MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1cn Structured version   Unicode version

Theorem ftc1cn 21474
Description: Strengthen the assumptions of ftc1 21473 to when the function  F is continuous on the entire interval  ( A ,  B ); in this case we can calculate  _D  G exactly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cn.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cn.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cn.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ftc1cn  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Distinct variable groups:    x, t, A    t, B, x    t, F, x    ph, t, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 21341 . . . . 5  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC )
3 ffun 5558 . . . 4  |-  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR 
_D  G ) --> CC 
->  Fun  ( RR  _D  G ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( RR  _D  G ) )
5 ax-resscn 9335 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 ftc1cn.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
8 ftc1cn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1cn.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 ftc1cn.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
11 ssid 3372 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
13 ioossre 11353 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
15 ftc1cn.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
16 ftc1cn.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17 cncff 20428 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 21467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
20 iccssre 11373 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
218, 9, 20syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
22 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322tgioo2 20339 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 21334 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )
25 iccntr 20357 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
268, 9, 25syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2724, 26sseqtrd 3389 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  ( A (,) B ) )
288adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
299adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
3010adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  B )
3111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
3213a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
3315adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  L^1 )
34 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
3513, 5sstri 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  CC
36 ssid 3372 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
37 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
3822cnfldtop 20322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
3922cnfldtopon 20321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4039toponunii 18496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4140restid 14368 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
4342eqcomi 2445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
4422, 37, 43cncfcn 20444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4535, 36, 44mp2an 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4616, 45syl6eleq 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4746adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4835a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
49 resttopon 18724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
5039, 48, 49sylancr 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) ) )
51 toponuni 18491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
5352eleq2d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B )  <-> 
y  e.  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) ) )
5453biimpa 481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
55 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
5655cncnpi 18841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  y  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
5747, 54, 56syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
587, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 57, 23, 37, 22ftc1 21473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y ( RR  _D  G ) ( F `  y ) )
59 vex 2973 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
60 fvex 5698 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
6159, 60breldm 5040 . . . . . . 7  |-  ( y ( RR  _D  G
) ( F `  y )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G ) )
6258, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
6362ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G
) ) )
6463ssrdv 3359 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
6527, 64eqssd 3370 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
66 df-fn 5418 . . 3  |-  ( ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B )  <->  ( Fun  ( RR  _D  G
)  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) ) )
674, 65, 66sylanbrc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
68 ffn 5556 . . 3  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
6918, 68syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
704adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  Fun  ( RR 
_D  G ) )
71 funbrfv 5727 . . 3  |-  ( Fun  ( RR  _D  G
)  ->  ( y
( RR  _D  G
) ( F `  y )  ->  (
( RR  _D  G
) `  y )  =  ( F `  y ) ) )
7270, 58, 71sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  y )  =  ( F `  y ) )
7367, 69, 72eqfnfvd 5797 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   U.cuni 4088   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277    <_ cle 9415   (,)cioo 11296   [,]cicc 11299   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356   topGenctg 14372  ℂfldccnfld 17777   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   intcnt 18580    Cn ccn 18787    CnP ccnp 18788   -cn->ccncf 20411   L^1cibl 21056   S.citg 21057    _D cdv 21297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301
This theorem is referenced by:  ftc2  21475  itgsubstlem  21479
  Copyright terms: Public domain W3C validator