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Theorem ftc1anc 30073
Description: ftc1a 22311 holds for functions that obey the triangle inequality in the absence of ax-cc 8818. Theorem 565Ma of [Fremlin5] p. 220. (Contributed by Brendan Leahy, 11-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1anc.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1anc.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1anc.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1anc.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1anc.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1anc.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1anc.f  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
ftc1anc.t  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ( (,) " ( ( A [,] B )  X.  ( A [,] B ) ) ) ( abs `  S. s ( F `  t )  _d t )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  s ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ftc1anc  |-  ( ph  ->  G  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, A    B, s, t, x    D, s, t, x    F, s, t, x    ph, s,
t, x    G, s
Allowed substitution hints:    G( x, t)

Proof of Theorem ftc1anc
Dummy variables  a 
b  f  g  r  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1anc.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
2 ftc1anc.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ftc1anc.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ftc1anc.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
5 ftc1anc.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
6 ftc1anc.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
7 ftc1anc.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
8 ftc1anc.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1lem2 22310 . 2  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
10 rphalfcl 11253 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( y  /  2 )  e.  RR+ )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1anclem6 30070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  dom  S.1 E. g  e. 
dom  S.1 ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )
1210, 11sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  dom  S.1 E. g  e. 
dom  S.1 ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )
1312adantrl 715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  E. f  e.  dom  S.1 E. g  e. 
dom  S.1 ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )
1410ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  RR+ ) )  ->  (
y  /  2 )  e.  RR+ )
15 2rp 11234 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR+
16 i1ff 21956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
17 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : RR --> RR  ->  ran  f  C_  RR )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ran  f  C_  RR )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ran  f  C_  RR )
20 i1ff 21956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g : RR --> RR )
21 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( g : RR --> RR  ->  ran  g  C_  RR )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ran  g  C_  RR )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ran  g  C_  RR )
2419, 23unssd 3665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  RR )
25 ax-resscn 9552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  RR  C_  CC
2624, 25syl6ss 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC )
27 i1f0rn 21962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  f )
28 elun1 3656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ran  f  -> 
0  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )
31 absf 13149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  abs : CC
--> RR
32 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  abs 
Fn  CC )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  abs  Fn  CC
34 fnfvima 6135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( abs  Fn  CC  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC  /\  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )  ->  ( abs `  0 )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
3533, 34mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ran  f  u. 
ran  g )  C_  CC  /\  0  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs `  0
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
3626, 30, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs `  0
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
37 ne0i 3776 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs `  0 )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/) )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/) )
39 imassrn 5338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  ran  abs
40 frn 5727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  ran 
abs  C_  RR )
4131, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  abs  C_  RR
4239, 41sstri 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR
43 ffun 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs
: CC --> RR  ->  Fun 
abs )
4431, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  abs
45 i1frn 21957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ran  f  e.  Fin )
46 i1frn 21957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ran  g  e.  Fin )
47 unfi 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\ 
ran  g  e.  Fin )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  e. 
Fin )
4845, 46, 47syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ran  f  u.  ran  g )  e. 
Fin )
49 imafi 7815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  abs  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  e.  Fin )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )
5044, 48, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )
51 fimaxre2 10497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  e. 
Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )
5242, 50, 51sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )
53 suprcl 10509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5442, 53mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5538, 52, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
57 0red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  0  e.  RR )
5826sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  r  e.  CC )
5958abscld 13246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  RR )
6059adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  RR )
6155adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
62 absgt0 13136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( r  e.  CC  ->  (
r  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  r
) ) )
6358, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( r  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  r ) ) )
6463biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( r  =/=  0  ->  0  <  ( abs `  r ) ) )
6564impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  0  <  ( abs `  r ) )
6642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR )
6766, 38, 523jca 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x ) )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) 
C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x ) )
69 fnfvima 6135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( abs  Fn  CC  /\  ( ran  f  u.  ran  g )  C_  CC  /\  r  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) )  ->  ( abs `  r )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
7033, 69mp3an1 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ran  f  u. 
ran  g )  C_  CC  /\  r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) )  -> 
( abs `  r
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
7126, 70sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )
72 suprub 10510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  C_  RR  /\  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) y  <_  x )  /\  ( abs `  r )  e.  ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) )  ->  ( abs `  r
)  <_  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)
7368, 71, 72syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) )  ->  ( abs `  r
)  <_  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)
7473adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  ( abs `  r
)  <_  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)
7557, 60, 61, 65, 74ltletrd 9745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  ( r  e.  ( ran  f  u.  ran  g )  /\  r  =/=  0 ) )  ->  0  <  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)
7675rexlimdvaa 2936 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0  ->  0  <  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7776imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  -> 
0  <  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)
7856, 77elrpd 11263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  ->  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )
79 rpmulcl 11250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR+ )  ->  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)  e.  RR+ )
8015, 78, 79sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  -> 
( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)  e.  RR+ )
81 rpdivcl 11251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  /  2
)  e.  RR+  /\  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
)  e.  RR+ )  ->  ( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) )  e.  RR+ )
8214, 80, 81syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 ) )  -> 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) )  e.  RR+ )
8382anassrs 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g
) r  =/=  0
)  ->  ( (
y  /  2 )  /  ( 2  x. 
sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  e.  RR+ )
8483adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  ->  ( ( y  /  2 )  / 
( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) )  e.  RR+ )
85 ancom 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ )  <->  ( y  e.  RR+  /\  u  e.  ( A [,] B
) ) )
8685anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  RR+ ) )  <->  ( (
( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  u  e.  ( A [,] B ) ) ) )
87 an32 798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 ) )  <->  ( ( ph  /\  ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 ) )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) ) )
8887anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) ) )
89 an32 798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  <->  ( (
( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) ) )
9088, 89bitri 249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  ( f  e. 
dom  S.1  /\  g  e. 
dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  <-> 
( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) ) )
9190anbi1i 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  <-> 
( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 ) )
92 an32 798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  <->  ( (
( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  y  e.  RR+ ) ) )
9391, 92bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  <-> 
( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) ) )
94 anass 649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  <->  ( (
( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  ( y  e.  RR+  /\  u  e.  ( A [,] B ) ) ) )
9586, 93, 943bitr4i 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  y  e.  RR+ ) )  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  <-> 
( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  u  e.  ( A [,] B ) ) )
96 oveq12 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  =  w  /\  a  =  u )  ->  ( b  -  a
)  =  ( w  -  u ) )
9796ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  u  /\  b  =  w )  ->  ( b  -  a
)  =  ( w  -  u ) )
9897fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  u  /\  b  =  w )  ->  ( abs `  (
b  -  a ) )  =  ( abs `  ( w  -  u
) ) )
9998breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  u  /\  b  =  w )  ->  ( ( abs `  (
b  -  a ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  ( 2  x. 
sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  <->  ( abs `  ( w  -  u
) )  <  (
( y  /  2
)  /  ( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g
) ) ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
100 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  w  ->  ( G `  b )  =  ( G `  w ) )
101 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  u  ->  ( G `  a )  =  ( G `  u ) )
102100, 101oveqan12rd 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  u  /\  b  =  w )  ->  ( ( G `  b )  -  ( G `  a )
)  =  ( ( G `  w )  -  ( G `  u ) ) )
103102fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  u  /\  b  =  w )  ->  ( abs `  (
( G `  b
)  -  ( G `
 a ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  u )
) ) )
104103breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  u  /\  b  =  w )  ->  ( ( abs `  (
( G `  b
)  -  ( G `
 a ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  w )  -  ( G `  u )
) )  <  y
) )
10599, 104imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  u  /\  b  =  w )  ->  ( ( ( abs `  ( b  -  a
) )  <  (
( y  /  2
)  /  ( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  b
)  -  ( G `
 a ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
w  -  u ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  ( 2  x. 
sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  u ) ) )  <  y
) ) )
106 oveq12 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b  =  u  /\  a  =  w )  ->  ( b  -  a
)  =  ( u  -  w ) )
107106ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  w  /\  b  =  u )  ->  ( b  -  a
)  =  ( u  -  w ) )
108107fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  w  /\  b  =  u )  ->  ( abs `  (
b  -  a ) )  =  ( abs `  ( u  -  w
) ) )
109108breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  w  /\  b  =  u )  ->  ( ( abs `  (
b  -  a ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  ( 2  x. 
sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  <->  ( abs `  ( u  -  w
) )  <  (
( y  /  2
)  /  ( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g
) ) ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
110 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  =  u  ->  ( G `  b )  =  ( G `  u ) )
111 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  w  ->  ( G `  a )  =  ( G `  w ) )
112110, 111oveqan12rd 6301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  =  w  /\  b  =  u )  ->  ( ( G `  b )  -  ( G `  a )
)  =  ( ( G `  u )  -  ( G `  w ) ) )
113112fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  =  w  /\  b  =  u )  ->  ( abs `  (
( G `  b
)  -  ( G `
 a ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  u )  -  ( G `  w )
) ) )
114113breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  w  /\  b  =  u )  ->  ( ( abs `  (
( G `  b
)  -  ( G `
 a ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  u )  -  ( G `  w )
) )  <  y
) )
115109, 114imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  w  /\  b  =  u )  ->  ( ( ( abs `  ( b  -  a
) )  <  (
( y  /  2
)  /  ( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  b
)  -  ( G `
 a ) ) )  <  y )  <-> 
( ( abs `  (
u  -  w ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  ( 2  x. 
sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 u )  -  ( G `  w ) ) )  <  y
) ) )
116 iccssre 11615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
1172, 3, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
118117ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( A [,] B )  C_  RR )
119 simp-4l 767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ph )
120117, 25syl6ss 3501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
121120sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A [,] B ) )  ->  w  e.  CC )
122120sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  u  e.  CC )
123 abssub 13138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( w  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( abs `  (
w  -  u ) )  =  ( abs `  ( u  -  w
) ) )
124121, 122, 123syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  u ) )  =  ( abs `  (
u  -  w ) ) )
125124anandis 830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( w  -  u ) )  =  ( abs `  (
u  -  w ) ) )
126125breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
w  -  u ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  ( 2  x. 
sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  <->  ( abs `  ( u  -  w
) )  <  (
( y  /  2
)  /  ( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g
) ) ,  RR ,  <  ) ) ) ) )
1279ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  w )  e.  CC )
1289ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  u )  e.  CC )
129 abssub 13138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( G `  w
)  e.  CC  /\  ( G `  u )  e.  CC )  -> 
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 u ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  u )  -  ( G `  w )
) ) )
130127, 128, 129syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  ( A [,] B
) )  /\  ( ph  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  u ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  u )  -  ( G `  w ) ) ) )
131130anandis 830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  u ) ) )  =  ( abs `  ( ( G `  u )  -  ( G `  w ) ) ) )
132131breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( G `  w
)  -  ( G `
 u ) ) )  <  y  <->  ( abs `  ( ( G `  u )  -  ( G `  w )
) )  <  y
) )
133126, 132imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
w  -  u ) )  <  ( ( y  /  2 )  /  ( 2  x. 
sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  u ) ) )  <  y
)  <->  ( ( abs `  ( u  -  w
) )  <  (
( y  /  2
)  /  ( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  u
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  y ) ) )
134119, 133sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( w  -  u ) )  <  ( ( y  /  2 )  / 
( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) )  ->  ( abs `  ( ( G `
 w )  -  ( G `  u ) ) )  <  y
)  <->  ( ( abs `  ( u  -  w
) )  <  (
( y  /  2
)  /  ( 2  x.  sup ( ( abs " ( ran  f  u.  ran  g
) ) ,  RR ,  <  ) ) )  ->  ( abs `  (
( G `  u
)  -  ( G `
 w ) ) )  <  y ) ) )
1352rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
1363rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
137135, 136jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )
)
138 df-icc 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { t  e.  RR*  |  (
x  <_  t  /\  t  <_  y ) } )
139138elixx3g 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  u  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  u  /\  u  <_  B ) ) )
140139simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  ->  ( A  <_  u  /\  u  <_  B ) )
141140simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( u  e.  ( A [,] B )  ->  A  <_  u )
142138elixx3g 11551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  <->  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  /\  ( A  <_  w  /\  w  <_  B ) ) )
143142simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  ->  ( A  <_  w  /\  w  <_  B ) )
144143simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( w  e.  ( A [,] B )  ->  w  <_  B )
145141, 144anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) )  -> 
( A  <_  u  /\  w  <_  B ) )
146 ioossioo 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  u  /\  w  <_  B ) )  ->  ( u (,) w )  C_  ( A (,) B ) )
147137, 145, 146syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  ( A (,) B ) )
1485adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  D )
149147, 148sstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
u (,) w ) 
C_  D )
150149sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  t  e.  D )
1518ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
152151abscld 13246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  e.  RR )
153152rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  e. 
RR* )
154151absge0d 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  0  <_  ( abs `  ( F `  t )
) )
155 elxrge0 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( abs `  ( F `
 t ) )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( abs `  ( F `  t
) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( abs `  ( F `  t
) ) ) )
156153, 154, 155sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  t  e.  D )  ->  ( abs `  ( F `  t ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
157156adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
158150, 157syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
159 0e0iccpnf 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
160159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
161158, 160ifclda 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
163 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) )
164162, 163fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
165 itg2cl 22012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
166164, 165syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
1671663adantr3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
168119, 167sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
169168adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
170 simplll 759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  ->  ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) ) )
171151adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  D
)  ->  ( F `  t )  e.  CC )
172150, 171syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
173172adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( F `  t )  e.  CC )
174 elioore 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( t  e.  ( u (,) w )  ->  t  e.  RR )
17516ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  t  e.  RR )  ->  ( f `  t )  e.  RR )
176175recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  t  e.  RR )  ->  ( f `  t )  e.  CC )
177 ax-icn 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  _i  e.  CC
17820ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  t  e.  RR )  ->  ( g `  t )  e.  RR )
179178recnd 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  t  e.  RR )  ->  ( g `  t )  e.  CC )
180 mulcl 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( g `  t
)  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( g `  t
) )  e.  CC )
181177, 179, 180sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  t  e.  RR )  ->  ( _i  x.  ( g `  t
) )  e.  CC )
182 addcl 9577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( f `  t
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  (
g `  t )
)  e.  CC )  ->  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) )  e.  CC )
183176, 181, 182syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  t  e.  RR )  /\  ( g  e. 
dom  S.1  /\  t  e.  RR ) )  -> 
( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  CC )
184183anandirs 831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
185174, 184sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
186185adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) )  e.  CC )
187186adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( (
f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) )  e.  CC )
188173, 187subcld 9936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  e.  CC )
189188abscld 13246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR )
190185abscld 13246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  ( abs `  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  e.  RR )
191190adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  ( abs `  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  e.  RR )
192191adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) )  e.  RR )
193189, 192readdcld 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  +  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR )
194193rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  +  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  RR* )
195188absge0d 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) ) )
196184absge0d 13254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  RR )  ->  0  <_  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
197174, 196sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
198197adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )
199198adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )
200189, 192, 195, 199addge0d 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  0  <_  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) )
201 elxrge0 11638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) 
<->  ( ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )
202194, 200, 201sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) )  +  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
203159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  -.  t  e.  ( u (,) w
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
204202, 203ifclda 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
205204adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
206 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )
207205, 206fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
208 itg2cl 22012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
209207, 208syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
2102093adantr3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
211170, 210sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
212211adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )
213 rpxr 11236 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e. 
RR* )
214213ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
y  e.  RR* )
215161adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
216215adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
217216, 163fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
218173, 187npcand 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) )  +  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) )  =  ( F `  t
) )
219218fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) )  +  ( ( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `
 t ) ) )
220188, 187abstrid 13266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( ( ( F `
 t )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) )  +  ( ( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  <_  (
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) )
221219, 220eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  ( abs `  ( F `  t
) )  <_  (
( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) )
222 iftrue 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( t  e.  ( u (,) w )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
223222adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  if (
t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  =  ( abs `  ( F `  t )
) )
224 iftrue 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( t  e.  ( u (,) w )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) )
225224adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  if (
t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 )  =  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) )
226221, 223, 2253brtr4d 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( f  e.  dom  S.1 
/\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  /\  t  e.  ( u (,) w ) )  ->  if (
t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) )
227226ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  ( u (,) w
)  ->  if (
t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )
228 0le0 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  <_  0
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  t  e.  ( u (,) w )  -> 
0  <_  0 )
230 iffalse 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  t  e.  ( u (,) w )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  =  0 )
231 iffalse 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( -.  t  e.  ( u (,) w )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 )  =  0 )
232229, 230, 2313brtr4d 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  t  e.  ( u (,) w )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) )
233227, 232pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 )  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )
234233ralrimivw 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) )
235 reex 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  RR  e.  _V
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
237 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( abs `  ( F `  t
) )  e.  _V
238 c0ex 9593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  0  e.  _V
239237, 238ifex 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  e.  _V
240239a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  e.  _V )
241 ovex 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  ( ( f `
 t )  +  ( _i  x.  (
g `  t )
) ) ) )  +  ( abs `  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  e.  _V
242241, 238ifex 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V
243242a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR )  ->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 )  e.  _V )
244 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )
245 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  =  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )
246236, 240, 243, 244, 245ofrfval2 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )
247246ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) )  <->  A. t  e.  RR  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 )  <_  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )
248234, 247mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 ) )  oR  <_  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )
249 itg2le 22019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `
 t ) ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  ( ( F `  t )  -  (
( f `  t
)  +  ( _i  x.  ( g `  t ) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
250217, 207, 248, 249syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B ) ) )  ->  ( S.2 `  (
t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
2512503adantr3 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  (
u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
252170, 251sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ) )  <  ( y  /  2 ) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u. 
ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B )  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
253252adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( abs `  ( F `  t )
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) ) )
2541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1anclem8 30072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  /\  ( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  ( abs `  ( if ( t  e.  D ,  ( F `  t ) ,  0 )  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) ) ) )  < 
( y  /  2
) )  /\  E. r  e.  ( ran  f  u.  ran  g ) r  =/=  0 )  /\  y  e.  RR+ )  /\  ( u  e.  ( A [,] B
)  /\  w  e.  ( A [,] B )  /\  u  <_  w
) )  /\  ( abs `  ( w  -  u ) )  < 
( ( y  / 
2 )  /  (
2  x.  sup (
( abs " ( ran  f  u.  ran  g ) ) ,  RR ,  <  )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( t  e.  RR  |->  if ( t  e.  ( u (,) w ) ,  ( ( abs `  (
( F `  t
)  -  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `  t
) ) ) ) )  +  ( abs `  ( ( f `  t )  +  ( _i  x.  ( g `
 t ) ) ) ) ) ,  0 ) ) )  <  y )
255169, 212, 214, 253, 254xrlelttrd 11372 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  g