MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Structured version   Unicode version

Theorem ftalem4 23105
Description: Lemma for fta 23109: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 23106. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem4.5  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
ftalem4.6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
ftalem4.7  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )
ftalem4.8  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
ftalem4.9  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
Assertion
Ref Expression
ftalem4  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, K, n    k, N, n    k, F, n    ph, k    S, k    T, k    k, X, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    T( n)    U( k, n)

Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
2 ssrab2 3585 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  NN
3 nnuz 11117 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3sseqtri 3536 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
5 ftalem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnne0d 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
7 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
8 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  F )
9 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (coeff `  F )
108, 9dgreq0 22424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
12 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
13 dgr0 22421 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1412, 13syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
158, 14syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0p  ->  N  =  0 )
1611, 15syl6bir 229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
186, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
19 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2019neeq1d 2744 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  N )  =/=  0 ) )
2120elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( A `
 N )  =/=  0 ) )
225, 18, 21sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
23 ne0i 3791 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
25 infmssuzcl 11165 . . . . 5  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
264, 24, 25sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
271, 26syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
28 fveq2 5866 . . . . 5  |-  ( n  =  K  ->  ( A `  n )  =  ( A `  K ) )
2928neeq1d 2744 . . . 4  |-  ( n  =  K  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  K )  =/=  0 ) )
3029elrab 3261 . . 3  |-  ( K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 ) )
3127, 30sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  ( A `  K
)  =/=  0 ) )
32 ftalem4.7 . . . 4  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )
33 plyf 22358 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
347, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
35 0cn 9588 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
36 ffvelrn 6019 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3734, 35, 36sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
389coef3 22392 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
397, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4031simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
4140nnnn0d 10852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
4239, 41ffvelrnd 6022 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  CC )
4331simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =/=  0 )
4437, 42, 43divcld 10320 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
)  e.  CC )
4544negcld 9917 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) )  e.  CC )
4640nnrecred 10581 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  RR )
4746recnd 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  CC )
4845, 47cxpcld 22845 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )  e.  CC )
4932, 48syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
50 ftalem4.8 . . . 4  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
51 ftalem4.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
5237, 51absrpcld 13242 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR+ )
53 fzfid 12051 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
54 peano2nn0 10836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
56 elfzuz 11684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
57 eluznn0 11151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
5855, 56, 57syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
5939ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6058, 59syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
61 expcl 12152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( T ^ k
)  e.  CC )
6249, 61sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6358, 62syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6460, 63mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) )  e.  CC )
6564abscld 13230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  RR )
6653, 65fsumrecl 13519 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  RR )
6764absge0d 13238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6853, 65, 67fsumge0 13572 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6966, 68ge0p1rpd 11282 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
7052, 69rpdivcld 11273 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
7150, 70syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
72 ftalem4.9 . . . 4  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
73 1rp 11224 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
74 ifcl 3981 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U
)  e.  RR+ )
7573, 71, 74sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  e.  RR+ )
7672, 75syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
7749, 71, 763jca 1176 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) )
7831, 77jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   supcsup 7900   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220   ...cfz 11672   ^cexp 12134   abscabs 13030   sum_csu 13471   0pc0p 21839  Polycply 22344  coeffccoe 22346  degcdgr 22347    ^c ccxp 22699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-shft 12863  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-ef 13665  df-sin 13667  df-cos 13668  df-pi 13670  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-nei 19393  df-lp 19431  df-perf 19432  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-0p 21840  df-limc 22033  df-dv 22034  df-ply 22348  df-coe 22350  df-dgr 22351  df-log 22700  df-cxp 22701
This theorem is referenced by:  ftalem5  23106
  Copyright terms: Public domain W3C validator