) ) c )  <  v  <->  ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v
) )
9518ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
9695ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  u
)  e.  CC )
9744ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( F `  c
)  e.  CC )
9890cnmetdval 20192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  u
)  e.  CC  /\  ( F `  c )  e.  CC )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
9996, 97, 98syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  =  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c )
) ) )
10099breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( F `
 u ) ( abs  o.  -  )
( F `  c
) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
10194, 100imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  u  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
102101ralbidva 2721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  <->  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
103 simprll 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )
104 eldifsni 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  =/=  c
)
105103, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  =/=  c )
10621ssdifssd 3482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  RR )
107106sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  z  e.  RR )
108107ad2ant2r 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )  ->  z  e.  RR )
109108ad2ant2r 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  RR )
110 elioore 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  RR )
111110ad3antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  RR )
112109, 111lttri2d 9501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  (
z  =/=  c  <->  ( z  <  c  \/  c  < 
z ) ) )
113112biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( z  <  c  \/  c  <  z ) )
114 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( s  =  z  ->  ( G `  s )  =  ( G `  z ) )
115114oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  =  ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) ) )
116 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( s  =  z  ->  (
s  -  c )  =  ( z  -  c ) )
117115, 116oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  =  z  ->  (
( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
118 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )  =  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) )
119 ovex 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( G `  z
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( z  -  c ) )  e. 
_V
120117, 118, 119fvmpt 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
121120ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  (
( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `
 z )  =  ( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) ) )
122121ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c ) )  / 
( z  -  c
) ) )
12319ad4antr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
124 eldifi 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  z  e.  ( A [,] B ) )
125124ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
126125ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  ( A [,] B ) )
127123, 126ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  z
)  e.  CC )
12835sseli 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
12919ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
130128, 129sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( G `  c )  e.  CC )
131130ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( G `  c
)  e.  CC )
132109adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  RR )
133132recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  e.  CC )
13488ad4antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
c  e.  CC )
135 ltne 9459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
c  =/=  z )
136135necomd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  RR  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
137109, 136sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
z  =/=  c )
138127, 131, 133, 134, 137div2subd 10145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
139122, 138eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  =  ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) ) )
140139oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) )  =  ( ( ( ( G `  c )  -  ( G `  z ) )  / 
( c  -  z
) )  -  ( F `  c )
) )
141140fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1428ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  e.  RR )
1439ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  B  e.  RR )
14410ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A  <_  B )
14516ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
14615ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  F  e.  L^1 )
147 simpllr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A (,) B
) )
148 simplrl 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  w  e.  RR+ )
149 simplrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  v  e.  RR+ )
150 simprlr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
151 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
u  -  c )  =  ( y  -  c ) )
152151fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( u  -  c ) )  =  ( abs `  (
y  -  c ) ) )
153152breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  <->  ( abs `  ( y  -  c
) )  <  v
) )
154 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  =  y  ->  ( F `  u )  =  ( F `  y ) )
155154oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  y  ->  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) )  =  ( ( F `
 y )  -  ( F `  c ) ) )
156155fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  =  y  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c ) ) ) )
157156breq1d 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  y  ->  (
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w  <->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
158153, 157imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  y  ->  (
( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  <-> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) ) )
159158rspccva 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( abs `  ( y  -  c ) )  < 
v  ->  ( abs `  ( ( F `  y )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) )
160150, 159sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  -> 
( ( abs `  (
y  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  y
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )
161103, 124syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  z  e.  ( A [,] B
) )
162 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )
163128ad3antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  c  e.  ( A [,] B
) )
164110recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  CC )
165164subidd 9695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  (
c  -  c )  =  0 )
166165abs00bd 12764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
167166ad3antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  =  0 )
168149rpgt0d 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  0  <  v )
169167, 168eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( c  -  c ) )  < 
v )
1707, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 161, 162, 163, 169ftc1cnnclem 28309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 c )  -  ( G `  z ) )  /  ( c  -  z ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
171141, 170eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  <  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
172120oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
)  =  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )
173172fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
174173ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  =  ( abs `  ( ( ( ( G `  z )  -  ( G `  c )
)  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
175174ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  =  ( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) ) )
1767, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 163, 169, 161, 162ftc1cnnclem 28309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( ( G `
 z )  -  ( G `  c ) )  /  ( z  -  c ) )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
177175, 176eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  c  <  z )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
178171, 177jaodan 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  ( z  <  c  \/  c  <  z ) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
179113, 178syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  (
( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) )  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v ) )  /\  z  =/=  c )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w )
180105, 179mpdan 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  (
u  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w ) )  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
) )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
)
181180expr 610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
182181adantld 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  ( z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  /\  A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
) ) )  -> 
( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c
) )  <  v
)  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
|->  ( ( ( G `
 s )  -  ( G `  c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
183182expr 610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  ( w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  /\  z  e.  ( ( A [,] B )  \  { c } ) )  ->  ( A. u  e.  ( A (,) B ) ( ( abs `  ( u  -  c ) )  <  v  ->  ( abs `  ( ( F `
 u )  -  ( F `  c ) ) )  <  w
)  ->  ( (
z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
184183ralrimdva 2796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( abs `  ( u  -  c
) )  <  v  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 c ) ) )  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
185102, 184sylbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  (
w  e.  RR+  /\  v  e.  RR+ ) )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
186185anassrs 641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  /\  w  e.  RR+ )  /\  v  e.  RR+ )  -> 
( A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) )
187186reximdva 2818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  ( E. v  e.  RR+  A. u  e.  ( A (,) B
) ( ( u ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( A (,) B )  X.  ( A (,) B ) ) ) c )  <  v  ->  ( ( F `  u ) ( abs 
o.  -  ) ( F `  c )
)  <  w )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  < 
v )  ->  ( abs `  ( ( ( s  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) ) ) `  z )  -  ( F `  c )
) )  <  w
) ) )
18881, 187mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  w  e.  RR+ )  ->  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
189188ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  ( z  -  c ) )  <  v )  -> 
( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) )
19019adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  G :
( A [,] B
) --> CC )
19121, 5syl6ss 3356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
192191adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A [,] B )  C_  CC )
193128adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  ( A [,] B ) )
194190, 192, 193dvlem 21213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( A (,) B
) )  /\  s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) )  ->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c ) )  / 
( s  -  c
) )  e.  CC )
195194, 118fmptd 5855 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) : ( ( A [,] B ) 
\  { c } ) --> CC )
196191ssdifssd 3482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  C_  CC )
197196adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( A [,] B )  \  { c } ) 
C_  CC )
19888adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  CC )
199195, 197, 198ellimc3 21196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c )  <-> 
( ( F `  c )  e.  CC  /\ 
A. w  e.  RR+  E. v  e.  RR+  A. z  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } ) ( ( z  =/=  c  /\  ( abs `  (
z  -  c ) )  <  v )  ->  ( abs `  (
( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) `  z )  -  ( F `  c ) ) )  <  w ) ) ) )
20044, 189, 199mpbir2and 906 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( F `  c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B
)  \  { c } )  |->  ( ( ( G `  s
)  -  ( G `
 c ) )  /  ( s  -  c ) ) ) lim
CC  c ) )
201 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  RR )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
202201, 22, 118, 6, 19, 21eldv 21215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( c ( RR 
_D  G ) ( F `  c )  <-> 
( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
203202adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  <->  ( c  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  RR ) ) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `
 c )  e.  ( ( s  e.  ( ( A [,] B )  \  {
c } )  |->  ( ( ( G `  s )  -  ( G `  c )
)  /  ( s  -  c ) ) ) lim CC  c ) ) ) )
20443, 200, 203mpbir2and 906 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c ( RR  _D  G ) ( F `  c ) )
205 vex 2965 . . . . . . . 8  |-  c  e. 
_V
206 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
207205, 206breldm 5031 . . . . . . 7  |-  ( c ( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G ) )
208204, 207syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
209208ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( c  e.  ( A (,) B )  ->  c  e.  dom  ( RR  _D  G
) ) )
210209ssrdv 3350 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
21127, 210eqssd 3361 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
212 df-fn 5409 . . 3  |-  ( ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B )  <->  ( Fun  ( RR  _D  G
)  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) ) )
2134, 211, 212sylanbrc 657 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
214 ffn 5547 . . 3  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
21518, 214syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
2164adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  Fun  ( RR 
_D  G ) )
217 funbrfv 5718 . . 3  |-  ( Fun  ( RR  _D  G
)  ->  ( c
( RR  _D  G
) ( F `  c )  ->  (
( RR  _D  G
) `  c )  =  ( F `  c ) ) )
218216, 204, 217sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  c )  =  ( F `  c ) )
219213, 215, 218eqfnfvd 5788 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706    \ cdif 3313    C_ wss 3316   {csn 3865   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    X. cxp 4825   dom cdm 4827   ran crn 4828    |` cres 4829    o. ccom 4831   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   RR+crp 10979   (,)cioo 11288   [,]cicc 11291   abscabs 12707   ↾t crest 14342   TopOpenctopn 14343   topGenctg 14359   *Metcxmt 17645   MetOpencmopn 17650  ℂfldccnfld 17662   Topctop 18340  TopOnctopon 18341   intcnt 18463    Cn ccn 18670    CnP ccnp 18671   -cn->ccncf 20294   L^1cibl 20939   S.citg 20940   lim CC climc 21179    _D cdv 21180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-ofr 6310  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-acn 8100  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-ico 11294  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-mod 11693  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-fbas 17658  df-fg 17659  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-nei 18544  df-lp 18582  df-perf 18583  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-haus 18761  df-cmp 18832  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-fil 19261  df-fm 19353  df-flim 19354  df-flf 19355  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-cncf 20296  df-ovol 20790  df-vol 20791  df-mbf 20941  df-itg1 20942  df-itg2 20943  df-ibl 20944  df-itg 20945  df-0p 20990  df-limc 21183  df-dv 21184
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