Theorem ftalem5OLD 24003

Description: Lemma for fta 24006: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 23999 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let K be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let T be a K-th root of -u F ( 0 ) / A ( K ). Then an evaluation of F ( T X ) where X is a sufficiently small positive number yields F ( 0 ) for the first term and -u F ( 0 ) x. X ^ K for the K-th term, and all higher terms are bounded because X is small. Thus, abs ( F ( T X ) ) <_ abs ( F ( 0 ) ) ( 1 - X ^ K ) < abs ( F ( 0 ) ), in contradiction to our choice of F ( 0 ) as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.) Obsolete version of ftalem5 24001 as of 1-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	|- A = (coeff ` F )
ftalem.2	|- N = (deg ` F )
ftalem.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
ftalem.4	|- ( ph -> N e. NN )
ftalem4OLD.5	|- ( ph -> ( F ` 0 ) =/= 0 )
ftalem4OLD.6	|- K = sup ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , `' < )
ftalem4OLD.7	|- T = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) )
ftalem4OLD.8	|- U = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
ftalem4OLD.9	|- X = if ( 1 <_ U , 1 , U )

Assertion

Ref	Expression
ftalem5OLD	|- ( ph -> E. x e. CC ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, x, A   k, K, n   k, N, n, x   k, F, n, x   ph, k, x   S, k   T, k, x   x, U   k, X, n, x

Allowed substitution hints:   ph( n)   S( x, n)   T( n)   U( k, n)   K( x)

Proof of Theorem ftalem5OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem.1	. . . . . 6 |- A = (coeff ` F )
2		ftalem.2	. . . . . 6 |- N = (deg ` F )
3		ftalem.3	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
4		ftalem.4	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
5		ftalem4OLD.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) =/= 0 )
6		ftalem4OLD.6	. . . . . 6 |- K = sup ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , `' < )
7		ftalem4OLD.7	. . . . . 6 |- T = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) )
8		ftalem4OLD.8	. . . . . 6 |- U = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
9		ftalem4OLD.9	. . . . . 6 |- X = if ( 1 <_ U , 1 , U )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ftalem4OLD 24002	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) /\ ( T e. CC /\ U e. RR+ /\ X e. RR+ ) ) )
11	10	simprd 465	. . . 4 |- ( ph -> ( T e. CC /\ U e. RR+ /\ X e. RR+ ) )
12	11	simp1d 1020	. . 3 |- ( ph -> T e. CC )
13	11	simp3d 1022	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR+ )
14	13	rpred 11341	. . . 4 |- ( ph -> X e. RR )
15	14	recnd 9669	. . 3 |- ( ph -> X e. CC )
16	12, 15	mulcld 9663	. 2 |- ( ph -> ( T x. X ) e. CC )
17		plyf 23152	. . . . . 6 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
18	3, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> F : CC --> CC )
19	18, 16	ffvelrnd 6023	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` ( T x. X ) ) e. CC )
20	19	abscld 13498	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) e. RR )
21		0cn 9635	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
22		ffvelrn 6020	. . . . . . 7 |- ( ( F : CC --> CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) e. CC )
23	18, 21, 22	sylancl 668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. CC )
24	23	abscld 13498	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. RR )
25	10	simpld 461	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) )
26	25	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. NN )
27	26	nnnn0d 10925	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN0 )
28	14, 27	reexpcld 12433	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X ^ K ) e. RR )
29	24, 28	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) e. RR )
30	24, 29	resubcld 10047	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) e. RR )
31		fzfid 12186	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) ... N ) e. Fin )
32		peano2nn0 10910	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
33	27, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
34		elfzuz 11796	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
35		eluznn0 11228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
36	33, 34, 35	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN0 )
37	1	coef3 23186	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC )
38	3, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
39		ffvelrn 6020	. . . . . . . . 9 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
40	38, 39	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
41	36, 40	syldan 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
42	16	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( T x. X ) e. CC )
43	42, 36	expcld 12416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
44	41, 43	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
45	31, 44	fsumcl 13799	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
46	45	abscld 13498	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) e. RR )
47	30, 46	readdcld 9670	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) e. RR )
48		fzfid 12186	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 ... K ) e. Fin )
49		elfznn0 11887	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... K ) -> k e. NN0 )
50	38, 49, 39	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
51		expcl 12290	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T x. X ) e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
52	16, 49, 51	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
53	50, 52	mulcld 9663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
54	48, 53	fsumcl 13799	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
55	54, 45	abstrid 13518	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
56	1, 2	coeid2 23193	. . . . . . 7 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ ( T x. X ) e. CC ) -> ( F ` ( T x. X ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) )
57	3, 16, 56	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( T x. X ) ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) )
58	26	nnred 10624	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. RR )
59	58	ltp1d 10537	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K < ( K + 1 ) )
60		fzdisj 11826	. . . . . . . 8 |- ( K < ( K + 1 ) -> ( ( 0 ... K ) i^i ( ( K + 1 ) ... N ) ) = (/) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 0 ... K ) i^i ( ( K + 1 ) ... N ) ) = (/) )
62		ssrab2 3514	. . . . . . . . . . . 12 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ NN
63		nnuz 11194	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
64	62, 63	sseqtri 3464	. . . . . . . . . . 11 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 )
65	4	nnne0d 10654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N =/= 0 )
66	2, 1	dgreq0 23219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( F = 0p <-> ( A ` N ) = 0 ) )
67	3, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F = 0p <-> ( A ` N ) = 0 ) )
68		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
69		dgr0 23216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (deg ` 0p ) = 0
70	68, 69	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = 0 )
71	2, 70	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F = 0p -> N = 0 )
72	67, 71	syl6bir 233	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A ` N ) = 0 -> N = 0 ) )
73	72	necon3d 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N =/= 0 -> ( A ` N ) =/= 0 ) )
74	65, 73	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A ` N ) =/= 0 )
75		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
76	75	neeq1d 2683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = N -> ( ( A ` n ) =/= 0 <-> ( A ` N ) =/= 0 ) )
77	76	elrab 3196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( N e. NN /\ ( A ` N ) =/= 0 ) )
78	4, 74, 77	sylanbrc 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
79		infmssuzleOLD 11246	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) -> sup ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , `' < ) <_ N )
80	64, 78, 79	sylancr 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sup ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , `' < ) <_ N )
81	6, 80	syl5eqbr 4436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K <_ N )
82		nn0uz 11193	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
83	27, 82	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
84	4	nnzd 11039	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
85		elfz5 11792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
86	83, 84, 85	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
87	81, 86	mpbird 236	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ( 0 ... N ) )
88		fzsplit 11825	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) = ( ( 0 ... K ) u. ( ( K + 1 ) ... N ) ) )
90		fzfid 12186	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 ... N ) e. Fin )
91		elfznn0 11887	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 0 ... N ) -> k e. NN0 )
92	38, 91, 39	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
93	16, 91, 51	syl2an 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
94	92, 93	mulcld 9663	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
95	61, 89, 90, 94	fsumsplit 13806	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
96	57, 95	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( T x. X ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
97	96	fveq2d 5869	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) = ( abs ` ( sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
98	1	coefv0 23202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( F ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
99	3, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F ` 0 ) = ( A ` 0 ) )
100	99	eqcomd 2457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A ` 0 ) = ( F ` 0 ) )
101	16	exp0d 12410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( T x. X ) ^ 0 ) = 1 )
102	100, 101	oveq12d 6308	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) = ( ( F ` 0 ) x. 1 ) )
103	23	mulid1d 9660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. 1 ) = ( F ` 0 ) )
104	102, 103	eqtrd 2485	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) = ( F ` 0 ) )
105		1e0p1 11079	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
106	105	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... K ) = ( ( 0 + 1 ) ... K )
107	106	sumeq1i 13764	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ k e. ( 1 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) )
108	26, 63	syl6eleq 2539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 1 ) )
109		elfznn 11828	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( 1 ... K ) -> k e. NN )
110	109	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( 1 ... K ) -> k e. NN0 )
111	38, 110, 39	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... K ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
112	16, 110, 51	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... K ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
113	111, 112	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... K ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) e. CC )
114		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( A ` k ) = ( A ` K ) )
115		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( ( T x. X ) ^ k ) = ( ( T x. X ) ^ K ) )
116	114, 115	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = K -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) )
117	108, 113, 116	fsumm1 13812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) ) )
118	107, 117	syl5eqr 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) ) )
119		elfznn 11828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN )
120	119	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. NN )
121	120	nnred 10624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. RR )
122	58	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> K e. RR )
123		peano2rem 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( K e. RR -> ( K - 1 ) e. RR )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) e. RR )
125		elfzle2 11803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
126	125	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k <_ ( K - 1 ) )
127	122	ltm1d 10539	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( K - 1 ) < K )
128	121, 124, 122, 126, 127	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> k < K )
129	121, 122	ltnled 9782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k < K <-> -. K <_ k ) )
130	128, 129	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> -. K <_ k )
131		infmssuzleOLD 11246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) -> sup ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , `' < ) <_ k )
132	6, 131	syl5eqbr 4436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) -> K <_ k )
133	64, 132	mpan 676	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } -> K <_ k )
134	130, 133	nsyl 125	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> -. k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
135		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
136	135	neeq1d 2683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( ( A ` n ) =/= 0 <-> ( A ` k ) =/= 0 ) )
137	136	elrab3 3197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN -> ( k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( A ` k ) =/= 0 ) )
138	120, 137	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( A ` k ) =/= 0 ) )
139	138	necon2bbid 2667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) = 0 <-> -. k e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } ) )
140	134, 139	mpbird 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
141	140	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( 0 x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) )
142	119	nnnn0d 10925	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN0 )
143	16, 142, 51	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) e. CC )
144	143	mul02d 9831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = 0 )
145	141, 144	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = 0 )
146	145	sumeq2dv 13769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) 0 )
147		fzfi 12185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... ( K - 1 ) ) e. Fin
148	147	olci 393	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... ( K - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( K - 1 ) ) e. Fin )
149		sumz 13788	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... ( K - 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) \/ ( 1 ... ( K - 1 ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) 0 = 0 )
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) 0 = 0
151	146, 150	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = 0 )
152	12, 15, 27	mulexpd 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( T x. X ) ^ K ) = ( ( T ^ K ) x. ( X ^ K ) ) )
153	152	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) = ( ( A ` K ) x. ( ( T ^ K ) x. ( X ^ K ) ) ) )
154	38, 27	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ` K ) e. CC )
155	12, 27	expcld 12416	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( T ^ K ) e. CC )
156	28	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( X ^ K ) e. CC )
157	154, 155, 156	mulassd 9666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) x. ( X ^ K ) ) = ( ( A ` K ) x. ( ( T ^ K ) x. ( X ^ K ) ) ) )
158	153, 157	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) = ( ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) x. ( X ^ K ) ) )
159	7	oveq1i 6300	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( T ^ K ) = ( ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) ) ^ K )
160	58	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K e. CC )
161	26	nnne0d 10654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> K =/= 0 )
162	160, 161	recid2d 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 / K ) x. K ) = 1 )
163	162	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( ( 1 / K ) x. K ) ) = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c 1 ) )
164	25	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( A ` K ) =/= 0 )
165	23, 154, 164	divcld 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) e. CC )
166	165	negcld 9973	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) e. CC )
167	26	nnrecred 10655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 / K ) e. RR )
168	167	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 / K ) e. CC )
169	166, 168, 27	cxpmul2d 23654	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( ( 1 / K ) x. K ) ) = ( ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) ) ^ K ) )
170	166	cxp1d 23651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c 1 ) = -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) )
171	163, 169, 170	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) ) ^ K ) = -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) )
172	159, 171	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( T ^ K ) = -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) )
173	172	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) = ( ( A ` K ) x. -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) )
174	154, 165	mulneg2d 10072	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) = -u ( ( A ` K ) x. ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) )
175	23, 154, 164	divcan2d 10385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) = ( F ` 0 ) )
176	175	negeqd 9869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> -u ( ( A ` K ) x. ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ) = -u ( F ` 0 ) )
177	173, 174, 176	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) = -u ( F ` 0 ) )
178	177	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A ` K ) x. ( T ^ K ) ) x. ( X ^ K ) ) = ( -u ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
179	23, 156	mulneg1d 10071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -u ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
180	158, 178, 179	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
181	151, 180	oveq12d 6308	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( K - 1 ) ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) + ( ( A ` K ) x. ( ( T x. X ) ^ K ) ) ) = ( 0 + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
182	23, 156	mulcld 9663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) e. CC )
183	182	negcld 9973	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) e. CC )
184	183	addid2d 9834	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
185	118, 181, 184	3eqtrd 2489	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) )
186	104, 185	oveq12d 6308	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( ( F ` 0 ) + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
187		fveq2 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( A ` k ) = ( A ` 0 ) )
188		oveq2 6298	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 0 -> ( ( T x. X ) ^ k ) = ( ( T x. X ) ^ 0 ) )
189	187, 188	oveq12d 6308	. . . . . . . . 9 |- ( k = 0 -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) )
190	83, 53, 189	fsum1p 13814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( ( A ` 0 ) x. ( ( T x. X ) ^ 0 ) ) + sum_ k e. ( ( 0 + 1 ) ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
191	103	oveq1d 6305	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( F ` 0 ) x. 1 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( ( F ` 0 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
192		1cnd 9659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
193	23, 192, 156	subdid 10074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( ( ( F ` 0 ) x. 1 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
194	23, 182	negsubd 9992	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( ( F ` 0 ) - ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
195	191, 193, 194	3eqtr4d 2495	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( ( F ` 0 ) + -u ( ( F ` 0 ) x. ( X ^ K ) ) ) )
196	186, 190, 195	3eqtr4d 2495	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) )
197	196	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) )
198		1re 9642	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
199		resubcl 9938	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. RR /\ ( X ^ K ) e. RR ) -> ( 1 - ( X ^ K ) ) e. RR )
200	198, 28, 199	sylancr 669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 - ( X ^ K ) ) e. RR )
201	200	recnd 9669	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 - ( X ^ K ) ) e. CC )
202	23, 201	absmuld 13516	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( F ` 0 ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) )
203	13	rpge0d 11345	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ X )
204	11	simp2d 1021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. RR+ )
205	204	rpred 11341	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. RR )
206		min1 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. RR /\ U e. RR ) -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ 1 )
207	198, 205, 206	sylancr 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ 1 )
208	9, 207	syl5eqbr 4436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X <_ 1 )
209		exple1 12332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. RR /\ 0 <_ X /\ X <_ 1 ) /\ K e. NN0 ) -> ( X ^ K ) <_ 1 )
210	14, 203, 208, 27, 209	syl31anc 1271	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ K ) <_ 1 )
211		subge0 10127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ ( X ^ K ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - ( X ^ K ) ) <-> ( X ^ K ) <_ 1 ) )
212	198, 28, 211	sylancr 669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 <_ ( 1 - ( X ^ K ) ) <-> ( X ^ K ) <_ 1 ) )
213	210, 212	mpbird 236	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 1 - ( X ^ K ) ) )
214	200, 213	absidd 13484	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( 1 - ( X ^ K ) ) )
215	214	oveq2d 6306	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) )
216	24	recnd 9669	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. CC )
217	216, 192, 156	subdid 10074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( 1 - ( X ^ K ) ) ) = ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. 1 ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) )
218	216	mulid1d 9660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. 1 ) = ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
219	218	oveq1d 6305	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. 1 ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) )
220	215, 217, 219	3eqtrd 2489	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( abs ` ( 1 - ( X ^ K ) ) ) ) = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) )
221	197, 202, 220	3eqtrrd 2490	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
222	221	oveq1d 6305	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ k e. ( 0 ... K ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
223	55, 97, 222	3brtr4d 4433	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) <_ ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
224	44	abscld 13498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) e. RR )
225	31, 224	fsumrecl 13800	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) e. RR )
226	31, 44	fsumabs 13861	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) )
227		expcl 12290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ k ) e. CC )
228	12, 227	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ k ) e. CC )
229	36, 228	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( T ^ k ) e. CC )
230	41, 229	mulcld 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) e. CC )
231	230	abscld 13498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR )
232	31, 231	fsumrecl 13800	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR )
233	14, 33	reexpcld 12433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) e. RR )
234	232, 233	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) e. RR )
235	233	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ ( K + 1 ) ) e. RR )
236	231, 235	remulcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) e. RR )
237	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> T e. CC )
238	15	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> X e. CC )
239	237, 238, 36	mulexpd 12431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( T x. X ) ^ k ) = ( ( T ^ k ) x. ( X ^ k ) ) )
240	239	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( A ` k ) x. ( ( T ^ k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
241	14	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> X e. RR )
242	241, 36	reexpcld 12433	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) e. RR )
243	242	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) e. CC )
244	41, 229, 243	mulassd 9666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) = ( ( A ` k ) x. ( ( T ^ k ) x. ( X ^ k ) ) ) )
245	240, 244	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) )
246	245	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) ) )
247	230, 243	absmuld 13516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) x. ( X ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ k ) ) ) )
248		elfzelz 11800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> k e. ZZ )
249		rpexpcl 12291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( X ^ k ) e. RR+ )
250	13, 248, 249	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) e. RR+ )
251	250	rpge0d 11345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( X ^ k ) )
252	242, 251	absidd 13484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( X ^ k ) ) = ( X ^ k ) )
253	252	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ k ) ) )
254	246, 247, 253	3eqtrd 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ k ) ) )
255	230	absge0d 13506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) )
256	33	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( K + 1 ) e. NN0 )
257	34	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
258	203	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ X )
259	208	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> X <_ 1 )
260	241, 256, 257, 258, 259	leexp2rd 12449	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( X ^ k ) <_ ( X ^ ( K + 1 ) ) )
261	242, 235, 231, 255, 260	lemul2ad 10547	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ k ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
262	254, 261	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
263	31, 224, 236, 262	fsumle 13859	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
264	233	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) e. CC )
265	231	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. CC )
266	31, 264, 265	fsummulc1 13846	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) = sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
267	263, 266	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) )
268	15, 27	expp1d 12417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) = ( ( X ^ K ) x. X ) )
269	156, 15	mulcomd 9664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X ^ K ) x. X ) = ( X x. ( X ^ K ) ) )
270	268, 269	eqtrd 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ ( K + 1 ) ) = ( X x. ( X ^ K ) ) )
271	270	oveq2d 6306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) = ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X x. ( X ^ K ) ) ) )
272	232	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. CC )
273	272, 15, 156	mulassd 9666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) x. ( X ^ K ) ) = ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X x. ( X ^ K ) ) ) )
274	271, 273	eqtr4d 2488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) = ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) x. ( X ^ K ) ) )
275	232, 14	remulcld 9671	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) e. RR )
276		nnssz 10957	. . . . . . . . . . . 12 |- NN C_ ZZ
277	62, 276	sstri 3441	. . . . . . . . . . 11 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ZZ
278		ne0i 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } -> { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) )
279	78, 278	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) )
280		infmssuzclOLD 11247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
281	64, 279, 280	sylancr 669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sup ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , `' < ) e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
282	6, 281	syl5eqel 2533	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
283	277, 282	sseldi 3430	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. ZZ )
284	13, 283	rpexpcld 12439	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( X ^ K ) e. RR+ )
285		peano2re 9806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) e. RR )
286	232, 285	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) e. RR )
287	286, 14	remulcld 9671	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) e. RR )
288	232	ltp1d 10537	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) < ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
289	232, 286, 13, 288	ltmul1dd 11393	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) < ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) )
290		min2 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ U e. RR ) -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ U )
291	198, 205, 290	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) <_ U )
292	9, 291	syl5eqbr 4436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X <_ U )
293	292, 8	syl6breq 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X <_ ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) )
294		0red 9644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
295	31, 231, 255	fsumge0 13855	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) )
296	294, 232, 286, 295, 288	lelttrd 9793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
297		lemuldiv2 10487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. RR /\ ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. RR /\ ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) e. RR /\ 0 < ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> X <_ ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) ) )
298	14, 24, 286, 296, 297	syl112anc 1272	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> X <_ ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) ) )
299	293, 298	mpbird 236	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) x. X ) <_ ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
300	275, 287, 24, 289, 299	ltletrd 9795	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
301	275, 24, 284, 300	ltmul1dd 11393	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. X ) x. ( X ^ K ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
302	274, 301	eqbrtrd 4423	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) x. ( X ^ ( K + 1 ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
303	225, 234, 29, 267, 302	lelttrd 9793	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
304	46, 225, 29, 226, 303	lelttrd 9793	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) )
305	46, 29, 24, 304	ltsub2dd 10226	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) )
306	30, 46, 24	ltaddsubd 10213	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) < ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) ) )
307	305, 306	mpbird 236	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) - ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) x. ( X ^ K ) ) ) + ( abs ` sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( ( A ` k ) x. ( ( T x. X ) ^ k ) ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
308	20, 47, 24, 223, 307	lelttrd 9793	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
309		fveq2 5865	. . . . 5 |- ( x = ( T x. X ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( T x. X ) ) )
310	309	fveq2d 5869	. . . 4 |- ( x = ( T x. X ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) )
311	310	breq1d 4412	. . 3 |- ( x = ( T x. X ) -> ( ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) <-> ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) ) )
312	311	rspcev 3150	. 2 |- ( ( ( T x. X ) e. CC /\ ( abs ` ( F ` ( T x. X ) ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) ) -> E. x e. CC ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )
313	16, 308, 312	syl2anc 667	1 |- ( ph -> E. x e. CC ( abs ` ( F ` x ) ) < ( abs ` ( F ` 0 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   E.wrex 2738   {crab 2741   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   class class class wbr 4402   `'ccnv 4833   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11784   ^cexp 12272   abscabs 13297   sum_csu 13752   0pc0p 22627  Polycply 23138  coeffccoe 23140  degcdgr 23141   ^c ccxp 23505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-0p 22628  df-limc 22821  df-dv 22822  df-ply 23142  df-coe 23144  df-dgr 23145  df-log 23506  df-cxp 23507

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