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Theorem ftalem2 22527
Description: Lemma for fta 22533. There exists some  r such that  F has magnitude greater than  F ( 0 ) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem2.5  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
ftalem2.6  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, A    N, r, s, x    F, r, s, x    ph, s, x    S, s    T, r, x    U, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    T( s)    U( s)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
51coef3 21816 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
74nnnn0d 10737 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
86, 7ffvelrnd 5943 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  e.  CC )
94nnne0d 10467 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
102, 1dgreq0 21848 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
11 fveq2 5789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
12 dgr0 21845 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1311, 12syl6eq 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
142, 13syl5eq 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  0p  ->  N  =  0 )
1510, 14syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
163, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2672 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
189, 17mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
198, 18absrpcld 13036 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR+ )
2019rphalfcld 11140 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
21 fveq2 5789 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
2221fveq2d 5793 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( A `  n ) )  =  ( abs `  ( A `  k )
) )
2322cbvsumv 13275 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)
2423oveq1i 6200 . . 3  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  /  ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
) )
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 22526 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
26 ftalem2.5 . . . . . 6  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
28 plyf 21782 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
30 0cn 9479 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
31 ffvelrn 5940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3332abscld 13024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
3433, 20rerpdivcld 11155 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  e.  RR )
3527, 34syl5eqel 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
37 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  RR )
38 1re 9486 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
39 ifcl 3929 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  e.  RR )
41 ifcl 3929 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4236, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4326, 42syl5eqel 2543 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR )
44 0red 9488 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
45 1red 9502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
46 0lt1 9963 . . . . . . 7  |-  0  <  1
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  <  1 )
48 max1 11258 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
4938, 37, 48sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
50 max1 11258 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
5140, 36, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
5251, 26syl6breqr 4430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  U )
5345, 40, 43, 49, 52letrd 9629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  U )
5444, 45, 43, 47, 53ltletrd 9632 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  < 
U )
5543, 54elrpd 11126 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR+ )
56 max2 11260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
5738, 37, 56sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
5837, 40, 43, 57, 52letrd 9629 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  U )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  <_  U )
6037adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  e.  RR )
6143adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  U  e.  RR )
62 abscl 12869 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
6362adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
64 lelttr 9566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( abs `  x )  e.  RR )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6560, 61, 63, 64syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6659, 65mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  s  <  ( abs `  x ) ) )
6766imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
6829ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F : CC --> CC )
69 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
7068, 69ffvelrnd 5943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  CC )
718ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
727ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
7369, 72expcld 12109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
7471, 73mulcld 9507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
7570, 74subcld 9820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
7675abscld 13024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  e.  RR )
7774abscld 13024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  RR )
7877rehalfcld 10672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7976, 78, 77ltsub2d 10050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
8071, 73absmuld 13042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( abs `  (
x ^ N ) ) ) )
8169, 72absexpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
x ^ N ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
8281oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( abs `  ( x ^ N
) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
8380, 82eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
8483oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  /  2
) )
8571abscld 13024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR )
8685recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  CC )
8763adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
8887, 72reexpcld 12126 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
8988recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  CC )
90 2cnd 10495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  e.  CC )
91 2ne0 10515 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  =/=  0 )
9386, 89, 90, 92div23d 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9484, 93eqtrd 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9594breq2d 4402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
9677recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
97962halvesd 10671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  +  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
9897oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) ) )
9978recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  CC )
10099, 99pncand 9821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
10198, 100eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
102101breq1d 4400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10379, 95, 1023bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10474, 70subcld 9820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
)  e.  CC )
10574, 104abs2difd 13045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) ) )
10674, 70abssubd 13041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )
107106oveq2d 6206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) )
10874, 70nncand 9825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( F `
 x ) )
109108fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
110105, 107, 1093brtr3d 4419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
11177, 76resubcld 9877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR )
11270abscld 13024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
113 ltletr 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11478, 111, 112, 113syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  < 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
115110, 114mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
116103, 115sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11733ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
11820ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
119118rpred 11128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR )
120119, 87remulcld 9515 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
12194, 78eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  e.  RR )
12236adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
12343adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  e.  RR )
124 max2 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
12540, 36, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
126125, 26syl6breqr 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  U )
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  U )
128 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  <  ( abs `  x
) )
129122, 123, 87, 127, 128lelttrd 9630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
13027, 129syl5eqbrr 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  <  ( abs `  x
) )
131117, 87, 118ltdivmuld 11175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  <  ( abs `  x )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) ) )
132130, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) )
13387recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
134133exp1d 12104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  =  ( abs `  x
) )
135 1red 9502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
13653adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  U )
137135, 123, 87, 136, 128lelttrd 9630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
138135, 87, 137ltled 9623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
1394ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
140 nnuz 10997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
141139, 140syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
14287, 138, 141leexp2ad 12141 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  <_  ( ( abs `  x ) ^ N
) )
143134, 142eqbrtrrd 4412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
14487, 88, 118lemul2d 11168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N )  <->  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) )  <_  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
145143, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
146117, 120, 121, 132, 145ltletrd 9632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
147146, 94breqtrrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 ) )
148 lttr 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
149117, 78, 112, 148syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
150147, 149mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
151116, 150syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
152151expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
153152a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
15467, 153syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
155154ralimdva 2824 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
156 breq1 4393 . . . . . . 7  |-  ( r  =  U  ->  (
r  <  ( abs `  x )  <->  U  <  ( abs `  x ) ) )
157156imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( r  =  U  ->  (
( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
158157ralbidv 2839 . . . . 5  |-  ( r  =  U  ->  ( A. x  e.  CC  ( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
159158rspcev 3169 . . . 4  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  A. x  e.  CC  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
16055, 155, 159syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
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) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
161160rexlimdva 2937 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  ( s  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
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16225, 161mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   ifcif 3889   class class class wbr 4390   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696    / cdiv 10094   NNcn 10423   2c2 10472   NN0cn0 10680   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   ...cfz 11538   ^cexp 11966   abscabs 12825   sum_csu 13265   0pc0p 21263  Polycply 21768  coeffccoe 21770  degcdgr 21771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-ico 11407  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-0p 21264  df-ply 21772  df-coe 21774  df-dgr 21775
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