MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1 21514
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function formed by varying the right endpoint of an integral is differentiable at  C with derivative  F ( C ) if the original function is continuous at  C. This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ftc1  |-  ( ph  ->  C ( RR  _D  G ) ( F `
 C ) )
Distinct variable groups:    x, t, C    t, D, x    t, A, x    t, B, x    ph, t, x    t, F, x    x, L
Allowed substitution hints:    G( x, t)    J( x, t)    K( x, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( Lt  RR )
2 ftc1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
32tgioo2 20380 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Lt  RR )
41, 3eqtr4i 2466 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 retop 20340 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
64, 5eqeltri 2513 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 ftc1.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 iccssre 11377 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
12 iooretop 20345 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1312, 4eleqtrri 2516 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  e.  J
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  J )
15 ioossicc 11381 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
17 uniretop 20341 . . . . . 6  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
184unieqi 4100 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1917, 18eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  RR  =  U. J
2019ssntr 18662 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR )  /\  ( ( A (,) B )  e.  J  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( int `  J
) `  ( A [,] B ) ) )
217, 11, 14, 16, 20syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( int `  J ) `  ( A [,] B ) ) )
22 ftc1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
2321, 22sseldd 3357 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  J ) `
 ( A [,] B ) ) )
24 ftc1.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
25 ftc1.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
26 ftc1.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
27 ftc1.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
28 ftc1.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
29 ftc1.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
30 ftc1.k . . 3  |-  K  =  ( Lt  D )
31 eqid 2443 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
3224, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2, 31ftc1lem6 21513 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
33 ax-resscn 9339 . . . 4  |-  RR  C_  CC
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3524, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2ftc1lem3 21510 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
3624, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 35ftc1lem2 21508 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
371, 2, 31, 34, 36, 11eldv 21373 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( RR 
_D  G ) ( F `  C )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  J
) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `  C )  e.  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
3823, 32, 37mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  C ( RR  _D  G ) ( F `
 C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3325    C_ wss 3328   {csn 3877   U.cuni 4091   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ran crn 4841   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281    <_ cle 9419    - cmin 9595    / cdiv 9993   (,)cioo 11300   [,]cicc 11303   ↾t crest 14359   TopOpenctopn 14360   topGenctg 14376  ℂfldccnfld 17818   Topctop 18498   intcnt 18621    CnP ccnp 18829   L^1cibl 21097   S.citg 21098   lim CC climc 21337    _D cdv 21338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cc 8604  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-supp 6691  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fsupp 7621  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-hom 14262  df-cco 14263  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-gsum 14381  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-prds 14386  df-xrs 14440  df-qtop 14445  df-imas 14446  df-xps 14448  df-mre 14524  df-mrc 14525  df-acs 14527  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-mulg 15548  df-cntz 15835  df-cmn 16279  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-cnfld 17819  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-tx 19135  df-hmeo 19328  df-xms 19895  df-ms 19896  df-tms 19897  df-cncf 20454  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101  df-ibl 21102  df-itg 21103  df-0p 21148  df-limc 21341  df-dv 21342
This theorem is referenced by:  ftc1cn  21515
  Copyright terms: Public domain W3C validator