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Theorem ftc1anclem7 29701
Description: Lemma for ftc1anc 29703. (Contributed by Brendan Leahy, 13-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1anc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1anc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1anc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1anc.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1anc.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1anc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1anc.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
r, t, u, w, x, y, A    B, f, g, r, t, u, w, x, y    D, f, g, r, t, u, w, x, y    f, F, g, r, t, u, w, x, y    ph, f,
g, r, t, u, w, x, y    f, G, g, r, u, w, y
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1anclem7
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 21846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
21ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
32recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  CC )
4 ax-icn 9551 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
5 i1ff 21846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g : RR --> RR )
65ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( g `  x )  e.  RR )
76recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( g `  x )  e.  CC )
8 mulcl 9576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( g `  x
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( g `  x
) )  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( g `  x
) )  e.  CC )
10 addcl 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
g `  x )
)  e.  CC )  ->  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) )  e.  CC )
113, 9, 10syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  x  e.  RR )  /\  ( g  e. 
dom  S.1  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) )  e.  CC )
1211anandirs 829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) )  e.  CC )
13 reex 9583 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
152adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
16 ovex 6309 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( g `  x ) )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
_i  x.  ( g `  x ) )  e. 
_V )
181feqmptd 5920 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
1918adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
2013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
214a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
22 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { _i }
)  =  ( x  e.  RR  |->  _i )
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { _i } )  =  ( x  e.  RR  |->  _i ) )
245feqmptd 5920 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x ) ) )
2520, 21, 6, 23, 24offval2 6540 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
_i } )  oF  x.  g )  =  ( x  e.  RR  |->  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { _i }
)  oF  x.  g )  =  ( x  e.  RR  |->  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) ) )
2714, 15, 17, 19, 26offval2 6540 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  oF  +  ( ( RR  X.  { _i } )  oF  x.  g ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) ) ) )
28 absf 13133 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  abs : CC --> RR )
3029feqmptd 5920 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  abs  =  (
t  e.  CC  |->  ( abs `  t ) ) )
31 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) )  ->  ( abs `  t )  =  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) )
3212, 27, 30, 31fmptco 6054 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( f  oF  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  oF  x.  g ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) ) )
33 ftc1anclem3 29697 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( f  oF  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  oF  x.  g ) ) )  e.  dom  S.1 )
3432, 33eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) )  e.  dom  S.1 )
35 ioombl 21738 . . . . 5  |-  ( u (,) w )  e. 
dom  vol
36 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
f `  x )  =  ( f `  t ) )
37 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
g `  x )  =  ( g `  t ) )
3837oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
_i  x.  ( g `  x ) )  =  ( _i  x.  (
g `  t )
) )
3936, 38oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) )  =  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )
4039fveq2d 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( abs `  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) ) )  =  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
41 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) )
42 fvex 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5950 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) ) `  t )  =  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
4443eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) ) `  t
) )
4544ifeq1d 3957 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  RR  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) ) `  t ) ,  0 ) )
4645mpteq2ia 4529 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) ) `  t
) ,  0 ) )
4746i1fres 21875 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) )  e.  dom  S.1  /\  ( u (,) w
)  e.  dom  vol )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
4834, 35, 47sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
49 breq2 4451 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  <->  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )
50 breq2 4451 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
51 elioore 11559 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( u (,) w )  ->  t  e.  RR )
52 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
x  e.  RR  <->  t  e.  RR ) )
5352anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  <->  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR ) ) )
5439eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) )  e.  CC  <->  ( (
f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) )  e.  CC ) )
5553, 54imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) )  e.  CC ) 
<->  ( ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) )  e.  CC ) ) )
5655, 12chvarv 1983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
5756absge0d 13238 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
5851, 57sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
59 0le0 10625 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  0 )
6149, 50, 58, 60ifbothda 3974 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )
6261ralrimivw 2879 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  A. t  e.  RR  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )
63 ax-resscn 9549 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  RR  C_  CC )
65 c0ex 9590 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
6642, 65ifex 4008 . . . . . . . . 9  |-  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V
67 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )
6866, 67fnmpti 5709 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  Fn  RR
6968a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  Fn  RR )
7064, 690pledm 21843 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( 0p  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
7165a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  0  e.  _V )
7266a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V )
73 fconstmpt 5043 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( t  e.  RR  |->  0 )
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( RR  X.  { 0 } )  =  ( t  e.  RR  |->  0 ) )
75 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
7614, 71, 72, 74, 75ofrfval2 6541 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { 0 } )  oR  <_ 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. t  e.  RR  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
7770, 76bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( 0p  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. t  e.  RR  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
7862, 77mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
79 itg2itg1 21906 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
80 itg1cl 21855 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8180adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.1 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8279, 81eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8348, 78, 82syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8483ad6antlr 736 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
85 simplll 757 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) ) )
86 ftc1anc.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8786rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
88 ftc1anc.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
8988rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9087, 89jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
91 df-icc 11536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { t  e.  RR*  |  (
x  <_  t  /\  t  <_  y ) } )
9291elixx3g 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  u  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  u  /\  u  <_  B ) ) )
9392simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  ->  ( A  <_  u  /\  u  <_  B ) )
9493simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  ->  A  <_  u )
9591elixx3g 11542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  w  /\  w  <_  B ) ) )
9695simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  ->  ( A  <_  w  /\  w  <_  B ) )
9796simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  ->  w  <_  B )
9894, 97anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A  <_  u  /\  w  <_  B ) )
99 df-ioo 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { t  e.  RR*  |  (
x  <  t  /\  t  <  y ) } )
100 xrlelttr 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  u  e.  RR*  /\  z  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  u  /\  u  <  z )  ->  A  <  z
) )
101 xrltletr 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  RR*  /\  w  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( z  <  w  /\  w  <_  B )  ->  z  <  B
) )
10299, 99, 100, 101ixxss12 11549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  u  /\  w  <_  B ) )  ->  ( u (,) w )  C_  ( A (,) B ) )
10390, 98, 102syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  ( A (,) B ) )
104 ftc1anc.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
105104adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
106103, 105sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  D )
1071063adantr3 1157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  D )
108107sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
t  e.  D )
109 ftc1anc.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
110109ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
111110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
112108, 111syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( F `  t
)  e.  CC )
113112adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( F `  t
)  e.  CC )
11456adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
11551, 114sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
116115adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  CC )
117113, 116subcld 9930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) )  e.  CC )
118117abscld 13230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  RR )
119118rexrd 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  RR* )
120117absge0d 13238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) )
121 elxrge0 11629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) ) )
122119, 120, 121sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
123 0e0iccpnf 11631 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
124123a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  -.  t  e.  (
u (,) w ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
125122, 124ifclda 3971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
126125adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w
) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
127 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )
128126, 127fmptd 6045 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
12985, 128sylan 471 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
130 rpre 11226 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
131130rehalfcld 10785 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
132131ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
133 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ph  /\  ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 ) ) )
134106sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  t  e.  D )
135134adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  t  e.  D )
136110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
137 ftc1anc.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
138137sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  RR )
139138adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  RR )
140139, 114syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
141136, 140subcld 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  e.  CC )
142141abscld 13230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e.  RR )
143142rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e. 
RR* )
144143adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR* )
145135, 144syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR* )
146141absge0d 13238 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
147146adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
148135, 147syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
149145, 148, 121sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
150123a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
151149, 150ifclda 3971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
152151adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
153152, 127fmptd 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
154 itg2cl 21902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
156133, 155sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
157 0cnd 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  t  e.  D )  ->  0  e.  CC )
158110, 157ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( t  e.  D ,  ( F `
 t ) ,  0 )  e.  CC )
159 subcl 9819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( if ( t  e.  D ,  ( F `
 t ) ,  0 )  e.  CC  /\  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  CC )  ->  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  e.  CC )
160158, 56, 159syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR ) )  ->  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  e.  CC )
161160anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  e.  CC )
162161abscld 13230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  RR )
163162rexrd 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  RR* )
164161absge0d 13238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
165 elxrge0 11629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
166163, 164, 165sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
167 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
168166, 167fmptd 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
169 itg2cl 21902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  e. 
RR* )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  e.  RR* )
171170ad3antrrr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  e. 
RR* )
172 rphalfcl 11244 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
173172rpxrd 11257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e. 
RR* )
174173ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( y  / 
2 )  e.  RR* )
175168adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
176 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  <->  if (
t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
177 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  <-> 
if ( t  e.  ( u (,) w
) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )
178142leidd 10119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
179 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  D  ->  if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  =  ( F `
 t ) )
180179oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  D  ->  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )
181180fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  D  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
182181adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
183178, 182breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
184183adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
185135, 184syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
186185adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
187164adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
188187adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
189176, 177, 186, 188ifbothda 3974 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
190189ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
19113a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
192 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  _V
193192, 65ifex 4008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V )
195 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e. 
_V
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e. 
_V )
197 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )
198 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
199191, 194, 196, 197, 198ofrfval2 6541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )  <->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
200199ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )  <->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
201190, 200mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
202 itg2le 21909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) ) )
203153, 175, 201, 202syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) ) )
204133, 203sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) ) )
205 simpllr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )
206156, 171, 174, 204, 205xrlelttrd 11363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <  (
y  /  2 ) )
207 xrltle 11355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR*  /\  ( y  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <  (
y  /  2 )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) ) )
208156, 174, 207syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <  (
y  /  2 )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) ) )
209206, 208mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )
210209adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )
2112103adantr3 1157 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )
212 itg2lecl 21908 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( y  /  2
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
213129, 132, 211, 212syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
214213adantr 465 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
215131ad3antlr 730 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
21683adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
217 2rp 11225 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
218 imassrn 5348 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  ran  abs
219 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  ran 
abs  C_  RR )
22028, 219ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  abs  C_  RR
221218, 220sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR )
223 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : RR --> RR  ->  ran  f  C_  RR )
2241, 223syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ran  f  C_  RR )
225224adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ran  f  C_  RR )
226 frn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g : RR --> RR  ->  ran  g  C_  RR )
2275, 226syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ran  g  C_  RR )
228227adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ran  g  C_  RR )
229225, 228unssd 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  RR )
230229, 63syl6ss 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC )
231 i1f0rn 21852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  f )
232 elun1 3671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ran  f  -> 
0  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )
233231, 232syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )
234233adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )
235 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
23628, 235ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  abs  Fn  CC
237 fnfvima 6138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs  Fn  CC  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC  /\  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )  ->  ( abs `  0 )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
238236, 237mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ran  f  u. 
ran  g )  C_  CC  /\  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs `  0
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
239230, 234, 238syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs `  0
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
240 ne0i 3791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  0 )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/) )
241239, 240syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/) )
242 ffun 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  Fun 
abs )
24328, 242ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  abs
244 i1frn 21847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ran  f  e.  Fin )
245 i1frn 21847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ran  g  e.  Fin )
246 unfi 7787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\ 
ran  g  e.  Fin )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  e. 
Fin )
247244, 245, 246syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  e. 
Fin )
248 imafi 7813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  abs  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  e.  Fin )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )
249243, 247, 248sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )
250 fimaxre2 10491 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )
251221, 249, 250sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )
252 suprcl 10503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
253222, 241, 251, 252syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
254253adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
255 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
256255a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  0  e.  RR )
257230sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  r  e.  CC )
258257abscld 13230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  RR )
259258adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  RR )
260 absgt0 13120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  CC  ->  (
r  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  r
) ) )
261257, 260syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( r  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  r ) ) )
262261biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  /\  r  =/=  0
)  ->  0  <  ( abs `  r ) )
263262anasss 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  0  <  ( abs `  r ) )
264222, 241, 2513jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x ) )
265264adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x ) )
266 fnfvima 6138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs  Fn  CC  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC  /\  r  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )  ->  ( abs `  r )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
267236, 266mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ran  f  u. 
ran  g )  C_  CC  /\  r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs `  r
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
268230, 267sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
269 suprub 10504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )  /\