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Theorem ftalem2 23940
 Description: Lemma for fta 23948. There exists some such that has magnitude greater than outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 coeff
ftalem.2 deg
ftalem.3 Poly
ftalem.4
ftalem2.5
ftalem2.6
Assertion
Ref Expression
ftalem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3 coeff
2 ftalem.2 . . 3 deg
3 ftalem.3 . . 3 Poly
4 ftalem.4 . . 3
51coef3 23128 . . . . . . 7 Poly
63, 5syl 17 . . . . . 6
74nnnn0d 10876 . . . . . 6
86, 7ffvelrnd 5982 . . . . 5
94nnne0d 10605 . . . . . 6
102, 1dgreq0 23161 . . . . . . . . 9 Poly
11 fveq2 5825 . . . . . . . . . . 11 deg deg
12 dgr0 23158 . . . . . . . . . . 11 deg
1311, 12syl6eq 2478 . . . . . . . . . 10 deg
142, 13syl5eq 2474 . . . . . . . . 9
1510, 14syl6bir 232 . . . . . . . 8 Poly
163, 15syl 17 . . . . . . 7
1716necon3d 2622 . . . . . 6
189, 17mpd 15 . . . . 5
198, 18absrpcld 13453 . . . 4
2019rphalfcld 11304 . . 3
21 fveq2 5825 . . . . . 6
2221fveq2d 5829 . . . . 5
2322cbvsumv 13705 . . . 4
2423oveq1i 6259 . . 3
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 23939 . 2
26 ftalem2.5 . . . . . 6
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9
28 plyf 23094 . . . . . . . . . . . . 13 Poly
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12
30 0cn 9586 . . . . . . . . . . . 12
31 ffvelrn 5979 . . . . . . . . . . . 12
3229, 30, 31sylancl 666 . . . . . . . . . . 11
3332abscld 13441 . . . . . . . . . 10
3433, 20rerpdivcld 11320 . . . . . . . . 9
3527, 34syl5eqel 2510 . . . . . . . 8
3635adantr 466 . . . . . . 7
37 simpr 462 . . . . . . . 8
38 1re 9593 . . . . . . . 8
39 ifcl 3896 . . . . . . . 8
4037, 38, 39sylancl 666 . . . . . . 7
4136, 40ifcld 3897 . . . . . 6
4226, 41syl5eqel 2510 . . . . 5
43 0red 9595 . . . . . 6
44 1red 9609 . . . . . 6
45 0lt1 10087 . . . . . . 7
4645a1i 11 . . . . . 6
47 max1 11431 . . . . . . . 8
4838, 37, 47sylancr 667 . . . . . . 7
49 max1 11431 . . . . . . . . 9
5040, 36, 49syl2anc 665 . . . . . . . 8
5150, 26syl6breqr 4407 . . . . . . 7
5244, 40, 42, 48, 51letrd 9743 . . . . . 6
5343, 44, 42, 46, 52ltletrd 9746 . . . . 5
5442, 53elrpd 11289 . . . 4
55 max2 11433 . . . . . . . . . . 11
5638, 37, 55sylancr 667 . . . . . . . . . 10
5737, 40, 42, 56, 51letrd 9743 . . . . . . . . 9
5857adantr 466 . . . . . . . 8
5937adantr 466 . . . . . . . . 9
6042adantr 466 . . . . . . . . 9
61 abscl 13285 . . . . . . . . . 10
6261adantl 467 . . . . . . . . 9
63 lelttr 9675 . . . . . . . . 9
6459, 60, 62, 63syl3anc 1264 . . . . . . . 8
6558, 64mpand 679 . . . . . . 7
6665imim1d 78 . . . . . 6
6729ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
68 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
6967, 68ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . . 14
708ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15
717ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7268, 71expcld 12366 . . . . . . . . . . . . . . 15
7370, 72mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . 14
7469, 73subcld 9937 . . . . . . . . . . . . 13
7574abscld 13441 . . . . . . . . . . . 12
7673abscld 13441 . . . . . . . . . . . . 13
7776rehalfcld 10810 . . . . . . . . . . . 12
7875, 77, 76ltsub2d 10174 . . . . . . . . . . 11
7970, 72absmuld 13459 . . . . . . . . . . . . . . 15
8068, 71absexpd 13457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . . . . 15
8279, 81eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . . . 14
8382oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . 13
8470abscld 13441 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14
8662adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786, 71reexpcld 12383 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14
89 2cnd 10633 . . . . . . . . . . . . . 14
90 2ne0 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
9285, 88, 89, 91div23d 10371 . . . . . . . . . . . . 13
9383, 92eqtrd 2462 . . . . . . . . . . . 12
9493breq2d 4378 . . . . . . . . . . 11
9576recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15
96952halvesd 10809 . . . . . . . . . . . . . 14
9796oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . 13
9877recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . 14
9998, 98pncand 9938 . . . . . . . . . . . . 13
10097, 99eqtr3d 2464 . . . . . . . . . . . 12
101100breq1d 4376 . . . . . . . . . . 11
10278, 94, 1013bitr3d 286 . . . . . . . . . 10
10373, 69subcld 9937 . . . . . . . . . . . . 13
10473, 103abs2difd 13462 . . . . . . . . . . . 12
10573, 69abssubd 13458 . . . . . . . . . . . . 13
106105oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . 12
10773, 69nncand 9942 . . . . . . . . . . . . 13
108107fveq2d 5829 . . . . . . . . . . . 12
109104, 106, 1083brtr3d 4396 . . . . . . . . . . 11
11076, 75resubcld 9998 . . . . . . . . . . . 12
11169abscld 13441 . . . . . . . . . . . 12
112 ltletr 9676 . . . . . . . . . . . 12
11377, 110, 111, 112syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11
114109, 113mpan2d 678 . . . . . . . . . 10
115102, 114sylbid 218 . . . . . . . . 9
11633ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12
11720ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14
118117rpred 11292 . . . . . . . . . . . . 13
119118, 86remulcld 9622 . . . . . . . . . . . 12
12093, 77eqeltrrd 2507 . . . . . . . . . . . 12
12136adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
12242adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
123 max2 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12440, 36, 123syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124, 26syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
127 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15
128121, 122, 86, 126, 127lelttrd 9744 . . . . . . . . . . . . . 14
12927, 128syl5eqbrr 4401 . . . . . . . . . . . . 13
130116, 86, 117ltdivmuld 11340 . . . . . . . . . . . . 13
131129, 130mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12
13286recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . 15
133132exp1d 12361 . . . . . . . . . . . . . 14
134 1red 9609 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13552adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
136134, 122, 86, 135, 127lelttrd 9744 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137134, 86, 136ltled 9734 . . . . . . . . . . . . . . 15
1384ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139 nnuz 11145 . . . . . . . . . . . . . . . 16
140138, 139syl6eleq 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15
14186, 137, 140leexp2ad 12398 . . . . . . . . . . . . . 14
142133, 141eqbrtrrd 4389 . . . . . . . . . . . . 13
14386, 87, 117lemul2d 11333 . . . . . . . . . . . . 13
144142, 143mpbid 213 . . . . . . . . . . . 12
145116, 119, 120, 131, 144ltletrd 9746 . . . . . . . . . . 11
146145, 93breqtrrd 4393 . . . . . . . . . 10
147 lttr 9661 . . . . . . . . . . 11
148116, 77, 111, 147syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10
149146, 148mpand 679 . . . . . . . . 9
150115, 149syld 45 . . . . . . . 8
151150expr 618 . . . . . . 7
152151a2d 29 . . . . . 6
15366, 152syld 45 . . . . 5
154153ralimdva 2773 . . . 4
155 breq1 4369 . . . . . . 7
156155imbi1d 318 . . . . . 6
157156ralbidv 2804 . . . . 5
158157rspcev 3125 . . . 4
15954, 154, 158syl6an 547 . . 3
160159rexlimdva 2856 . 2
16125, 160mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2599  wral 2714  wrex 2715  cif 3854   class class class wbr 4366  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249  cc 9488  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   caddc 9493   cmul 9495   clt 9626   cle 9627   cmin 9811   cdiv 10220  cn 10560  c2 10610  cn0 10820  cuz 11110  crp 11253  cfz 11735  cexp 12222  cabs 13241  csu 13695  c0p 22569  Polycply 23080  coeffccoe 23082  degcdgr 23083 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-ico 11592  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-0p 22570  df-ply 23084  df-coe 23086  df-dgr 23087 This theorem is referenced by:  fta  23948
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