MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Unicode version

Theorem ftalem4 20811
Description: Lemma for fta 20815: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 20812. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem4.5  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
ftalem4.6  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
ftalem4.7  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
ftalem4.8  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
ftalem4.9  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
Assertion
Ref Expression
ftalem4  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A    k, K, n    k, N, n    k, F, n    ph, k    S, k    T, k    k, X, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    T( n)    U( k, n)

Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4  |-  K  =  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )
2 ssrab2 3388 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  NN
3 nnuz 10477 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
42, 3sseqtri 3340 . . . . 5  |-  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>=
`  1 )
5 ftalem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnne0d 10000 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
7 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
8 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  (deg `  F )
9 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  (coeff `  F )
108, 9dgreq0 20136 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
117, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F  =  0 p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
12 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0 p
) )
13 dgr0 20133 . . . . . . . . . . . 12  |-  (deg ` 
0 p )  =  0
1412, 13syl6eq 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0 p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
158, 14syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0 p  ->  N  =  0 )
1611, 15syl6bir 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2605 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
186, 17mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
19 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  N  ->  ( A `  n )  =  ( A `  N ) )
2019neeq1d 2580 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  N  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  N )  =/=  0 ) )
2120elrab 3052 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( N  e.  NN  /\  ( A `
 N )  =/=  0 ) )
225, 18, 21sylanbrc 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
23 ne0i 3594 . . . . . 6  |-  ( N  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  ->  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  =/=  (/) )
25 infmssuzcl 10515 . . . . 5  |-  ( ( { n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 }  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
264, 24, 25sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN  |  ( A `  n )  =/=  0 } )
271, 26syl5eqel 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 } )
28 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( n  =  K  ->  ( A `  n )  =  ( A `  K ) )
2928neeq1d 2580 . . . 4  |-  ( n  =  K  ->  (
( A `  n
)  =/=  0  <->  ( A `  K )  =/=  0 ) )
3029elrab 3052 . . 3  |-  ( K  e.  { n  e.  NN  |  ( A `
 n )  =/=  0 }  <->  ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 ) )
3127, 30sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( K  e.  NN  /\  ( A `  K
)  =/=  0 ) )
32 ftalem4.7 . . . 4  |-  T  =  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )
33 plyf 20070 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
347, 33syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
35 0cn 9040 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
36 ffvelrn 5827 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3734, 35, 36sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
389coef3 20104 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
397, 38syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
4031simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  NN )
4140nnnn0d 10230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  NN0 )
4239, 41ffvelrnd 5830 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  e.  CC )
4331simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  K
)  =/=  0 )
4437, 42, 43divcld 9746 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  /  ( A `  K )
)  e.  CC )
4544negcld 9354 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
-u ( ( F `
 0 )  / 
( A `  K
) )  e.  CC )
4640nnrecred 10001 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  RR )
4746recnd 9070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  K
)  e.  CC )
4845, 47cxpcld 20552 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -u ( ( F `  0 )  /  ( A `  K ) )  ^ c  ( 1  /  K ) )  e.  CC )
4932, 48syl5eqel 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
50 ftalem4.8 . . . 4  |-  U  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )
51 ftalem4.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =/=  0 )
5237, 51absrpcld 12205 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR+ )
53 fzfid 11267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( K  + 
1 ) ... N
)  e.  Fin )
54 peano2nn0 10216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( K  +  1 )  e. 
NN0 )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  NN0 )
56 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1 ) ) )
57 eluznn0 10502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( K  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
5855, 56, 57syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  NN0 )
5939ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
6058, 59syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
61 expcl 11354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( T ^ k
)  e.  CC )
6249, 61sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6358, 62syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( T ^ k )  e.  CC )
6460, 63mulcld 9064 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) )  e.  CC )
6564abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( T ^ k
) ) )  e.  RR )
6653, 65fsumrecl 12483 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  e.  RR )
6764absge0d 12201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6853, 65, 67fsumge0 12529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( ( K  + 
1 ) ... N
) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) ) )
6966, 68ge0p1rpd 10630 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( T ^ k ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
7052, 69rpdivcld 10621 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( sum_ k  e.  ( ( K  +  1 ) ... N ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( T ^
k ) ) )  +  1 ) )  e.  RR+ )
7150, 70syl5eqel 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
72 ftalem4.9 . . . 4  |-  X  =  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )
73 1rp 10572 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
74 ifcl 3735 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U
)  e.  RR+ )
7573, 71, 74sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  U ,  1 ,  U )  e.  RR+ )
7672, 75syl5eqel 2488 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  RR+ )
7749, 71, 763jca 1134 . 2  |-  ( ph  ->  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) )
7831, 77jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  NN  /\  ( A `
 K )  =/=  0 )  /\  ( T  e.  CC  /\  U  e.  RR+  /\  X  e.  RR+ ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   {crab 2670    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999   ^cexp 11337   abscabs 11994   sum_csu 12434   0 pc0p 19514  Polycply 20056  coeffccoe 20058  degcdgr 20059    ^ c ccxp 20406
This theorem is referenced by:  ftalem5  20812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625  df-sin 12627  df-cos 12628  df-pi 12630  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-cncf 18861  df-0p 19515  df-limc 19706  df-dv 19707  df-ply 20060  df-coe 20062  df-dgr 20063  df-log 20407  df-cxp 20408
  Copyright terms: Public domain W3C validator