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Theorem ftalem2 22296
Description: Lemma for fta 22302. There exists some  r such that  F has magnitude greater than  F ( 0 ) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem2.5  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
ftalem2.6  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, A    N, r, s, x    F, r, s, x    ph, s, x    S, s    T, r, x    U, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    T( s)    U( s)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
51coef3 21585 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
74nnnn0d 10624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
86, 7ffvelrnd 5832 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  e.  CC )
94nnne0d 10354 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
102, 1dgreq0 21617 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
11 fveq2 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
12 dgr0 21614 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1311, 12syl6eq 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
142, 13syl5eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  0p  ->  N  =  0 )
1510, 14syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
163, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2636 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
189, 17mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
198, 18absrpcld 12918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR+ )
2019rphalfcld 11027 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
21 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
2221fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( A `  n ) )  =  ( abs `  ( A `  k )
) )
2322cbvsumv 13157 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)
2423oveq1i 6090 . . 3  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  /  ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
) )
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 22295 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
26 ftalem2.5 . . . . . 6  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
28 plyf 21551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
30 0cn 9366 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
31 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3229, 30, 31sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3332abscld 12906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
3433, 20rerpdivcld 11042 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  e.  RR )
3527, 34syl5eqel 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3635adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
37 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  RR )
38 1re 9373 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
39 ifcl 3819 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 655 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  e.  RR )
41 ifcl 3819 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4236, 40, 41syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4326, 42syl5eqel 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR )
44 0red 9375 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
45 1red 9389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
46 0lt1 9850 . . . . . . 7  |-  0  <  1
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  <  1 )
48 max1 11145 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
4938, 37, 48sylancr 656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
50 max1 11145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
5140, 36, 50syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
5251, 26syl6breqr 4320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  U )
5345, 40, 43, 49, 52letrd 9516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  U )
5444, 45, 43, 47, 53ltletrd 9519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  < 
U )
5543, 54elrpd 11013 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR+ )
56 max2 11147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
5738, 37, 56sylancr 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
5837, 40, 43, 57, 52letrd 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  U )
5958adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  <_  U )
6037adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  e.  RR )
6143adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  U  e.  RR )
62 abscl 12751 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
6362adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
64 lelttr 9453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( abs `  x )  e.  RR )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6560, 61, 63, 64syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6659, 65mpand 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  s  <  ( abs `  x ) ) )
6766imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
6829ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F : CC --> CC )
69 simprl 748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
7068, 69ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  CC )
718ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
727ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
7369, 72expcld 11992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
7471, 73mulcld 9394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
7570, 74subcld 9707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
7675abscld 12906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  e.  RR )
7774abscld 12906 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  RR )
7877rehalfcld 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7976, 78, 77ltsub2d 9937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
8071, 73absmuld 12924 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( abs `  (
x ^ N ) ) ) )
8169, 72absexpd 12922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
x ^ N ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
8281oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( abs `  ( x ^ N
) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
8380, 82eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
8483oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  /  2
) )
8571abscld 12906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR )
8685recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  CC )
8763adantrr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
8887, 72reexpcld 12009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
8988recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  CC )
90 2cnd 10382 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  e.  CC )
91 2ne0 10402 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  =/=  0 )
9386, 89, 90, 92div23d 10132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9484, 93eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9594breq2d 4292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
9677recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
97962halvesd 10558 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  +  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
9897oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) ) )
9978recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  CC )
10099, 99pncand 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
10198, 100eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
102101breq1d 4290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10379, 95, 1023bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10474, 70subcld 9707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
)  e.  CC )
10574, 104abs2difd 12927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) ) )
10674, 70abssubd 12923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )
107106oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) )
10874, 70nncand 9712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( F `
 x ) )
109108fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
110105, 107, 1093brtr3d 4309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
11177, 76resubcld 9764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR )
11270abscld 12906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
113 ltletr 9454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11478, 111, 112, 113syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  < 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
115110, 114mpan2d 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
116103, 115sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11733ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
11820ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
119118rpred 11015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR )
120119, 87remulcld 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
12194, 78eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  e.  RR )
12236adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
12343adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  e.  RR )
124 max2 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
12540, 36, 124syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
126125, 26syl6breqr 4320 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  U )
127126adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  U )
128 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  <  ( abs `  x
) )
129122, 123, 87, 127, 128lelttrd 9517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
13027, 129syl5eqbrr 4314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  <  ( abs `  x
) )
131117, 87, 118ltdivmuld 11062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  <  ( abs `  x )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) ) )
132130, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) )
13387recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
134133exp1d 11987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  =  ( abs `  x
) )
135 1red 9389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
13653adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  U )
137135, 123, 87, 136, 128lelttrd 9517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
138135, 87, 137ltled 9510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
1394ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
140 nnuz 10884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
141139, 140syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
14287, 138, 141leexp2ad 12024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  <_  ( ( abs `  x ) ^ N
) )
143134, 142eqbrtrrd 4302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
14487, 88, 118lemul2d 11055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N )  <->  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) )  <_  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
145143, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
146117, 120, 121, 132, 145ltletrd 9519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
147146, 94breqtrrd 4306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 ) )
148 lttr 9439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
149117, 78, 112, 148syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
150147, 149mpand 668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
151116, 150syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
152151expr 610 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
153152a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
15467, 153syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
155154ralimdva 2784 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
156 breq1 4283 . . . . . . 7  |-  ( r  =  U  ->  (
r  <  ( abs `  x )  <->  U  <  ( abs `  x ) ) )
157156imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( r  =  U  ->  (
( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
158157ralbidv 2725 . . . . 5  |-  ( r  =  U  ->  ( A. x  e.  CC  ( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
159158rspcev 3062 . . . 4  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  A. x  e.  CC  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
16055, 155, 159syl6an 540 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
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) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
161160rexlimdva 2831 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  ( s  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
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16225, 161mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   ifcif 3779   class class class wbr 4280   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   NN0cn0 10567   ZZ>=cuz 10849   RR+crp 10979   ...cfz 11424   ^cexp 11849   abscabs 12707   sum_csu 13147   0pc0p 20989  Polycply 21537  coeffccoe 21539  degcdgr 21540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-0p 20990  df-ply 21541  df-coe 21543  df-dgr 21544
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