MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem2 Structured version   Unicode version

Theorem ftalem2 23545
Description: Lemma for fta 23551. There exists some  r such that  F has magnitude greater than  F ( 0 ) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem2.5  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
ftalem2.6  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, A    N, r, s, x    F, r, s, x    ph, s, x    S, s    T, r, x    U, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    T( s)    U( s)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
51coef3 22795 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
74nnnn0d 10848 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
86, 7ffvelrnd 6008 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  e.  CC )
94nnne0d 10576 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
102, 1dgreq0 22828 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
11 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
12 dgr0 22825 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1311, 12syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
142, 13syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  0p  ->  N  =  0 )
1510, 14syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
163, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2678 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
189, 17mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
198, 18absrpcld 13361 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR+ )
2019rphalfcld 11271 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
21 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
2221fveq2d 5852 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( A `  n ) )  =  ( abs `  ( A `  k )
) )
2322cbvsumv 13600 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)
2423oveq1i 6280 . . 3  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  /  ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
) )
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 23544 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
26 ftalem2.5 . . . . . 6  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
28 plyf 22761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
30 0cn 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
31 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3229, 30, 31sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3332abscld 13349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
3433, 20rerpdivcld 11286 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  e.  RR )
3527, 34syl5eqel 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3635adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
37 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  RR )
38 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
39 ifcl 3971 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  e.  RR )
4136, 40ifcld 3972 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4226, 41syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR )
43 0red 9586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
44 1red 9600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
45 0lt1 10071 . . . . . . 7  |-  0  <  1
4645a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  <  1 )
47 max1 11389 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
4838, 37, 47sylancr 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
49 max1 11389 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
5040, 36, 49syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
5150, 26syl6breqr 4479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  U )
5244, 40, 42, 48, 51letrd 9728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  U )
5343, 44, 42, 46, 52ltletrd 9731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  < 
U )
5442, 53elrpd 11256 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR+ )
55 max2 11391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
5638, 37, 55sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
5737, 40, 42, 56, 51letrd 9728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  U )
5857adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  <_  U )
5937adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  e.  RR )
6042adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  U  e.  RR )
61 abscl 13193 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
6261adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
63 lelttr 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( abs `  x )  e.  RR )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6459, 60, 62, 63syl3anc 1226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6558, 64mpand 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  s  <  ( abs `  x ) ) )
6665imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
6729ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F : CC --> CC )
68 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
6967, 68ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  CC )
708ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
717ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
7268, 71expcld 12292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
7370, 72mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
7469, 73subcld 9922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
7574abscld 13349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  e.  RR )
7673abscld 13349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  RR )
7776rehalfcld 10781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7875, 77, 76ltsub2d 10158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
7970, 72absmuld 13367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( abs `  (
x ^ N ) ) ) )
8068, 71absexpd 13365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
x ^ N ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
8180oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( abs `  ( x ^ N
) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
8279, 81eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
8382oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  /  2
) )
8470abscld 13349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR )
8584recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  CC )
8662adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
8786, 71reexpcld 12309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
8887recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  CC )
89 2cnd 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  e.  CC )
90 2ne0 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  =/=  0 )
9285, 88, 89, 91div23d 10353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9383, 92eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9493breq2d 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
9576recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
96952halvesd 10780 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  +  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
9796oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) ) )
9877recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  CC )
9998, 98pncand 9923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
10097, 99eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
101100breq1d 4449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10278, 94, 1013bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10373, 69subcld 9922 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
)  e.  CC )
10473, 103abs2difd 13370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) ) )
10573, 69abssubd 13366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )
106105oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) )
10773, 69nncand 9927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( F `
 x ) )
108107fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
109104, 106, 1083brtr3d 4468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
11076, 75resubcld 9983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR )
11169abscld 13349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
112 ltletr 9665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11377, 110, 111, 112syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  < 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
114109, 113mpan2d 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
115102, 114sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11633ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
11720ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
118117rpred 11259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR )
119118, 86remulcld 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
12093, 77eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  e.  RR )
12136adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
12242adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  e.  RR )
123 max2 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
12440, 36, 123syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
125124, 26syl6breqr 4479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  U )
126125adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  U )
127 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  <  ( abs `  x
) )
128121, 122, 86, 126, 127lelttrd 9729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
12927, 128syl5eqbrr 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  <  ( abs `  x
) )
130116, 86, 117ltdivmuld 11306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  <  ( abs `  x )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) ) )
131129, 130mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) )
13286recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
133132exp1d 12287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  =  ( abs `  x
) )
134 1red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
13552adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  U )
136134, 122, 86, 135, 127lelttrd 9729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
137134, 86, 136ltled 9722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
1384ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
139 nnuz 11117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
140138, 139syl6eleq 2552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
14186, 137, 140leexp2ad 12324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  <_  ( ( abs `  x ) ^ N
) )
142133, 141eqbrtrrd 4461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
14386, 87, 117lemul2d 11299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N )  <->  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) )  <_  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
144142, 143mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
145116, 119, 120, 131, 144ltletrd 9731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
146145, 93breqtrrd 4465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 ) )
147 lttr 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
148116, 77, 111, 147syl3anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
149146, 148mpand 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
150115, 149syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
151150expr 613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
152151a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
15366, 152syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
154153ralimdva 2862 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
155 breq1 4442 . . . . . . 7  |-  ( r  =  U  ->  (
r  <  ( abs `  x )  <->  U  <  ( abs `  x ) ) )
156155imbi1d 315 . . . . . 6  |-  ( r  =  U  ->  (
( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
157156ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( r  =  U  ->  ( A. x  e.  CC  ( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
158157rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  A. x  e.  CC  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
15954, 154, 158syl6an 543 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
160159rexlimdva 2946 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  ( s  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
16125, 160mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   ifcif 3929   class class class wbr 4439   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   ...cfz 11675   ^cexp 12148   abscabs 13149   sum_csu 13590   0pc0p 22242  Polycply 22747  coeffccoe 22749  degcdgr 22750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-0p 22243  df-ply 22751  df-coe 22753  df-dgr 22754
This theorem is referenced by:  fta  23551
  Copyright terms: Public domain W3C validator