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Theorem ftalem3 22371
Description: Lemma for fta 22376. There exists a global minimum of the function  abs  o.  F. The proof uses a circle of radius  r where  r is the value coming from ftalem1 22369; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem3.5  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
ftalem3.6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
ftalem3.7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftalem3.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, z, D    x, N    x, y, F, z    x, J, z    ph, x, y, z    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( y, z)    D( y)    R( z)    S( x, y, z)    J( y)    N( y, z)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
2 ssrab2 3434 . . . 4  |-  { y  e.  CC  |  ( abs `  y )  <_  R }  C_  CC
31, 2eqsstri 3383 . . 3  |-  D  C_  CC
4 ftalem3.6 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopon 20321 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
6 resttopon 18724 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
75, 3, 6mp2an 667 . . . . . 6  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
87toponunii 18496 . . . . 5  |-  D  = 
U. ( Jt  D )
9 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
10 cnxmet 20311 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
12 0cn 9374 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
14 ftalem3.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1514rpxrd 11024 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
164cnfldtopn 20320 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
17 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1817cnmetdval 20309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )
1912, 18mpan 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) ) )
20 df-neg 9594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
2120fveq2i 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) )
22 absneg 12762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  y
) )
2321, 22syl5eqr 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  =  ( abs `  y
) )
2419, 23eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  y
) )
2524breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  <_  R  <->  ( abs `  y )  <_  R
) )
2625rabbiia 2959 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  ) y )  <_  R }  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
271, 26eqtr4i 2464 . . . . . . . 8  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  )
y )  <_  R }
2816, 27blcld 20039 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  D  e.  ( Clsd `  J
) )
2911, 13, 15, 28syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
3014rpred 11023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 fveq2 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
3231breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3332, 1elrab2 3116 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  <_  R
) )
3433simprbi 461 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( abs `  x )  <_  R )
3534rgen 2779 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
36 breq2 4293 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
( abs `  x
)  <_  s  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3736ralbidv 2733 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  R  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s  <->  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
) )
3837rspcev 3070 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
3930, 35, 38sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
40 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  D )  =  ( Jt  D )
414, 40cnheibor 20486 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) ) )
423, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) )
4329, 39, 42sylanbrc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
44 ftalem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
45 plycn 21687 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
47 abscncf 20436 . . . . . . . . 9  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
4847a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
4946, 48cncfco 20442 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
50 ssid 3372 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
51 ax-resscn 9335 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
524cnfldtop 20322 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
535toponunii 18496 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. J
5453restid 14368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  CC )  =  J
)
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  CC )  =  J
5655eqcomi 2445 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Jt  CC )
574tgioo2 20339 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )
584, 56, 57cncfcn 20444 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
5950, 51, 58mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
6049, 59syl6eleq 2531 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6153cnrest 18848 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) )  /\  D  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  F
)  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6260, 3, 61sylancl 657 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  F )  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
6314rpge0d 11027 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
64 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  0
) )
65 abs0 12770 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
6664, 65syl6eq 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  0 )
6766breq1d 4299 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  0  <_  R ) )
6867, 1elrab2 3116 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  <->  ( 0  e.  CC  /\  0  <_  R ) )
6913, 63, 68sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  D )
70 ne0i 3640 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  D  ->  D  =/=  (/) )
7169, 70syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
728, 9, 43, 62, 71evth2 20491 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x ) )
73 fvres 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
7473ad2antlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
75 plyf 21625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
7644, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
7776ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  F : CC --> CC )
78 simplr 749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  D )
793, 78sseldi 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  CC )
80 fvco3 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  =  ( abs `  ( F `  z
) ) )
8177, 79, 80syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
8274, 81eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
83 fvres 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
8483adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
85 simpr 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
863, 85sseldi 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
87 fvco3 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  x
)  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
8877, 86, 87syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
8984, 88eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
9082, 89breq12d 4302 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9190ralbidva 2729 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9291rexbidva 2730 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs  o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9372, 92mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
94 ssrexv 3414 . . 3  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
953, 93, 94mpsyl 63 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
9669adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  D )
97 fveq2 5688 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
9897fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  0 )
) )
9998breq2d 4301 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10099rspcv 3066 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10196, 100syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10276ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  F : CC --> CC )
103 ffvelrn 5838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
104102, 12, 103sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
105104abscld 12918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  e.  RR )
106 simpr 458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  ( CC  \  D
) )
107106eldifad 3337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  CC )
108102, 107ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
109108abscld 12918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
110 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
111110ad2antrr 720 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  A. x  e.  CC  ( R  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
112106eldifbd 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  x  e.  D )
11333baib 891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
114107, 113syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
115112, 114mtbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  ( abs `  x )  <_  R )
11630ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  e.  RR )
117107abscld 12918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
118116, 117ltnled 9517 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  <->  -.  ( abs `  x )  <_  R
) )
119115, 118mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  <  ( abs `  x
) )
120 rsp 2774 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
121111, 107, 119, 120syl3c 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) )
122105, 109, 121ltled 9518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
123 simplr 749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  z  e.  CC )
124102, 123ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
125124abscld 12918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
126 letr 9464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 0 ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
127125, 105, 109, 126syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
128122, 127mpan2d 669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
129128ralrimdva 2804 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  0 )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
130101, 129syld 44 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
131130ancld 550 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
132 ralunb 3534 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
133 undif2 3752 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  ( D  u.  CC )
134 ssequn1 3523 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  CC  <->  ( D  u.  CC )  =  CC )
1353, 134mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  CC )  =  CC
136133, 135eqtri 2461 . . . . . 6  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  CC
137136raleqi 2919 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
138132, 137bitr3i 251 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
139131, 138syl6ib 226 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
140139reximdva 2826 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
14195, 140mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717    \ cdif 3322    u. cun 3323    C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   ran crn 4837    |` cres 4838    o. ccom 4840   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592   NNcn 10318   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   abscabs 12719   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356   topGenctg 14372   *Metcxmt 17760  ℂfldccnfld 17777   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   Clsdccld 18579    Cn ccn 18787   Compccmp 18948   -cn->ccncf 20411  Polycply 21611  coeffccoe 21613  degcdgr 21614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-cls 18584  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-0p 21107  df-ply 21615  df-coe 21617  df-dgr 21618
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