MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1 Structured version   Unicode version

Theorem ftc1 22311
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function formed by varying the right endpoint of an integral is differentiable at  C with derivative  F ( C ) if the original function is continuous at  C. This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
ftc1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ftc1.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ftc1.le  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
ftc1.s  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
ftc1.d  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
ftc1.i  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
ftc1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
ftc1.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
ftc1.j  |-  J  =  ( Lt  RR )
ftc1.k  |-  K  =  ( Lt  D )
ftc1.l  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ftc1  |-  ( ph  ->  C ( RR  _D  G ) ( F `
 C ) )
Distinct variable groups:    x, t, C    t, D, x    t, A, x    t, B, x    ph, t, x    t, F, x    x, L
Allowed substitution hints:    G( x, t)    J( x, t)    K( x, t)    L( t)

Proof of Theorem ftc1
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( Lt  RR )
2 ftc1.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( TopOpen ` fld )
32tgioo2 21176 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Lt  RR )
41, 3eqtr4i 2499 . . . . . 6  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
5 retop 21136 . . . . . 6  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
64, 5eqeltri 2551 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
76a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
8 ftc1.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
9 ftc1.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
10 iccssre 11618 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
12 iooretop 21141 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  e.  ( topGen `  ran  (,) )
1312, 4eleqtrri 2554 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  e.  J
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  J )
15 ioossicc 11622 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
1615a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) )
17 uniretop 21137 . . . . . 6  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
184unieqi 4260 . . . . . 6  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
1917, 18eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  RR  =  U. J
2019ssntr 19427 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( A [,] B
)  C_  RR )  /\  ( ( A (,) B )  e.  J  /\  ( A (,) B
)  C_  ( A [,] B ) ) )  ->  ( A (,) B )  C_  (
( int `  J
) `  ( A [,] B ) ) )
217, 11, 14, 16, 20syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  ( ( int `  J ) `  ( A [,] B ) ) )
22 ftc1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( A (,) B ) )
2321, 22sseldd 3510 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  ( ( int `  J ) `
 ( A [,] B ) ) )
24 ftc1.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  ( A [,] B ) 
|->  S. ( A (,) x ) ( F `
 t )  _d t )
25 ftc1.le . . 3  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
26 ftc1.s . . 3  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  D )
27 ftc1.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  C_  RR )
28 ftc1.i . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
29 ftc1.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( K  CnP  L ) `
 C ) )
30 ftc1.k . . 3  |-  K  =  ( Lt  D )
31 eqid 2467 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )  =  ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) )
3224, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2, 31ftc1lem6 22310 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  C
)  e.  ( ( z  e.  ( ( A [,] B ) 
\  { C }
)  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C ) )  / 
( z  -  C
) ) ) lim CC  C ) )
33 ax-resscn 9561 . . . 4  |-  RR  C_  CC
3433a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
3524, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2ftc1lem3 22307 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : D --> CC )
3624, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 35ftc1lem2 22305 . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( A [,] B ) --> CC )
371, 2, 31, 34, 36, 11eldv 22170 . 2  |-  ( ph  ->  ( C ( RR 
_D  G ) ( F `  C )  <-> 
( C  e.  ( ( int `  J
) `  ( A [,] B ) )  /\  ( F `  C )  e.  ( ( z  e.  ( ( A [,] B )  \  { C } )  |->  ( ( ( G `  z )  -  ( G `  C )
)  /  ( z  -  C ) ) ) lim CC  C ) ) ) )
3823, 32, 37mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  C ( RR  _D  G ) ( F `
 C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   U.cuni 4251   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   ran crn 5006   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   Topctop 19263   intcnt 19386    CnP ccnp 19594   L^1cibl 21894   S.citg 21895   lim CC climc 22134    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-ntr 19389  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  ftc1cn  22312
  Copyright terms: Public domain W3C validator