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Theorem ftalem2 23068
Description: Lemma for fta 23074. There exists some  r such that  F has magnitude greater than  F ( 0 ) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem2.5  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
ftalem2.6  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
ftalem2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Distinct variable groups:    s, r, x, A    N, r, s, x    F, r, s, x    ph, s, x    S, s    T, r, x    U, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    T( s)    U( s)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3  |-  A  =  (coeff `  F )
2 ftalem.2 . . 3  |-  N  =  (deg `  F )
3 ftalem.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.4 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
51coef3 22357 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
74nnnn0d 10841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
86, 7ffvelrnd 6013 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  e.  CC )
94nnne0d 10569 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  =/=  0 )
102, 1dgreq0 22389 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( F  =  0p  <->  ( A `  N )  =  0 ) )
11 fveq2 5857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  (deg `  0p
) )
12 dgr0 22386 . . . . . . . . . . 11  |-  (deg ` 
0p )  =  0
1311, 12syl6eq 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  0p  -> 
(deg `  F )  =  0 )
142, 13syl5eq 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  0p  ->  N  =  0 )
1510, 14syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
163, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A `  N )  =  0  ->  N  =  0 ) )
1716necon3d 2684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  =/=  0  ->  ( A `  N
)  =/=  0 ) )
189, 17mpd 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  N
)  =/=  0 )
198, 18absrpcld 13228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR+ )
2019rphalfcld 11257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
21 fveq2 5857 . . . . . 6  |-  ( n  =  k  ->  ( A `  n )  =  ( A `  k ) )
2221fveq2d 5861 . . . . 5  |-  ( n  =  k  ->  ( abs `  ( A `  n ) )  =  ( abs `  ( A `  k )
) )
2322cbvsumv 13467 . . . 4  |-  sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n )
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)
2423oveq1i 6285 . . 3  |-  ( sum_ n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  n
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  /  ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
) )
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 23067 . 2  |-  ( ph  ->  E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
26 ftalem2.5 . . . . . 6  |-  U  =  if ( if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 ) )
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )
28 plyf 22323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  F : CC
--> CC )
293, 28syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : CC --> CC )
30 0cn 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
31 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : CC --> CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  e.  CC )
3332abscld 13216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
3433, 20rerpdivcld 11272 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  e.  RR )
3527, 34syl5eqel 2552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
3635adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  e.  RR )
37 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  e.  RR )
38 1re 9584 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
39 ifcl 3974 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR )
4037, 38, 39sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  e.  RR )
41 ifcl 3974 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4236, 40, 41syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) )  e.  RR )
4326, 42syl5eqel 2552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR )
44 0red 9586 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
45 1red 9600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  e.  RR )
46 0lt1 10064 . . . . . . 7  |-  0  <  1
4746a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  <  1 )
48 max1 11375 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
4938, 37, 48sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
50 max1 11375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
5140, 36, 50syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
5251, 26syl6breqr 4480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 )  <_  U )
5345, 40, 43, 49, 52letrd 9727 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  1  <_  U )
5444, 45, 43, 47, 53ltletrd 9730 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  0  < 
U )
5543, 54elrpd 11243 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  U  e.  RR+ )
56 max2 11377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if (
1  <_  s , 
s ,  1 ) )
5738, 37, 56sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
5837, 40, 43, 57, 52letrd 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  s  <_  U )
5958adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  <_  U )
6037adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  s  e.  RR )
6143adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  U  e.  RR )
62 abscl 13061 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
6362adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
64 lelttr 9664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  RR  /\  U  e.  RR  /\  ( abs `  x )  e.  RR )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6560, 61, 63, 64syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <_  U  /\  U  <  ( abs `  x ) )  -> 
s  <  ( abs `  x ) ) )
6659, 65mpand 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  s  <  ( abs `  x ) ) )
6766imim1d 75 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
6829ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F : CC --> CC )
69 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
7068, 69ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  CC )
718ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
727ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
7369, 72expcld 12265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
7471, 73mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
7570, 74subcld 9919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
7675abscld 13216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  e.  RR )
7774abscld 13216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  RR )
7877rehalfcld 10774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR )
7976, 78, 77ltsub2d 10151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
8071, 73absmuld 13234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( abs `  (
x ^ N ) ) ) )
8169, 72absexpd 13232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
x ^ N ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
8281oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( abs `  ( x ^ N
) ) )  =  ( ( abs `  ( A `  N )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
8380, 82eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
8483oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  /  2
) )
8571abscld 13216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  RR )
8685recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( A `  N )
)  e.  CC )
8763adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
8887, 72reexpcld 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
8988recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  CC )
90 2cnd 10597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  e.  CC )
91 2ne0 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
2  =/=  0 )
9386, 89, 90, 92div23d 10346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9484, 93eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  =  ( ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 )  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
9594breq2d 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
9677recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  e.  CC )
97962halvesd 10773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  +  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
9897oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) ) )
9978recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  CC )
10099, 99pncand 9920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  +  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
10198, 100eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
) )
102101breq1d 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 ) )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10379, 95, 1023bitr3d 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  <->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) ) )
10474, 70subcld 9919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
)  e.  CC )
10574, 104abs2difd 13237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) ) )
10674, 70abssubd 13233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )
107106oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  ( F `  x )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) ) )
10874, 70nncand 9924 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) )  -  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( F `
 x ) ) )  =  ( F `
 x ) )
109108fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  -  ( ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) )  -  ( F `  x ) ) ) )  =  ( abs `  ( F `  x
) ) )
110105, 107, 1093brtr3d 4469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
11177, 76resubcld 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR )
11270abscld 13216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  x )
)  e.  RR )
113 ltletr 9665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x
) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11478, 111, 112, 113syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  < 
( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
115110, 114mpan2d 674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  -  ( abs `  ( ( F `  x )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
116103, 115sylbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) ) )
11733ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR )
11820ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR+ )
119118rpred 11245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  e.  RR )
120119, 87remulcld 9613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
12194, 78eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  e.  RR )
12236adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
12343adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  e.  RR )
124 max2 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s , 
s ,  1 ) ) )
12540, 36, 124syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_  T ,  T ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) ) )
126125, 26syl6breqr 4480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  T  <_  U )
127126adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  U )
128 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  U  <  ( abs `  x
) )
129122, 123, 87, 127, 128lelttrd 9728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
13027, 129syl5eqbrr 4474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( A `
 N ) )  /  2 ) )  <  ( abs `  x
) )
131117, 87, 118ltdivmuld 11292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 ) )  <  ( abs `  x )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) ) )
132130, 131mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) ) )
13387recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
134133exp1d 12260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  =  ( abs `  x
) )
135 1red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
13653adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  U )
137135, 123, 87, 136, 128lelttrd 9728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
138135, 87, 137ltled 9721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
1394ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
140 nnuz 11106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
141139, 140syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
14287, 138, 141leexp2ad 12297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ 1 )  <_  ( ( abs `  x ) ^ N
) )
143134, 142eqbrtrrd 4462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N ) )
14487, 88, 118lemul2d 11285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
)  <_  ( ( abs `  x ) ^ N )  <->  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( abs `  x
) )  <_  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
145143, 144mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( abs `  x ) )  <_ 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )
146117, 120, 121, 132, 145ltletrd 9730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( (
( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
147146, 94breqtrrd 4466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 ) )
148 lttr 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  ( F `  0 )
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  e.  RR  /\  ( abs `  ( F `  x ) )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( ( abs `  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )  / 
2 )  /\  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  <  ( abs `  ( F `  x )
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
149117, 78, 112, 148syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( F `  0
) )  <  (
( abs `  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  /  2 )  /\  ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
150147, 149mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) )  /  2
)  <  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
151116, 150syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  (
x  e.  CC  /\  U  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
152151expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) )  ->  ( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
153152a2d 26 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
15467, 153syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  RR )  /\  x  e.  CC )  ->  (
( s  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( ( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  -> 
( U  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) ) ) )
155154ralimdva 2865 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
156 breq1 4443 . . . . . . 7  |-  ( r  =  U  ->  (
r  <  ( abs `  x )  <->  U  <  ( abs `  x ) ) )
157156imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( r  =  U  ->  (
( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
158157ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( r  =  U  ->  ( A. x  e.  CC  ( r  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  x
) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( U  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
159158rspcev 3207 . . . 4  |-  ( ( U  e.  RR+  /\  A. x  e.  CC  ( U  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
16055, 155, 159syl6an 545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  RR )  ->  ( A. x  e.  CC  (
s  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( ( ( abs `  ( A `  N
) )  /  2
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
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) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
161160rexlimdva 2948 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  RR  A. x  e.  CC  ( s  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  (
( ( abs `  ( A `  N )
)  /  2 )  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
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16225, 161mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  x )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   E.wrex 2808   ifcif 3932   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   ...cfz 11661   ^cexp 12122   abscabs 13017   sum_csu 13457   0pc0p 21804  Polycply 22309  coeffccoe 22311  degcdgr 22312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-0p 21805  df-ply 22313  df-coe 22315  df-dgr 22316
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