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Theorem ftc1anclem7 31469
Description: Lemma for ftc1anc 31471. (Contributed by Brendan Leahy, 13-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1anc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1anc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1anc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1anc.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1anc.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1anc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1anc.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem7  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )  < 
( ( y  / 
2 )  +  ( y  /  2 ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
r, t, u, w, x, y, A    B, f, g, r, t, u, w, x, y    D, f, g, r, t, u, w, x, y    f, F, g, r, t, u, w, x, y    ph, f,
g, r, t, u, w, x, y    f, G, g, r, u, w, y
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1anclem7
StepHypRef Expression
1 i1ff 22375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
21ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
32recnd 9652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  CC )
4 ax-icn 9581 . . . . . . . . . 10  |-  _i  e.  CC
5 i1ff 22375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g : RR --> RR )
65ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( g `  x )  e.  RR )
76recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( g `  x )  e.  CC )
8 mulcl 9606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( g `  x
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( g `  x
) )  e.  CC )
94, 7, 8sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( g `  x
) )  e.  CC )
10 addcl 9604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
g `  x )
)  e.  CC )  ->  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) )  e.  CC )
113, 9, 10syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  x  e.  RR )  /\  ( g  e. 
dom  S.1  /\  x  e.  RR ) )  -> 
( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) )  e.  CC )
1211anandirs 832 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) )  e.  CC )
13 reex 9613 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
1413a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
152adantlr 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
16 ovex 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( _i  x.  ( g `  x ) )  e. 
_V
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  (
_i  x.  ( g `  x ) )  e. 
_V )
181feqmptd 5902 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
1918adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x ) ) )
2013a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
214a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  _i  e.  CC )
22 fconstmpt 4867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
X.  { _i }
)  =  ( x  e.  RR  |->  _i )
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ( RR  X.  { _i } )  =  ( x  e.  RR  |->  _i ) )
245feqmptd 5902 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x ) ) )
2520, 21, 6, 23, 24offval2 6538 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ( ( RR  X.  {
_i } )  oF  x.  g )  =  ( x  e.  RR  |->  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) )
2625adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { _i }
)  oF  x.  g )  =  ( x  e.  RR  |->  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) ) )
2714, 15, 17, 19, 26offval2 6538 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  oF  +  ( ( RR  X.  { _i } )  oF  x.  g ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) ) ) )
28 absf 13319 . . . . . . . . 9  |-  abs : CC
--> RR
2928a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  abs : CC --> RR )
3029feqmptd 5902 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  abs  =  (
t  e.  CC  |->  ( abs `  t ) ) )
31 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) )  ->  ( abs `  t )  =  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) )
3212, 27, 30, 31fmptco 6043 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( f  oF  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  oF  x.  g ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) ) )
33 ftc1anclem3 31465 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs  o.  ( f  oF  +  ( ( RR 
X.  { _i }
)  oF  x.  g ) ) )  e.  dom  S.1 )
3432, 33eqeltrrd 2491 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) )  e.  dom  S.1 )
35 ioombl 22267 . . . . 5  |-  ( u (,) w )  e. 
dom  vol
36 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
f `  x )  =  ( f `  t ) )
37 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  t  ->  (
g `  x )  =  ( g `  t ) )
3837oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
_i  x.  ( g `  x ) )  =  ( _i  x.  (
g `  t )
) )
3936, 38oveq12d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) )  =  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )
4039fveq2d 5853 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( abs `  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) ) )  =  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
41 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) )
42 fvex 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) )  e.  _V
4340, 41, 42fvmpt 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) ) `  t )  =  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
4443eqcomd 2410 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  =  ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) ) `  t
) )
4544ifeq1d 3903 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  RR  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 )  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) ) `  t ) ,  0 ) )
4645mpteq2ia 4477 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  (
( f `  x
)  +  ( _i  x.  ( g `  x ) ) ) ) ) `  t
) ,  0 ) )
4746i1fres 22404 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  ( abs `  ( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `  x
) ) ) ) )  e.  dom  S.1  /\  ( u (,) w
)  e.  dom  vol )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
4834, 35, 47sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1 )
49 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  <->  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )
50 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( 0  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
51 elioore 11612 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ( u (,) w )  ->  t  e.  RR )
52 eleq1 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  t  ->  (
x  e.  RR  <->  t  e.  RR ) )
5352anbi2d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  <->  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR ) ) )
5439eleq1d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( f `  x )  +  ( _i  x.  ( g `
 x ) ) )  e.  CC  <->  ( (
f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) )  e.  CC ) )
5553, 54imbi12d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
( ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( f `
 x )  +  ( _i  x.  (
g `  x )
) )  e.  CC ) 
<->  ( ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) )  e.  CC ) ) )
5655, 12chvarv 2041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
5756absge0d 13424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
5851, 57sylan2 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
59 0le0 10666 . . . . . . . 8  |-  0  <_  0
6059a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  0 )
6149, 50, 58, 60ifbothda 3920 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )
6261ralrimivw 2819 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  A. t  e.  RR  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )
63 ax-resscn 9579 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  RR  C_  CC )
65 c0ex 9620 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
6642, 65ifex 3953 . . . . . . . . 9  |-  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V
67 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )
6866, 67fnmpti 5692 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  Fn  RR
6968a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  Fn  RR )
7064, 690pledm 22372 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( 0p  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
7165a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  0  e.  _V )
7266a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V )
73 fconstmpt 4867 . . . . . . . 8  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( t  e.  RR  |->  0 )
7473a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( RR  X.  { 0 } )  =  ( t  e.  RR  |->  0 ) )
75 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
7614, 71, 72, 74, 75ofrfval2 6539 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { 0 } )  oR  <_ 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. t  e.  RR  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
7770, 76bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( 0p  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. t  e.  RR  0  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
7862, 77mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )
79 itg2itg1 22435 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.1 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
80 itg1cl 22384 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8180adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.1 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8279, 81eqeltrd 2490 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) )  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8348, 78, 82syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8483ad6antlr 735 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
85 simplll 760 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) ) )
86 ftc1anc.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
8786rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
88 ftc1anc.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
8988rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
9087, 89jca 530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
91 df-icc 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { t  e.  RR*  |  (
x  <_  t  /\  t  <_  y ) } )
9291elixx3g 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  u  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  u  /\  u  <_  B ) ) )
9392simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  ->  ( A  <_  u  /\  u  <_  B ) )
9493simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  ->  A  <_  u )
9591elixx3g 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  w  /\  w  <_  B ) ) )
9695simprbi 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  ->  ( A  <_  w  /\  w  <_  B ) )
9796simprd 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  ->  w  <_  B )
9894, 97anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A  <_  u  /\  w  <_  B ) )
99 ioossioo 11670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  u  /\  w  <_  B ) )  ->  ( u (,) w )  C_  ( A (,) B ) )
10090, 98, 99syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  ( A (,) B ) )
101 ftc1anc.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
102101adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
103100, 102sstrd 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  D )
1041033adantr3 1158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  D )
105104sselda 3442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
t  e.  D )
106 ftc1anc.f . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
107106ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
108107adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t
)  e.  CC )
109105, 108syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( F `  t
)  e.  CC )
110109adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( F `  t
)  e.  CC )
11156adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
11251, 111sylan2 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
113112adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  CC )
114110, 113subcld 9967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) )  e.  CC )
115114abscld 13416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  RR )
116115rexrd 9673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  RR* )
117114absge0d 13424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) )
118 elxrge0 11683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) ) )
119116, 117, 118sylanbrc 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  -> 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
120 0e0iccpnf 11685 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
121120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  -.  t  e.  (
u (,) w ) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
122119, 121ifclda 3917 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
123122adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w
) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
124 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )
125123, 124fmptd 6033 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
12685, 125sylan 469 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
127 rpre 11271 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
128127rehalfcld 10826 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR )
129128ad2antlr 725 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
130 simpll 752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ph  /\  ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 ) ) )
131103sselda 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  t  e.  D )
132131adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  t  e.  D )
133107adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
134 ftc1anc.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
135134sselda 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  RR )
136135adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  t  e.  RR )
137136, 111syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
138133, 137subcld 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  e.  CC )
139138abscld 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e.  RR )
140139rexrd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e. 
RR* )
141140adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR* )
142132, 141syldan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR* )
143138absge0d 13424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
144143adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
145132, 144syldan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
146142, 145, 118sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
147120a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
148146, 147ifclda 3917 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149148adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
150149, 124fmptd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
151 itg2cl 22431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
152150, 151syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
153130, 152sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
154 0cnd 9619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  -.  t  e.  D )  ->  0  e.  CC )
155107, 154ifclda 3917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  if ( t  e.  D ,  ( F `
 t ) ,  0 )  e.  CC )
156 subcl 9855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( if ( t  e.  D ,  ( F `
 t ) ,  0 )  e.  CC  /\  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  CC )  ->  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  e.  CC )
157155, 56, 156syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR ) )  ->  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  e.  CC )
158157anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  e.  CC )
159158abscld 13416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  RR )
160159rexrd 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  RR* )
161158absge0d 13424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
162 elxrge0 11683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
163160, 161, 162sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
164 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
165163, 164fmptd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
166 itg2cl 22431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  e. 
RR* )
167165, 166syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  e.  RR* )
168167ad3antrrr 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  e. 
RR* )
169 rphalfcl 11290 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
170169rpxrd 11305 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e. 
RR* )
171170ad2antlr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( y  / 
2 )  e.  RR* )
172165adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
173 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  <->  if (
t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
174 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  <-> 
if ( t  e.  ( u (,) w
) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )
175139leidd 10159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
176 iftrue 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  D  ->  if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  =  ( F `
 t ) )
177176oveq1d 6293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( t  e.  D  ->  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  =  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )
178177fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( t  e.  D  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
179178adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  =  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
180175, 179breqtrrd 4421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
181180adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
182132, 181syldan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
183182adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
184161adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D , 
( F `  t
) ,  0 )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
185184adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
186173, 174, 183, 185ifbothda 3920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
187186ralrimiva 2818 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  <_  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
18813a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
189 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  _V
190189, 65ifex 3953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V
191190a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V )
192 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e. 
_V
193192a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e. 
_V )
194 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )
195 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )  =  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
196188, 191, 193, 194, 195ofrfval2 6539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )  <->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
197196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_ 
( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )  <->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 )  <_ 
( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
198187, 197mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )
199 itg2le 22438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) ) )
200150, 172, 198, 199syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) ) )
201130, 200sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) ) )
202 simpllr 761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )
203153, 168, 171, 201, 202xrlelttrd 11416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <  (
y  /  2 ) )
204 xrltle 11408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR*  /\  ( y  /  2
)  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <  (
y  /  2 )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) ) )
205153, 171, 204syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <  (
y  /  2 )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) ) )
206203, 205mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  y  e.  RR+ )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )
207206adantllr 717 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )
2082073adantr3 1158 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )
209 itg2lecl 22437 . . . 4  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( y  /  2
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <_  (
y  /  2 ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
210126, 129, 208, 209syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
211210adantr 463 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
212128ad3antlr 729 . 2  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( y  /  2
)  e.  RR )
21383adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
214 2rp 11270 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR+
215 imassrn 5168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  ran  abs
216 frn 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  ran 
abs  C_  RR )
21728, 216ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  abs  C_  RR
218215, 217sstri 3451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR )
220 frn 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f : RR --> RR  ->  ran  f  C_  RR )
2211, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ran  f  C_  RR )
222221adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ran  f  C_  RR )
223 frn 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g : RR --> RR  ->  ran  g  C_  RR )
2245, 223syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ran  g  C_  RR )
225224adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ran  g  C_  RR )
226222, 225unssd 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  RR )
227226, 63syl6ss 3454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC )
228 i1f0rn 22381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  f )
229 elun1 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  e.  ran  f  -> 
0  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )
230228, 229syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )
231230adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )
232 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
23328, 232ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  abs  Fn  CC
234 fnfvima 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs  Fn  CC  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC  /\  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )  ->  ( abs `  0 )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
235233, 234mp3an1 1313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ran  f  u. 
ran  g )  C_  CC  /\  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs `  0
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
236227, 231, 235syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs `  0
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
237 ne0i 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  0 )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/) )
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/) )
239 ffun 5716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  Fun 
abs )
24028, 239ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  abs
241 i1frn 22376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ran  f  e.  Fin )
242 i1frn 22376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ran  g  e.  Fin )
243 unfi 7821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\ 
ran  g  e.  Fin )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  e. 
Fin )
244241, 242, 243syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  e. 
Fin )
245 imafi 7847 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  abs  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  e.  Fin )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )
246240, 244, 245sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )
247 fimaxre2 10531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )
248218, 246, 247sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )
249 suprcl 10543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
250219, 238, 248, 249syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
251250adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
252 0red 9627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  0  e.  RR )
253227sselda 3442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  r  e.  CC )
254253abscld 13416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  RR )
255254adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  RR )
256 absgt0 13306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( r  e.  CC  ->  (
r  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  r
) ) )
257253, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( r  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  r ) ) )
258257biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  /\  r  =/=  0
)  ->  0  <  ( abs `  r ) )
259258anasss 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  0  <  ( abs `  r ) )
260219, 238, 2483jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x ) )
261260adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x ) )
262 fnfvima 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( abs  Fn  CC  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC  /\  r  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )  ->  ( abs `  r )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
263233, 262mp3an1 1313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ran  f  u. 
ran  g )  C_  CC  /\  r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs `  r
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
264227, 263sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
265 suprub 10544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )  /\  ( abs `  r )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )  ->  ( abs `  r
)  <_  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)
266261, 264, 265syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  <_  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)
267266adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\