Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem3 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1anclem3 31983
 Description: Lemma for ftc1anc 31989- the absolute value of the sum of a simple function and times another simple function is itself a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 27-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem3

Proof of Theorem ftc1anclem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 22632 . . . . . . . 8
21ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
3 i1ff 22632 . . . . . . . 8
43ffvelrnda 6037 . . . . . . 7
5 absreim 13356 . . . . . . 7
62, 4, 5syl2an 479 . . . . . 6
76anandirs 838 . . . . 5
82recnd 9676 . . . . . . . . 9
98sqvald 12419 . . . . . . . 8
104recnd 9676 . . . . . . . . 9
1110sqvald 12419 . . . . . . . 8
129, 11oveqan12d 6324 . . . . . . 7
1312anandirs 838 . . . . . 6
1413fveq2d 5885 . . . . 5
157, 14eqtrd 2463 . . . 4
1615mpteq2dva 4510 . . 3
17 ax-icn 9605 . . . . . . 7
18 mulcl 9630 . . . . . . 7
1917, 10, 18sylancr 667 . . . . . 6
20 addcl 9628 . . . . . 6
218, 19, 20syl2an 479 . . . . 5
2221anandirs 838 . . . 4
23 reex 9637 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
252adantlr 719 . . . . 5
26 ovex 6333 . . . . . 6
2726a1i 11 . . . . 5
281feqmptd 5934 . . . . . 6
2928adantr 466 . . . . 5
3023a1i 11 . . . . . . 7
3117a1i 11 . . . . . . 7
32 fconstmpt 4897 . . . . . . . 8
3332a1i 11 . . . . . . 7
343feqmptd 5934 . . . . . . 7
3530, 31, 4, 33, 34offval2 6562 . . . . . 6
3635adantl 467 . . . . 5
3724, 25, 27, 29, 36offval2 6562 . . . 4
38 absf 13400 . . . . . 6
3938a1i 11 . . . . 5
4039feqmptd 5934 . . . 4
41 fveq2 5881 . . . 4
4222, 37, 40, 41fmptco 6071 . . 3
438, 8mulcld 9670 . . . . . 6
4410, 10mulcld 9670 . . . . . 6
45 addcl 9628 . . . . . 6
4643, 44, 45syl2an 479 . . . . 5
4746anandirs 838 . . . 4
4843adantlr 719 . . . . 5
4944adantll 718 . . . . 5
5023a1i 11 . . . . . . 7
5150, 2, 2, 28, 28offval2 6562 . . . . . 6
5251adantr 466 . . . . 5
5330, 4, 4, 34, 34offval2 6562 . . . . . 6
5453adantl 467 . . . . 5
5524, 48, 49, 52, 54offval2 6562 . . . 4
56 sqrtf 13426 . . . . . 6
5756a1i 11 . . . . 5
5857feqmptd 5934 . . . 4
59 fveq2 5881 . . . 4
6047, 55, 58, 59fmptco 6071 . . 3
6116, 42, 603eqtr4d 2473 . 2
62 elrege0 11745 . . . . . . 7
63 resqrtcl 13317 . . . . . . 7
6462, 63sylbi 198 . . . . . 6
6564adantl 467 . . . . 5
66 id 22 . . . . . . . . 9
6766feqmptd 5934 . . . . . . . 8
6856, 67ax-mp 5 . . . . . . 7
6968reseq1i 5120 . . . . . 6
70 rge0ssre 11747 . . . . . . . 8
71 ax-resscn 9603 . . . . . . . 8
7270, 71sstri 3473 . . . . . . 7
73 resmpt 5173 . . . . . . 7
7472, 73ax-mp 5 . . . . . 6
7569, 74eqtri 2451 . . . . 5
7665, 75fmptd 6061 . . . 4
77 ge0addcl 11751 . . . . . 6
7877adantl 467 . . . . 5
79 oveq12 6314 . . . . . . . . 9
8079anidms 649 . . . . . . . 8
8180feq1d 5732 . . . . . . 7
82 i1ff 22632 . . . . . . . . . . . 12
8382ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
8483, 83remulcld 9678 . . . . . . . . . 10
8583msqge0d 10189 . . . . . . . . . 10
86 elrege0 11745 . . . . . . . . . 10
8784, 85, 86sylanbrc 668 . . . . . . . . 9
88 eqid 2422 . . . . . . . . 9
8987, 88fmptd 6061 . . . . . . . 8
9023a1i 11 . . . . . . . . . 10
9182feqmptd 5934 . . . . . . . . . 10
9290, 83, 83, 91, 91offval2 6562 . . . . . . . . 9
9392feq1d 5732 . . . . . . . 8
9489, 93mpbird 235 . . . . . . 7
9581, 94vtoclga 3145 . . . . . 6
9695adantr 466 . . . . 5
97 oveq12 6314 . . . . . . . . 9
9897anidms 649 . . . . . . . 8
9998feq1d 5732 . . . . . . 7
10099, 94vtoclga 3145 . . . . . 6
101100adantl 467 . . . . 5
102 inidm 3671 . . . . 5
10378, 96, 101, 24, 24, 102off 6560 . . . 4
104 fco2 5757 . . . 4
10576, 103, 104syl2anc 665 . . 3
106 rnco 5360 . . . 4
107 ffn 5746 . . . . . . . 8
10856, 107ax-mp 5 . . . . . . 7
109 readdcl 9629 . . . . . . . . . . 11
110109adantl 467 . . . . . . . . . 10
111 remulcl 9631 . . . . . . . . . . . . 13
112111adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
113112, 1, 1, 50, 50, 102off 6560 . . . . . . . . . . 11
114113adantr 466 . . . . . . . . . 10
115111adantl 467 . . . . . . . . . . . 12
116115, 3, 3, 30, 30, 102off 6560 . . . . . . . . . . 11
117116adantl 467 . . . . . . . . . 10
118110, 114, 117, 24, 24, 102off 6560 . . . . . . . . 9
119 frn 5752 . . . . . . . . 9
120118, 119syl 17 . . . . . . . 8
121120, 71syl6ss 3476 . . . . . . 7
122 fnssres 5707 . . . . . . 7
123108, 121, 122sylancr 667 . . . . . 6
124 id 22 . . . . . . . . . 10
125124, 124i1fmul 22652 . . . . . . . . 9
126125adantr 466 . . . . . . . 8
127 id 22 . . . . . . . . . 10
128127, 127i1fmul 22652 . . . . . . . . 9
129128adantl 467 . . . . . . . 8
130126, 129i1fadd 22651 . . . . . . 7
131 i1frn 22633 . . . . . . 7
132130, 131syl 17 . . . . . 6
133 fnfi 7858 . . . . . 6
134123, 132, 133syl2anc 665 . . . . 5
135 rnfi 7866 . . . . 5
136134, 135syl 17 . . . 4
137106, 136syl5eqel 2511 . . 3
138 cnvco 5039 . . . . . . 7
139138imaeq1i 5184 . . . . . 6
140 imaco 5359 . . . . . 6
141139, 140eqtri 2451 . . . . 5
142 i1fima 22634 . . . . . 6
143130, 142syl 17 . . . . 5
144141, 143syl5eqel 2511 . . . 4
146141fveq2i 5884 . . . 4
147 eldifsni 4126 . . . . . . . 8
148 c0ex 9644 . . . . . . . . . . . 12
149148elsnc 4022 . . . . . . . . . . 11
150 eqcom 2431 . . . . . . . . . . 11
151149, 150bitri 252 . . . . . . . . . 10
152151necon3bbii 2681 . . . . . . . . 9
153 sqrt0 13305 . . . . . . . . . 10
154153eleq1i 2498 . . . . . . . . 9
155152, 154xchnxbir 310 . . . . . . . 8
156147, 155sylibr 215 . . . . . . 7
157156olcd 394 . . . . . 6
158 ianor 490 . . . . . . 7
159 elpreima 6017 . . . . . . . 8
16056, 107, 159mp2b 10 . . . . . . 7
161158, 160xchnxbir 310 . . . . . 6
162157, 161sylibr 215 . . . . 5
163 i1fima2 22635 . . . . 5
164130, 162, 163syl2an 479 . . . 4
165146, 164syl5eqel 2511 . . 3
166105, 137, 145, 165i1fd 22637 . 2
16761, 166eqeltrd 2507 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  cvv 3080   cdif 3433   wss 3436  csn 3998   class class class wbr 4423   cmpt 4482   cxp 4851  ccnv 4852   cdm 4853   crn 4854   cres 4855  cima 4856   ccom 4857   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   cof 6543  cfn 7580  cc 9544  cr 9545  cc0 9546  ci 9548   caddc 9549   cmul 9551   cpnf 9679   cle 9683  c2 10666  cico 11644  cexp 12278  csqrt 13296  cabs 13297  cvol 22413  citg1 22571 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-ioo 11646  df-ico 11648  df-icc 11649  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-xmet 18962  df-met 18963  df-ovol 22414  df-vol 22416  df-mbf 22575  df-itg1 22576 This theorem is referenced by:  ftc1anclem7  31987  ftc1anclem8  31988
 Copyright terms: Public domain W3C validator