MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1cn Structured version   Unicode version

Theorem ftc1cn 22174
Description: Strengthen the assumptions of ftc1 22173 to when the function  F is continuous on the entire interval  ( A ,  B ); in this case we can calculate  _D  G exactly. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cn.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1cn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1cn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1cn.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1cn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
ftc1cn.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
ftc1cn  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Distinct variable groups:    x, t, A    t, B, x    t, F, x    ph, t, x
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1cn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 22041 . . . . 5  |-  ( RR 
_D  G ) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
) : dom  ( RR  _D  G ) --> CC )
3 ffun 5726 . . . 4  |-  ( ( RR  _D  G ) : dom  ( RR 
_D  G ) --> CC 
->  Fun  ( RR  _D  G ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( RR  _D  G ) )
5 ax-resscn 9540 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
65a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
7 ftc1cn.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
8 ftc1cn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1cn.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 ftc1cn.le . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
11 ssid 3518 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B )
1211a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A (,) B ) )
13 ioossre 11577 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  C_  RR
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
15 ftc1cn.i . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
16 ftc1cn.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
17 cncff 21127 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : ( A (,) B ) --> CC )
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 22167 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
20 iccssre 11597 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
218, 9, 20syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
22 eqid 2462 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
2322tgioo2 21038 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 22034 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )
25 iccntr 21056 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
268, 9, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2724, 26sseqtrd 3535 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  C_  ( A (,) B ) )
288adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR )
299adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR )
3010adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  B )
3111a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) B ) )
3213a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  C_  RR )
3315adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  L^1 )
34 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  ( A (,) B ) )
3513, 5sstri 3508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A (,) B )  C_  CC
36 ssid 3518 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  C_  CC
37 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
3822cnfldtop 21021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Top
3922cnfldtopon 21020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4039toponunii 19195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4140restid 14680 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Top  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld ) )
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  CC )  =  (
TopOpen ` fld )
4342eqcomi 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  CC )
4422, 37, 43cncfcn 21143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A (,) B
)  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  (
( A (,) B
) -cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4535, 36, 44mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A (,) B )
-cn-> CC )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )
4616, 45syl6eleq 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )
4835a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
49 resttopon 19423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )  /\  ( A (,) B )  C_  CC )  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B
) ) )
5039, 48, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) ) )
51 toponuni 19190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  e.  (TopOn `  ( A (,) B ) )  -> 
( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  =  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
5352eleq2d 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B )  <-> 
y  e.  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) ) )
5453biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )
55 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  = 
U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )
5655cncnpi 19540 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) )  /\  y  e.  U. ( ( TopOpen ` fld )t  ( A (,) B ) ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
5747, 54, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  F  e.  ( ( ( (
TopOpen ` fld )t  ( A (,) B
) )  CnP  ( TopOpen
` fld
) ) `  y
) )
587, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 57, 23, 37, 22ftc1 22173 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y ( RR  _D  G ) ( F `  y ) )
59 vex 3111 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
60 fvex 5869 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
6159, 60breldm 5200 . . . . . . 7  |-  ( y ( RR  _D  G
) ( F `  y )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G ) )
6258, 61syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G
) )
6362ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B )  ->  y  e.  dom  ( RR  _D  G
) ) )
6463ssrdv 3505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  dom  ( RR 
_D  G ) )
6527, 64eqssd 3516 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( RR  _D  G )  =  ( A (,) B ) )
66 df-fn 5584 . . 3  |-  ( ( RR  _D  G )  Fn  ( A (,) B )  <->  ( Fun  ( RR  _D  G
)  /\  dom  ( RR 
_D  G )  =  ( A (,) B
) ) )
674, 65, 66sylanbrc 664 . 2  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  Fn  ( A (,) B ) )
68 ffn 5724 . . 3  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
6918, 68syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  F  Fn  ( A (,) B ) )
704adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  Fun  ( RR 
_D  G ) )
71 funbrfv 5899 . . 3  |-  ( Fun  ( RR  _D  G
)  ->  ( y
( RR  _D  G
) ( F `  y )  ->  (
( RR  _D  G
) `  y )  =  ( F `  y ) ) )
7270, 58, 71sylc 60 . 2  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A (,) B ) )  ->  ( ( RR  _D  G ) `  y )  =  ( F `  y ) )
7367, 69, 72eqfnfvd 5971 1  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  G
)  =  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    C_ wss 3471   U.cuni 4240   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994   ran crn 4995   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482    <_ cle 9620   (,)cioo 11520   [,]cicc 11523   ↾t crest 14667   TopOpenctopn 14668   topGenctg 14684  ℂfldccnfld 18186   Topctop 19156  TopOnctopon 19157   intcnt 19279    Cn ccn 19486    CnP ccnp 19487   -cn->ccncf 21110   L^1cibl 21756   S.citg 21757    _D cdv 21997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-ofr 6518  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ioc 11525  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-mod 11955  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-cmp 19648  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-mbf 21758  df-itg1 21759  df-itg2 21760  df-ibl 21761  df-itg 21762  df-0p 21807  df-limc 22000  df-dv 22001
This theorem is referenced by:  ftc2  22175  itgsubstlem  22179
  Copyright terms: Public domain W3C validator