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Theorem ftalem5OLD 24082
Description: Lemma for fta 24085: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 24078 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let  K be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let  T be a  K-th root of  -u F ( 0 )  /  A
( K ). Then an evaluation of  F ( T X ) where  X is a sufficiently small positive number yields  F ( 0 ) for the first term and 
-u F ( 0 )  x.  X ^ K for the  K-th term, and all higher terms are bounded because  X is small. Thus,  abs ( F ( T X ) )  <_  abs ( F ( 0 ) ) ( 1  -  X ^ K )  <  abs ( F ( 0 ) ), in contradiction to our choice of  F ( 0 ) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) Obsolete version of ftalem5 24080 as of 1-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem4OLD.5  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
ftalem4OLD.6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
ftalem4OLD.7  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )
ftalem4OLD.8  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
ftalem4OLD.9  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
Assertion
Ref Expression
ftalem5OLD  |-  ( ph  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 x ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
Distinct variable groups:    k, n, x, A    k, K, n   
k, N, n, x   
k, F, n, x    ph, k, x    S, k    T, k, x    x, U   
k, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( x, n)    T( n)    U( k, n)    K( x)

Proof of Theorem ftalem5OLD
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . . . . 6  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . . . . 6  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
5 ftalem4OLD.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
6 ftalem4OLD.6 . . . . . 6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
7 ftalem4OLD.7 . . . . . 6  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )
8 ftalem4OLD.8 . . . . . 6  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
9 ftalem4OLD.9 . . . . . 6  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftalem4OLD 24081 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
1110simprd 470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) )
1211simp1d 1042 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
1311simp3d 1044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
1413rpred 11364 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1514recnd 9687 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1612, 15mulcld 9681 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  x.  X
)  e.  CC )
17 plyf 23231 . . . . . 6  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
183, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
1918, 16ffvelrnd 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  e.  CC )
2019abscld 13575 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  e.  RR )
21 0cn 9653 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
22 ffvelrn 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
2318, 21, 22sylancl 675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
2423abscld 13575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
2510simpld 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  ( A `  K
)  =/=  0 ) )
2625simpld 466 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
2726nnnn0d 10949 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
2814, 27reexpcld 12471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  RR )
2924, 28remulcld 9689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) )  e.  RR )
3024, 29resubcld 10068 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  e.  RR )
31 fzfid 12224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
32 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
3327, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
34 elfzuz 11822 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
35 eluznn0 11251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
3633, 34, 35syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
371coef3 23265 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
383, 37syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
39 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
4038, 39sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
4136, 40syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
4216adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T  x.  X )  e.  CC )
4342, 36expcld 12454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
4441, 43mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
4531, 44fsumcl 13876 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  e.  CC )
4645abscld 13575 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  e.  RR )
4730, 46readdcld 9688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  e.  RR )
48 fzfid 12224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... K
)  e.  Fin )
49 elfznn0 11913 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
5038, 49, 39syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
51 expcl 12328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  x.  X
)  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( T  x.  X ) ^ k
)  e.  CC )
5216, 49, 51syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
5350, 52mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... K
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
5448, 53fsumcl 13876 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  e.  CC )
5554, 45abstrid 13595 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
561, 2coeid2 23272 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  ( T  x.  X )  e.  CC )  ->  ( F `  ( T  x.  X ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) )
573, 16, 56syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )
5826nnred 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
5958ltp1d 10559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  <  ( K  +  1 ) )
60 fzdisj 11852 . . . . . . . 8  |-  ( K  <  ( K  + 
1 )  ->  (
( 0 ... K
)  i^i  ( ( K  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
6159, 60syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0 ... K )  i^i  (
( K  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
62 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  NN
63 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6462, 63sseqtri 3450 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
654nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
662, 1dgreq0 23298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
673, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
68 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
69 dgr0 23295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (deg ` 
0p )  =  0
7068, 69syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
712, 70syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  =  0p  ->  N  =  0 )
7267, 71syl6bir 237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
7372necon3d 2664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
7465, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
75 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
7675neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  N  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  N )  =/=  0 ) )
7776elrab 3184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( A `
 N )  =/=  0 ) )
784, 74, 77sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
79 infmssuzleOLD 11269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  N  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N
)
8064, 78, 79sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  N )
816, 80syl5eqbr 4429 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  <_  N )
82 nn0uz 11217 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
8327, 82syl6eleq 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
844nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
85 elfz5 11818 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <->  K  <_  N ) )
8683, 84, 85syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  e.  ( 0 ... N )  <-> 
K  <_  N )
)
8781, 86mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  ( 0 ... N ) )
88 fzsplit 11851 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  (
0 ... N )  =  ( ( 0 ... K )  u.  (
( K  +  1 ) ... N ) ) )
8987, 88syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  =  ( ( 0 ... K )  u.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ) )
90 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
91 elfznn0 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
9238, 91, 39syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
9316, 91, 51syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
9492, 93mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
9561, 89, 90, 94fsumsplit 13883 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
9657, 95eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F `  ( T  x.  X )
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
9796fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
981coefv0 23281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F `  0 )  =  ( A `  0
) )
993, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  ( A `
 0 ) )
10099eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
10116exp0d 12448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  X ) ^ 0 )  =  1 )
102100, 101oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  x.  (
( T  x.  X
) ^ 0 ) )  =  ( ( F `  0 )  x.  1 ) )
10323mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  1 )  =  ( F `
 0 ) )
104102, 103eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A ` 
0 )  x.  (
( T  x.  X
) ^ 0 ) )  =  ( F `
 0 ) )
105 1e0p1 11102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  ( 0  +  1 )
106105oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... K )  =  ( ( 0  +  1 ) ... K
)
107106sumeq1i 13841 . . . . . . . . . . 11  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... K
) ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )
10826, 63syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
109 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... K )  ->  k  e.  NN )
110109nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... K )  ->  k  e.  NN0 )
11138, 110, 39syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
11216, 110, 51syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
113111, 112mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... K
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  e.  CC )
114 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  ( A `  k )  =  ( A `  K ) )
115 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  K  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T  x.  X ) ^ K ) )
116114, 115oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  K  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) )
117108, 113, 116fsumm1 13889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) ) )
118107, 117syl5eqr 2519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  +  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K
) ) ) )
119 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN )
120119adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
121120nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
12258adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  K  e.  RR )
123 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  RR  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  e.  RR )
125 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
126125adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <_  ( K  -  1 ) )
127122ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( K  -  1 )  <  K )
128121, 124, 122, 126, 127lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  <  K )
129121, 122ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  <  K  <->  -.  K  <_  k ) )
130128, 129mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  K  <_  k )
131 infmssuzleOLD 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  <_  k
)
1326, 131syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  k  e.  { n  e.  NN  | 
( A `  n
)  =/=  0 } )  ->  K  <_  k )
13364, 132mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  K  <_  k )
134130, 133nsyl 125 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
135 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
136135neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  k )  =/=  0 ) )
137136elrab3 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( A `  k )  =/=  0
) )
138120, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( A `  k )  =/=  0
) )
139138necon2bbid 2686 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  =  0  <->  -.  k  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ) )
140134, 139mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( A `  k )  =  0 )
141140oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( 0  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )
142119nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
14316, 142, 51syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  e.  CC )
144143mul02d 9849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  0 )
145141, 144eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  0 )
146145sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0 )
147 fzfi 12223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin
148147olci 398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  1
)  \/  ( 1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )
149 sumz 13865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... ( K  -  1 ) )  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  (
1 ... ( K  - 
1 ) )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0  =  0 )
150148, 149ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) 0  =  0
151146, 150syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  0 )
15212, 15, 27mulexpd 12469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( T  x.  X ) ^ K
)  =  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K ) ) )
153152oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  ( ( A `  K )  x.  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
15438, 27ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  CC )
15512, 27expcld 12454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T ^ K
)  e.  CC )
15628recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  CC )
157154, 155, 156mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 K )  x.  ( T ^ K
) )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  ( ( T ^ K )  x.  ( X ^ K ) ) ) )
158153, 157eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  ( ( ( A `  K
)  x.  ( T ^ K ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
1597oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( T ^ K )  =  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^c  ( 1  /  K ) ) ^ K )
16058recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
16126nnne0d 10676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
162160, 161recid2d 10401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  /  K )  x.  K
)  =  1 )
163162oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( ( 1  /  K )  x.  K ) )  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  1 ) )
16425simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =/=  0 )
16523, 154, 164divcld 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
)  e.  CC )
166165negcld 9992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) )  e.  CC )
16726nnrecred 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  RR )
168167recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  CC )
169166, 168, 27cxpmul2d 23733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( ( 1  /  K )  x.  K ) )  =  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^c  ( 1  /  K ) ) ^ K ) )
170166cxp1d 23730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  1 )  = 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) ) )
171163, 169, 1703eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) )  ^c  ( 1  /  K ) ) ^ K )  = 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) ) )
172159, 171syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( T ^ K
)  =  -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )
173172oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  ( T ^ K ) )  =  ( ( A `
 K )  x.  -u ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
) ) )
174154, 165mulneg2d 10093 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  -u (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )  =  -u (
( A `  K
)  x.  ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) ) ) )
17523, 154, 164divcan2d 10407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( F `  0
)  /  ( A `
 K ) ) )  =  ( F `
 0 ) )
176175negeqd 9889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( ( A `
 K )  x.  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
) )  =  -u ( F `  0 ) )
177173, 174, 1763eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  ( T ^ K ) )  =  -u ( F ` 
0 ) )
178177oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 K )  x.  ( T ^ K
) )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( -u ( F `  0 )  x.  ( X ^ K
) ) )
17923, 156mulneg1d 10092 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) )  =  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )
180158, 178, 1793eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A `  K )  x.  (
( T  x.  X
) ^ K ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
181151, 180oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... ( K  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  +  ( ( A `  K )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ K ) ) )  =  ( 0  + 
-u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
18223, 156mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) )  e.  CC )
183182negcld 9992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) )  e.  CC )
184183addid2d 9852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  +  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
185118, 181, 1843eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  -u (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )
186104, 185oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A `
 0 )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) )  +  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  =  ( ( F `  0 )  +  -u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
187 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( A `  k )  =  ( A ` 
0 ) )
188 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T  x.  X ) ^
0 ) )
189187, 188oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 0 )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) ) )
19083, 53, 189fsum1p 13891 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( ( ( A `  0
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ 0 ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )
191103oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 0 )  x.  1 )  -  (
( F `  0
)  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
192 1cnd 9677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
19323, 192, 156subdid 10095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( ( F `  0
)  x.  1 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
19423, 182negsubd 10011 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  +  -u ( ( F ` 
0 )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  -  ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
195191, 193, 1943eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( F `  0 )  +  -u ( ( F `
 0 )  x.  ( X ^ K
) ) ) )
196186, 190, 1953eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) )  =  ( ( F `  0 )  x.  ( 1  -  ( X ^ K
) ) ) )
197196fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  =  ( abs `  ( ( F ` 
0 )  x.  (
1  -  ( X ^ K ) ) ) ) )
198 1re 9660 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
199 resubcl 9958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( X ^ K )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  RR )
200198, 28, 199sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  RR )
201200recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( X ^ K ) )  e.  CC )
20223, 201absmuld 13593 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( F `  0
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( abs `  (
1  -  ( X ^ K ) ) ) ) )
20313rpge0d 11368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
20411simp2d 1043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
205204rpred 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
206 min1 11506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  1
)
207198, 205, 206sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  1
)
2089, 207syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  <_  1 )
209 exple1 12370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 )  /\  K  e.  NN0 )  -> 
( X ^ K
)  <_  1 )
21014, 203, 208, 27, 209syl31anc 1295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  <_  1 )
211 subge0 10148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( X ^ K )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  (
1  -  ( X ^ K ) )  <-> 
( X ^ K
)  <_  1 ) )
212198, 28, 211sylancr 676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
1  -  ( X ^ K ) )  <-> 
( X ^ K
)  <_  1 ) )
213210, 212mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )
214200, 213absidd 13561 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )
215214oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( abs `  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )
21624recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  CC )
217216, 192, 156subdid 10095 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( 1  -  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  1 )  -  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) ) )
218216mulid1d 9678 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  1 )  =  ( abs `  ( F `  0 )
) )
219218oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  1 )  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) ) )
220215, 217, 2193eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( abs `  ( 1  -  ( X ^ K ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) ) )
221197, 202, 2203eqtrrd 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) )
222221oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... K ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
22355, 97, 2223brtr4d 4426 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  <_  ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
22444abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  e.  RR )
22531, 224fsumrecl 13877 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  e.  RR )
22631, 44fsumabs 13938 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) )
227 expcl 12328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( T ^ k
)  e.  CC )
22812, 227sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
22936, 228syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
23041, 229mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) )  e.  CC )
231230abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  RR )
23231, 231fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  RR )
23314, 33reexpcld 12471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  e.  RR )
234232, 233remulcld 9689 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  e.  RR )
235233adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ ( K  + 
1 ) )  e.  RR )
236231, 235remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  e.  RR )
23712adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  T  e.  CC )
23815adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  e.  CC )
239237, 238, 36mulexpd 12469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( T  x.  X
) ^ k )  =  ( ( T ^ k )  x.  ( X ^ k
) ) )
240239oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T ^
k )  x.  ( X ^ k ) ) ) )
24114adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  e.  RR )
242241, 36reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  RR )
243242recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  CC )
24441, 229, 243mulassd 9684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) )  x.  ( X ^
k ) )  =  ( ( A `  k )  x.  (
( T ^ k
)  x.  ( X ^ k ) ) ) )
245240, 244eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) )  =  ( ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) )  x.  ( X ^ k
) ) )
246245fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  =  ( abs `  (
( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) )  x.  ( X ^
k ) ) ) )
247230, 243absmuld 13593 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) )  x.  ( X ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ k
) ) ) )
248 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ZZ )
249 rpexpcl 12329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR+  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( X ^ k )  e.  RR+ )
25013, 248, 249syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  e.  RR+ )
251250rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( X ^ k
) )
252242, 251absidd 13561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( X ^
k ) )  =  ( X ^ k
) )
253252oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
254246, 247, 2533eqtrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) ) )
255230absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
25633adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
25734adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
258203adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  X )
259208adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  X  <_  1 )
260241, 256, 257, 258, 259leexp2rd 12487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( X ^ k )  <_ 
( X ^ ( K  +  1 ) ) )
261242, 235, 231, 255, 260lemul2ad 10569 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ k ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
262254, 261eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k
) ) )  <_ 
( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
26331, 224, 236, 262fsumle 13936 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
264233recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  e.  CC )
265231recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  CC )
26631, 264, 265fsummulc1 13923 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) ) )
267263, 266breqtrrd 4422 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  x.  ( X ^
( K  +  1 ) ) ) )
26815, 27expp1d 12455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  =  ( ( X ^ K )  x.  X ) )
269156, 15mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X ^ K )  x.  X
)  =  ( X  x.  ( X ^ K ) ) )
270268, 269eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ ( K  +  1 ) )  =  ( X  x.  ( X ^ K ) ) )
271270oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ K ) ) ) )
272232recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  CC )
273272, 15, 156mulassd 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K ) )  =  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X  x.  ( X ^ K ) ) ) )
274271, 273eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  =  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K
) ) )
275232, 14remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  e.  RR )
276 nnssz 10981 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ZZ
27762, 276sstri 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ZZ
278 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
27978, 278syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
280 infmssuzclOLD 11270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
28164, 279, 280sylancr 676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
2826, 281syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
283277, 282sseldi 3416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  ZZ )
28413, 283rpexpcld 12477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X ^ K
)  e.  RR+ )
285 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  e.  RR  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  e.  RR )
286232, 285syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR )
287286, 14remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  e.  RR )
288232ltp1d 10559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
289232, 286, 13, 288ltmul1dd 11416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  <  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  x.  X ) )
290 min2 11507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  U
)
291198, 205, 290sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  <_  U
)
2929, 291syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  <_  U )
293292, 8syl6breq 4435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  <_  ( ( abs `  ( F ` 
0 ) )  / 
( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) )
294 0red 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
29531, 231, 255fsumge0 13932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
296294, 232, 286, 295, 288lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
297 lemuldiv2 10509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 0 ) )  e.  RR  /\  (
( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) )  ->  (
( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_ 
( abs `  ( F `  0 )
)  <->  X  <_  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 ) ) ) )
29814, 24, 286, 296, 297syl112anc 1296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <->  X  <_  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) ) ) )
299293, 298mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  x.  X )  <_ 
( abs `  ( F `  0 )
) )
300275, 287, 24, 289, 299ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
301275, 24, 284, 300ltmul1dd 11416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  X )  x.  ( X ^ K ) )  < 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )
302274, 301eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  x.  ( X ^ ( K  + 
1 ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )
303225, 234, 29, 267, 302lelttrd 9810 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
30446, 225, 29, 226, 303lelttrd 9810 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )
30546, 29, 24, 304ltsub2dd 10247 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  -  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  x.  ( X ^ K ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) ) )
30630, 46, 24ltaddsubd 10234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( ( abs `  ( F `  0
) )  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  < 
( abs `  ( F `  0 )
)  <->  ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  <  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  -  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( ( T  x.  X ) ^ k ) ) ) ) ) )
307305, 306mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( F `  0
) )  -  (
( abs `  ( F `  0 )
)  x.  ( X ^ K ) ) )  +  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
( T  x.  X
) ^ k ) ) ) )  < 
( abs `  ( F `  0 )
) )
30820, 47, 24, 223, 307lelttrd 9810 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
309 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( T  x.  X
) ) )
310309fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X ) ) ) )
311310breq1d 4405 . . 3  |-  ( x  =  ( T  x.  X )  ->  (
( abs `  ( F `  x )
)  <  ( abs `  ( F `  0
) )  <->  ( abs `  ( F `  ( T  x.  X )
) )  <  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
312311rspcev 3136 . 2  |-  ( ( ( T  x.  X
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( F `
 ( T  x.  X ) ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  x )
)  <  ( abs `  ( F `  0
) ) )
31316, 308, 312syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 x ) )  <  ( abs `  ( F `  0 )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   ^cexp 12310   abscabs 13374   sum_csu 13829   0pc0p 22706  Polycply 23217  coeffccoe 23219  degcdgr 23220    ^c ccxp 23584
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-0p 22707  df-limc 22900  df-dv 22901  df-ply 23221  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-log 23585  df-cxp 23586
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