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Theorem ftalem3 23076
Description: Lemma for fta 23081. There exists a global minimum of the function  abs  o.  F. The proof uses a circle of radius  r where  r is the value coming from ftalem1 23074; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem3.5  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
ftalem3.6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
ftalem3.7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftalem3.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, z, D    x, N    x, y, F, z    x, J, z    ph, x, y, z    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( y, z)    D( y)    R( z)    S( x, y, z)    J( y)    N( y, z)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
2 ssrab2 3585 . . . 4  |-  { y  e.  CC  |  ( abs `  y )  <_  R }  C_  CC
31, 2eqsstri 3534 . . 3  |-  D  C_  CC
4 ftalem3.6 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopon 21025 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
6 resttopon 19428 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
75, 3, 6mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
87toponunii 19200 . . . . 5  |-  D  = 
U. ( Jt  D )
9 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
10 cnxmet 21015 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
12 0cn 9584 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
14 ftalem3.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1514rpxrd 11253 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
164cnfldtopn 21024 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
17 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1817cnmetdval 21013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )
1912, 18mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) ) )
20 df-neg 9804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
2120fveq2i 5867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) )
22 absneg 13069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  y
) )
2321, 22syl5eqr 2522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  =  ( abs `  y
) )
2419, 23eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  y
) )
2524breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  <_  R  <->  ( abs `  y )  <_  R
) )
2625rabbiia 3102 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  ) y )  <_  R }  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
271, 26eqtr4i 2499 . . . . . . . 8  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  )
y )  <_  R }
2816, 27blcld 20743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  D  e.  ( Clsd `  J
) )
2911, 13, 15, 28syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
3014rpred 11252 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
3231breq1d 4457 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3332, 1elrab2 3263 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  <_  R
) )
3433simprbi 464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( abs `  x )  <_  R )
3534rgen 2824 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
36 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
( abs `  x
)  <_  s  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3736ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  R  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s  <->  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
) )
3837rspcev 3214 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
3930, 35, 38sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
40 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  D )  =  ( Jt  D )
414, 40cnheibor 21190 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) ) )
423, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) )
4329, 39, 42sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
44 ftalem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
45 plycn 22392 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
47 abscncf 21140 . . . . . . . . 9  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
4847a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
4946, 48cncfco 21146 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
50 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
51 ax-resscn 9545 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
524cnfldtop 21026 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
535toponunii 19200 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. J
5453restid 14685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  CC )  =  J
)
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  CC )  =  J
5655eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Jt  CC )
574tgioo2 21043 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )
584, 56, 57cncfcn 21148 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
5950, 51, 58mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
6049, 59syl6eleq 2565 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6153cnrest 19552 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) )  /\  D  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  F
)  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6260, 3, 61sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  F )  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
6314rpge0d 11256 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
64 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  0
) )
65 abs0 13077 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
6664, 65syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  0 )
6766breq1d 4457 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  0  <_  R ) )
6867, 1elrab2 3263 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  <->  ( 0  e.  CC  /\  0  <_  R ) )
6913, 63, 68sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  D )
70 ne0i 3791 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  D  ->  D  =/=  (/) )
7169, 70syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
728, 9, 43, 62, 71evth2 21195 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x ) )
73 fvres 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
7473ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
75 plyf 22330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
7644, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
7776ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  F : CC --> CC )
78 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  D )
793, 78sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  CC )
80 fvco3 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  =  ( abs `  ( F `  z
) ) )
8177, 79, 80syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
8274, 81eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
83 fvres 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
8483adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
85 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
863, 85sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
87 fvco3 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  x
)  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
8877, 86, 87syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
8984, 88eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
9082, 89breq12d 4460 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9190ralbidva 2900 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9291rexbidva 2970 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs  o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9372, 92mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
94 ssrexv 3565 . . 3  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
953, 93, 94mpsyl 63 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
9669adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  D )
97 fveq2 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
9897fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  0 )
) )
9998breq2d 4459 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10099rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10196, 100syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10276ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  F : CC --> CC )
103 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
104102, 12, 103sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
105104abscld 13226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  e.  RR )
106 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  ( CC  \  D
) )
107106eldifad 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  CC )
108102, 107ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
109108abscld 13226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
110 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
111110ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  A. x  e.  CC  ( R  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
112106eldifbd 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  x  e.  D )
11333baib 901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
114107, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
115112, 114mtbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  ( abs `  x )  <_  R )
11630ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  e.  RR )
117107abscld 13226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
118116, 117ltnled 9727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  <->  -.  ( abs `  x )  <_  R
) )
119115, 118mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  <  ( abs `  x
) )
120 rsp 2830 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
121111, 107, 119, 120syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) )
122105, 109, 121ltled 9728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
123 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  z  e.  CC )
124102, 123ffvelrnd 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
125124abscld 13226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
126 letr 9674 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 0 ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
127125, 105, 109, 126syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
128122, 127mpan2d 674 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
129128ralrimdva 2882 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  0 )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
130101, 129syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
131130ancld 553 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
132 ralunb 3685 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
133 undif2 3903 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  ( D  u.  CC )
134 ssequn1 3674 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  CC  <->  ( D  u.  CC )  =  CC )
1353, 134mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  CC )  =  CC
136133, 135eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  CC
137136raleqi 3062 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
138132, 137bitr3i 251 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
139131, 138syl6ib 226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
140139reximdva 2938 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
14195, 140mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   ran crn 5000    |` cres 5001    o. ccom 5003   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802   NNcn 10532   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   abscabs 13026   ↾t crest 14672   TopOpenctopn 14673   topGenctg 14689   *Metcxmt 18174  ℂfldccnfld 18191   Topctop 19161  TopOnctopon 19162   Clsdccld 19283    Cn ccn 19491   Compccmp 19652   -cn->ccncf 21115  Polycply 22316  coeffccoe 22318  degcdgr 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-cls 19288  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-cmp 19653  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-0p 21812  df-ply 22320  df-coe 22322  df-dgr 22323
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