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Theorem ftalem5 20812
 Description: Lemma for fta 20815: Main proof. We have already shifted the minimum found in ftalem3 20810 to zero by a change of variables, and now we show that the minimum value is zero. Expanding in a series about the minimum value, let be the lowest term in the polynomial that is nonzero, and let be a -th root of . Then an evaluation of where is a sufficiently small positive number yields for the first term and for the -th term, and all higher terms are bounded because is small. Thus, , in contradiction to our choice of as the minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 coeff
ftalem.2 deg
ftalem.3 Poly
ftalem.4
ftalem4.5
ftalem4.6
ftalem4.7
ftalem4.8
ftalem4.9
Assertion
Ref Expression
ftalem5
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   (,)   ()

Proof of Theorem ftalem5
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . . . . 6 coeff
2 ftalem.2 . . . . . 6 deg
3 ftalem.3 . . . . . 6 Poly
4 ftalem.4 . . . . . 6
5 ftalem4.5 . . . . . 6
6 ftalem4.6 . . . . . 6
7 ftalem4.7 . . . . . 6
8 ftalem4.8 . . . . . 6
9 ftalem4.9 . . . . . 6
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ftalem4 20811 . . . . 5
1110simprd 450 . . . 4
1211simp1d 969 . . 3
1311simp3d 971 . . . . 5
1413rpred 10604 . . . 4
1514recnd 9070 . . 3
1612, 15mulcld 9064 . 2
17 plyf 20070 . . . . . 6 Poly
183, 17syl 16 . . . . 5
1918, 16ffvelrnd 5830 . . . 4
2019abscld 12193 . . 3
21 0cn 9040 . . . . . . 7
22 ffvelrn 5827 . . . . . . 7
2318, 21, 22sylancl 644 . . . . . 6
2423abscld 12193 . . . . 5
2510simpld 446 . . . . . . . . 9
2625simpld 446 . . . . . . . 8
2726nnnn0d 10230 . . . . . . 7
2814, 27reexpcld 11495 . . . . . 6
2924, 28remulcld 9072 . . . . 5
3024, 29resubcld 9421 . . . 4
31 fzfid 11267 . . . . . 6
32 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . 10
3327, 32syl 16 . . . . . . . . 9
34 elfzuz 11011 . . . . . . . . 9
35 eluznn0 10502 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35syl2an 464 . . . . . . . 8
371coef3 20104 . . . . . . . . . 10 Poly
383, 37syl 16 . . . . . . . . 9
39 ffvelrn 5827 . . . . . . . . 9
4038, 39sylan 458 . . . . . . . 8
4136, 40syldan 457 . . . . . . 7
4216adantr 452 . . . . . . . 8
4342, 36expcld 11478 . . . . . . 7
4441, 43mulcld 9064 . . . . . 6
4531, 44fsumcl 12482 . . . . 5
4645abscld 12193 . . . 4
4730, 46readdcld 9071 . . 3
48 fzfid 11267 . . . . . 6
49 elfznn0 11039 . . . . . . . 8
5038, 49, 39syl2an 464 . . . . . . 7
51 expcl 11354 . . . . . . . 8
5216, 49, 51syl2an 464 . . . . . . 7
5350, 52mulcld 9064 . . . . . 6
5448, 53fsumcl 12482 . . . . 5
5554, 45abstrid 12213 . . . 4
561, 2coeid2 20111 . . . . . . 7 Poly
573, 16, 56syl2anc 643 . . . . . 6
5826nnred 9971 . . . . . . . . 9
5958ltp1d 9897 . . . . . . . 8
60 fzdisj 11034 . . . . . . . 8
6159, 60syl 16 . . . . . . 7
62 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . 12
63 nnuz 10477 . . . . . . . . . . . 12
6462, 63sseqtri 3340 . . . . . . . . . . 11
654nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . 13
662, 1dgreq0 20136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly
673, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg deg
69 dgr0 20133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 deg
7068, 69syl6eq 2452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 deg
712, 70syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15
7267, 71syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . . 14
7372necon3d 2605 . . . . . . . . . . . . 13
7465, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
75 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14
7675neeq1d 2580 . . . . . . . . . . . . 13
7776elrab 3052 . . . . . . . . . . . 12
784, 74, 77sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
79 infmssuzle 10514 . . . . . . . . . . 11
8064, 78, 79sylancr 645 . . . . . . . . . 10
816, 80syl5eqbr 4205 . . . . . . . . 9
82 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . 11
8327, 82syl6eleq 2494 . . . . . . . . . 10
844nnzd 10330 . . . . . . . . . 10
85 elfz5 11007 . . . . . . . . . 10
8683, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . 9
8781, 86mpbird 224 . . . . . . . 8
88 fzsplit 11033 . . . . . . . 8
8987, 88syl 16 . . . . . . 7
90 fzfid 11267 . . . . . . 7
91 elfznn0 11039 . . . . . . . . 9
9238, 91, 39syl2an 464 . . . . . . . 8
9316, 91, 51syl2an 464 . . . . . . . 8
9492, 93mulcld 9064 . . . . . . 7
9561, 89, 90, 94fsumsplit 12488 . . . . . 6
9657, 95eqtrd 2436 . . . . 5
9796fveq2d 5691 . . . 4
981coefv0 20119 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
993, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12
10099eqcomd 2409 . . . . . . . . . . 11
10116exp0d 11472 . . . . . . . . . . 11
102100, 101oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
10323mulid1d 9061 . . . . . . . . . 10
104102, 103eqtrd 2436 . . . . . . . . 9
105 1e0p1 10366 . . . . . . . . . . . . 13
106105oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . 12
107106sumeq1i 12447 . . . . . . . . . . 11
10826, 63syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . 12
109 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . 15
110109nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . 14
11138, 110, 39syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
11216, 110, 51syl2an 464 . . . . . . . . . . . . 13
113111, 112mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12
114 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13
115 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13
116114, 115oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12
117108, 113, 116fsumm1 12492 . . . . . . . . . . 11
118107, 117syl5eqr 2450 . . . . . . . . . 10
119 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
120119adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
121120nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
12258adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
123 peano2rem 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125 elfzle2 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126125adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127122ltm1d 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
128121, 124, 122, 126, 127lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129121, 122ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
130128, 129mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
131 infmssuzle 10514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1326, 131syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13364, 132mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134130, 133nsyl 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136135neeq1d 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
137136elrab3 3053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
138120, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
139138necon2bbid 2625 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140134, 139mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15
141140oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14
142119nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14316, 142, 51syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . 15
144143mul02d 9220 . . . . . . . . . . . . . 14
145141, 144eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13
146145sumeq2dv 12452 . . . . . . . . . . . 12
147 fzfi 11266 . . . . . . . . . . . . . 14
148147olci 381 . . . . . . . . . . . . 13
149 sumz 12471 . . . . . . . . . . . . 13
150148, 149ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
151146, 150syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11
15212, 15, 27mulexpd 11493 . . . . . . . . . . . . . 14
153152oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13
15438, 27ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14
15512, 27expcld 11478 . . . . . . . . . . . . . 14
15628recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14
157154, 155, 156mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . 13
158153, 157eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12
1597oveq1i 6050 . . . . . . . . . . . . . . . 16
16058recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16126nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
162160, 161recid2d 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163162oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
16425simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
16523, 154, 164divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
166165negcld 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
16726nnrecred 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
168167recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
169166, 168, 27cxpmul2d 20553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170166cxp1d 20550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
171163, 169, 1703eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
172159, 171syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . . 15
173172oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14
174154, 165mulneg2d 9443 . . . . . . . . . . . . . 14
17523, 154, 164divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . 15
176175negeqd 9256 . . . . . . . . . . . . . 14
177173, 174, 1763eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13
178177oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . 12
17923, 156mulneg1d 9442 . . . . . . . . . . . 12
180158, 178, 1793eqtrd 2440 . . . . . . . . . . 11
181151, 180oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10
18223, 156mulcld 9064 . . . . . . . . . . . 12
183182negcld 9354 . . . . . . . . . . 11
184183addid2d 9223 . . . . . . . . . 10
185118, 181, 1843eqtrd 2440 . . . . . . . . 9
186104, 185oveq12d 6058 . . . . . . . 8
187 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
188 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10
189187, 188oveq12d 6058 . . . . . . . . 9
19083, 53, 189fsum1p 12494 . . . . . . . 8
191103oveq1d 6055 . . . . . . . . 9
192 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . 11
193192a1i 11 . . . . . . . . . 10
19423, 193, 156subdid 9445 . . . . . . . . 9
19523, 182negsubd 9373 . . . . . . . . 9
196191, 194, 1953eqtr4d 2446 . . . . . . . 8
197186, 190, 1963eqtr4d 2446 . . . . . . 7
198197fveq2d 5691 . . . . . 6
199 1re 9046 . . . . . . . . 9
200 resubcl 9321 . . . . . . . . 9
201199, 28, 200sylancr 645 . . . . . . . 8
202201recnd 9070 . . . . . . 7
20323, 202absmuld 12211 . . . . . 6
20413rpge0d 10608 . . . . . . . . . . 11
20511simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . 14
206205rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13
207 min1 10732 . . . . . . . . . . . . 13
208199, 206, 207sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12
2099, 208syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . 11
210 exple1 11394 . . . . . . . . . . 11
21114, 204, 209, 27, 210syl31anc 1187 . . . . . . . . . 10
212 subge0 9497 . . . . . . . . . . 11
213199, 28, 212sylancr 645 . . . . . . . . . 10
214211, 213mpbird 224 . . . . . . . . 9
215201, 214absidd 12180 . . . . . . . 8
216215oveq2d 6056 . . . . . . 7
21724recnd 9070 . . . . . . . 8
218217, 193, 156subdid 9445 . . . . . . 7
219217mulid1d 9061 . . . . . . . 8
220219oveq1d 6055 . . . . . . 7
221216, 218, 2203eqtrd 2440 . . . . . 6
222198, 203, 2213eqtrrd 2441 . . . . 5
223222oveq1d 6055 . . . 4
22455, 97, 2233brtr4d 4202 . . 3
22544abscld 12193 . . . . . . 7
22631, 225fsumrecl 12483 . . . . . 6
22731, 44fsumabs 12535 . . . . . 6
228 expcl 11354 . . . . . . . . . . . . 13
22912, 228sylan 458 . . . . . . . . . . . 12
23036, 229syldan 457 . . . . . . . . . . 11
23141, 230mulcld 9064 . . . . . . . . . 10
232231abscld 12193 . . . . . . . . 9
23331, 232fsumrecl 12483 . . . . . . . 8
23414, 33reexpcld 11495 . . . . . . . 8
235233, 234remulcld 9072 . . . . . . 7
236234adantr 452 . . . . . . . . . 10
237232, 236remulcld 9072 . . . . . . . . 9
23812adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
23915adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
240238, 239, 36mulexpd 11493 . . . . . . . . . . . . . 14
241240oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . 13
24214adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
243242, 36reexpcld 11495 . . . . . . . . . . . . . . 15
244243recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . 14
24541, 230, 244mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . 13
246241, 245eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . 12
247246fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11
248231, 244absmuld 12211 . . . . . . . . . . 11
249 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . 15
250 rpexpcl 11355 . . . . . . . . . . . . . . 15
25113, 249, 250syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14
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