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Theorem ftalem3 24048
Description: Lemma for fta 24055. There exists a global minimum of the function  abs  o.  F. The proof uses a circle of radius  r where  r is the value coming from ftalem1 24046; since this is a compact set, the minimum on this disk is achieved, and this must then be the global minimum. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem3.5  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
ftalem3.6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
ftalem3.7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ftalem3.8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, z, D    x, N    x, y, F, z    x, J, z    ph, x, y, z    x, R, y
Allowed substitution hints:    A( y, z)    D( y)    R( z)    S( x, y, z)    J( y)    N( y, z)

Proof of Theorem ftalem3
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem3.5 . . . 4  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
2 ssrab2 3526 . . . 4  |-  { y  e.  CC  |  ( abs `  y )  <_  R }  C_  CC
31, 2eqsstri 3474 . . 3  |-  D  C_  CC
4 ftalem3.6 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
54cnfldtopon 21852 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
6 resttopon 20226 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
75, 3, 6mp2an 683 . . . . . 6  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
87toponunii 19996 . . . . 5  |-  D  = 
U. ( Jt  D )
9 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
10 cnxmet 21842 . . . . . . . 8  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
12 0cn 9661 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
14 ftalem3.7 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1514rpxrd 11371 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
164cnfldtopn 21851 . . . . . . . 8  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
17 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
1817cnmetdval 21840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  =  ( abs `  ( 0  -  y
) ) )
1912, 18mpan 681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) ) )
20 df-neg 9889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u y  =  ( 0  -  y )
2120fveq2i 5891 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  (
0  -  y ) )
22 absneg 13389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  -u y )  =  ( abs `  y
) )
2321, 22syl5eqr 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  y ) )  =  ( abs `  y
) )
2419, 23eqtrd 2496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) y )  =  ( abs `  y
) )
2524breq1d 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( 0 ( abs 
o.  -  ) y
)  <_  R  <->  ( abs `  y )  <_  R
) )
2625rabbiia 3045 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  ) y )  <_  R }  =  { y  e.  CC  |  ( abs `  y
)  <_  R }
271, 26eqtr4i 2487 . . . . . . . 8  |-  D  =  { y  e.  CC  |  ( 0 ( abs  o.  -  )
y )  <_  R }
2816, 27blcld 21569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  R  e.  RR* )  ->  D  e.  ( Clsd `  J
) )
2911, 13, 15, 28syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Clsd `  J ) )
3014rpred 11370 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
31 fveq2 5888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
3231breq1d 4426 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3332, 1elrab2 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( abs `  x )  <_  R
) )
3433simprbi 470 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  ( abs `  x )  <_  R )
3534rgen 2759 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
36 breq2 4420 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
( abs `  x
)  <_  s  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
3736ralbidv 2839 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  R  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s  <->  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R
) )
3837rspcev 3162 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  R )  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
3930, 35, 38sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s )
40 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  D )  =  ( Jt  D )
414, 40cnheibor 22032 . . . . . . 7  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) ) )
423, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( Jt  D )  e.  Comp  <->  ( D  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. x  e.  D  ( abs `  x )  <_  s
) )
4329, 39, 42sylanbrc 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Jt  D )  e.  Comp )
44 ftalem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
45 plycn 23264 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
47 abscncf 21982 . . . . . . . . 9  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
4847a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  abs  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
4946, 48cncfco 21988 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
50 ssid 3463 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  CC
51 ax-resscn 9622 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  CC
524cnfldtop 21853 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
535toponunii 19996 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  U. J
5453restid 15381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Top  ->  ( Jt  CC )  =  J
)
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( Jt  CC )  =  J
5655eqcomi 2471 . . . . . . . . 9  |-  J  =  ( Jt  CC )
574tgioo2 21870 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Jt  RR )
584, 56, 57cncfcn 21990 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( CC -cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
5950, 51, 58mp2an 683 . . . . . . 7  |-  ( CC
-cn-> RR )  =  ( J  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
6049, 59syl6eleq 2550 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6153cnrest 20350 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  F
)  e.  ( J  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) )  /\  D  C_  CC )  ->  (
( abs  o.  F
)  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen `  ran  (,) ) ) )
6260, 3, 61sylancl 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs  o.  F )  |`  D )  e.  ( ( Jt  D )  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
6314rpge0d 11374 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
64 fveq2 5888 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  0
) )
65 abs0 13397 . . . . . . . . . 10  |-  ( abs `  0 )  =  0
6664, 65syl6eq 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( abs `  y )  =  0 )
6766breq1d 4426 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( abs `  y
)  <_  R  <->  0  <_  R ) )
6867, 1elrab2 3210 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  <->  ( 0  e.  CC  /\  0  <_  R ) )
6913, 63, 68sylanbrc 675 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  D )
70 ne0i 3749 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  D  ->  D  =/=  (/) )
7169, 70syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =/=  (/) )
728, 9, 43, 62, 71evth2 22037 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x ) )
73 fvres 5902 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
7473ad2antlr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( ( abs  o.  F ) `  z
) )
75 plyf 23201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
7644, 75syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
7776ad2antrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  F : CC --> CC )
78 simplr 767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  D )
793, 78sseldi 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  z  e.  CC )
80 fvco3 5965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  =  ( abs `  ( F `  z
) ) )
8177, 79, 80syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
8274, 81eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 z )  =  ( abs `  ( F `  z )
) )
83 fvres 5902 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  D  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
8483adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( ( abs  o.  F ) `  x
) )
85 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  D )
863, 85sseldi 3442 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  x  e.  CC )
87 fvco3 5965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  x
)  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
8877, 86, 87syl2anc 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( abs  o.  F
) `  x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
8984, 88eqtrd 2496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( abs  o.  F )  |`  D ) `
 x )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
9082, 89breq12d 4429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  D )  /\  x  e.  D )  ->  (
( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9190ralbidva 2836 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  D )  ->  ( A. x  e.  D  ( ( ( abs 
o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9291rexbidva 2910 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( ( ( abs  o.  F )  |`  D ) `  z
)  <_  ( (
( abs  o.  F
)  |`  D ) `  x )  <->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
9372, 92mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
94 ssrexv 3506 . . 3  |-  ( D 
C_  CC  ->  ( E. z  e.  D  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
953, 93, 94mpsyl 65 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
9669adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  D )
97 fveq2 5888 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
9897fveq2d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  =  ( abs `  ( F `  0 )
) )
9998breq2d 4428 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  <->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10099rspcv 3158 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  D  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10196, 100syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F ` 
0 ) ) ) )
10276ad2antrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  F : CC --> CC )
103 ffvelrn 6043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
104102, 12, 103sylancl 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
105104abscld 13547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  e.  RR )
106 simpr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  ( CC  \  D
) )
107106eldifad 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  x  e.  CC )
108102, 107ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
109108abscld 13547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )
110 ftalem3.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
111110ad2antrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  A. x  e.  CC  ( R  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
112106eldifbd 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  x  e.  D )
11333baib 919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
114107, 113syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
x  e.  D  <->  ( abs `  x )  <_  R
) )
115112, 114mtbid 306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  -.  ( abs `  x )  <_  R )
11630ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  e.  RR )
117107abscld 13547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
118116, 117ltnled 9808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  <->  -.  ( abs `  x )  <_  R
) )
119115, 118mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  R  <  ( abs `  x
) )
120 rsp 2766 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  CC  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  ->  ( R  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
121111, 107, 119, 120syl3c 63 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) )
122105, 109, 121ltled 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
123 simplr 767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  z  e.  CC )
124102, 123ffvelrnd 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( F `  z )  e.  CC )
125124abscld 13547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  e.  RR )
126 letr 9753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  ( F `  z )
)  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `
 0 ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
127125, 105, 109, 126syl3anc 1276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  /\  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
128122, 127mpan2d 685 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  CC )  /\  x  e.  ( CC  \  D
) )  ->  (
( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  0
) )  ->  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
129128ralrimdva 2818 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  0 )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
130101, 129syld 45 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
131130ancld 560 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
132 ralunb 3627 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
133 undif2 3855 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  ( D  u.  CC )
134 ssequn1 3616 . . . . . . . 8  |-  ( D 
C_  CC  <->  ( D  u.  CC )  =  CC )
1353, 134mpbi 213 . . . . . . 7  |-  ( D  u.  CC )  =  CC
136133, 135eqtri 2484 . . . . . 6  |-  ( D  u.  ( CC  \  D ) )  =  CC
137136raleqi 3003 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( D  u.  ( CC  \  D
) ) ( abs `  ( F `  z
) )  <_  ( abs `  ( F `  x ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
138132, 137bitr3i 259 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
)  /\  A. x  e.  ( CC  \  D
) ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
139131, 138syl6ib 234 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
)  ->  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
140139reximdva 2874 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  D  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
14195, 140mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753    \ cdif 3413    u. cun 3414    C_ wss 3416   (/)c0 3743   class class class wbr 4416   ran crn 4854    |` cres 4855    o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   RR*cxr 9700    < clt 9701    <_ cle 9702    - cmin 9886   -ucneg 9887   NNcn 10637   RR+crp 11331   (,)cioo 11664   abscabs 13346   ↾t crest 15368   TopOpenctopn 15369   topGenctg 15385   *Metcxmt 19004  ℂfldccnfld 19019   Topctop 19966  TopOnctopon 19967   Clsdccld 20080    Cn ccn 20289   Compccmp 20450   -cn->ccncf 21957  Polycply 23187  coeffccoe 23189  degcdgr 23190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-cls 20085  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-cmp 20451  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-0p 22677  df-ply 23191  df-coe 23193  df-dgr 23194
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