MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Structured version   Unicode version

Theorem ftalem4 23466
Description: Lemma for fta 23470: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 23467. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem4.5  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
ftalem4.6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
ftalem4.7  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )
ftalem4.8  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
ftalem4.9  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
Assertion
Ref Expression
ftalem4  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, K, n    k, N, n    k, F, n    ph, k    S, k    T, k    k, X, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    T( n)    U( k, n)

Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
2 ssrab2 3499 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  NN
3 nnuz 11036 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3sseqtri 3449 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
5 ftalem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnne0d 10497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
7 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
8 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  F )
9 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (coeff `  F )
108, 9dgreq0 22747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
12 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
13 dgr0 22744 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1412, 13syl6eq 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
158, 14syl5eq 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0p  ->  N  =  0 )
1611, 15syl6bir 229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2606 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
186, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
19 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2019neeq1d 2659 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  N )  =/=  0 ) )
2120elrab 3182 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( A `
 N )  =/=  0 ) )
225, 18, 21sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
23 ne0i 3717 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
25 infmssuzcl 11084 . . . . 5  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
264, 24, 25sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
271, 26syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
28 fveq2 5774 . . . . 5  |-  ( n  =  K  ->  ( A `  n )  =  ( A `  K ) )
2928neeq1d 2659 . . . 4  |-  ( n  =  K  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  K )  =/=  0 ) )
3029elrab 3182 . . 3  |-  ( K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 ) )
3127, 30sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  ( A `  K
)  =/=  0 ) )
32 ftalem4.7 . . . 4  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )
33 plyf 22680 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
347, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
35 0cn 9499 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
36 ffvelrn 5931 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3734, 35, 36sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
389coef3 22714 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
397, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4031simpld 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
4140nnnn0d 10769 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
4239, 41ffvelrnd 5934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  CC )
4331simprd 461 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =/=  0 )
4437, 42, 43divcld 10237 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
)  e.  CC )
4544negcld 9831 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) )  e.  CC )
4640nnrecred 10498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  RR )
4746recnd 9533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  CC )
4845, 47cxpcld 23176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^c  ( 1  /  K ) )  e.  CC )
4932, 48syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
50 ftalem4.8 . . . 4  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
51 ftalem4.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
5237, 51absrpcld 13281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR+ )
53 fzfid 11986 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
54 peano2nn0 10753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
56 elfzuz 11605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
57 eluznn0 11070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
5855, 56, 57syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
5939ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6058, 59syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
61 expcl 12087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( T ^ k
)  e.  CC )
6249, 61sylan 469 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6358, 62syldan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6460, 63mulcld 9527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) )  e.  CC )
6564abscld 13269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  RR )
6653, 65fsumrecl 13558 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  RR )
6764absge0d 13277 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6853, 65, 67fsumge0 13611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6966, 68ge0p1rpd 11203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
7052, 69rpdivcld 11194 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
7150, 70syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
72 ftalem4.9 . . . 4  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
73 1rp 11143 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
74 ifcl 3899 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U
)  e.  RR+ )
7573, 71, 74sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  e.  RR+ )
7672, 75syl5eqel 2474 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
7749, 71, 763jca 1174 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) )
7831, 77jca 530 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {crab 2736    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ifcif 3857   class class class wbr 4367   `'ccnv 4912   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540   -ucneg 9719    / cdiv 10123   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZ>=cuz 11001   RR+crp 11139   ...cfz 11593   ^cexp 12069   abscabs 13069   sum_csu 13510   0pc0p 22161  Polycply 22666  coeffccoe 22668  degcdgr 22669    ^c ccxp 23028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-pi 13810  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-0p 22162  df-limc 22355  df-dv 22356  df-ply 22670  df-coe 22672  df-dgr 22673  df-log 23029  df-cxp 23030
This theorem is referenced by:  ftalem5  23467
  Copyright terms: Public domain W3C validator