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Theorem ftalem1 23862
Description: Lemma for fta 23869: "growth lemma". There exists some  r such that  F is arbitrarily close in proportion to its dominant term. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1  |-  A  =  (coeff `  F )
ftalem.2  |-  N  =  (deg `  F )
ftalem.3  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
ftalem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
ftalem1.5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
ftalem1.6  |-  T  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )
Assertion
Ref Expression
ftalem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, r, x, A    E, r    k, N, r, x    k, F, r, x    ph, k, x    S, k    T, k, r, x
Allowed substitution hints:    ph( r)    S( x, r)    E( x, k)

Proof of Theorem ftalem1
StepHypRef Expression
1 ftalem1.6 . . . 4  |-  T  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )
2 fzfid 12183 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
3 ftalem.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 ftalem.1 . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  F )
54coef3 23054 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Poly `  S
)  ->  A : NN0
--> CC )
63, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
7 elfznn0 11885 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
8 ffvelrn 6035 . . . . . . . 8  |-  ( ( A : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
96, 7, 8syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
109abscld 13476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k ) )  e.  RR )
112, 10fsumrecl 13778 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR )
12 ftalem1.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
1311, 12rerpdivcld 11369 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  e.  RR )
141, 13syl5eqel 2521 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
15 1re 9641 . . 3  |-  1  e.  RR
16 ifcl 3957 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR )
1714, 15, 16sylancl 666 . 2  |-  ( ph  ->  if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR )
183adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
19 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  x  e.  CC )
20 ftalem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  (deg `  F )
214, 20coeid2 23061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  x  e.  CC )  ->  ( F `  x )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) )
2218, 19, 21syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) ) )
23 ftalem.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2423nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2524adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN0 )
26 nn0uz 11193 . . . . . . . . . . 11  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2725, 26syl6eleq 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
28 elfznn0 11885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
296adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  A : NN0 --> CC )
3029, 8sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A `  k
)  e.  CC )
31 expcl 12287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
3219, 31sylan 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( x ^ k
)  e.  CC )
3330, 32mulcld 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) )  e.  CC )
3428, 33sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  e.  CC )
35 fveq2 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  ( A `  k )  =  ( A `  N ) )
36 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  (
x ^ k )  =  ( x ^ N ) )
3735, 36oveq12d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  N  ->  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  =  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) )
3827, 34, 37fsumm1 13790 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  +  ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )
3922, 38eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( F `  x
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  +  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) )
4039oveq1d 6320 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) )  +  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( A `
 N )  x.  ( x ^ N
) ) ) )
41 fzfid 12183 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( 0 ... ( N  -  1 ) )  e.  Fin )
427, 33sylan2 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  e.  CC )
4341, 42fsumcl 13777 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) )  e.  CC )
4429, 25ffvelrnd 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( A `  N
)  e.  CC )
4519, 25expcld 12413 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( x ^ N
)  e.  CC )
4644, 45mulcld 9662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) )  e.  CC )
4743, 46pncand 9986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) )  +  ( ( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) )
4840, 47eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `
 k )  x.  ( x ^ k
) ) )
4948fveq2d 5885 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( A `  k )  x.  (
x ^ k ) ) ) )
5043abscld 13476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  e.  RR )
5142abscld 13476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  e.  RR )
5241, 51fsumrecl 13778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  e.  RR )
5312adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  RR+ )
5453rpred 11341 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  RR )
5519abscld 13476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
5655, 25reexpcld 12430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  e.  RR )
5754, 56remulcld 9670 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  e.  RR )
5841, 42fsumabs 13839 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) ) )
5911adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  e.  RR )
6023adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  N  e.  NN )
61 nnm1nn0 10911 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
6260, 61syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  NN0 )
6355, 62reexpcld 12430 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6459, 63remulcld 9670 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  e.  RR )
6510adantlr 719 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR )
6663adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR )
6765, 66remulcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )  e.  RR )
6830, 32absmuld 13494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
x ^ k ) ) ) )
697, 68sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  =  ( ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( abs `  (
x ^ k ) ) ) )
707, 32sylan2 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( x ^
k )  e.  CC )
7170abscld 13476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  e.  RR )
727, 30sylan2 476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A `  k )  e.  CC )
7372absge0d 13484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( A `  k ) ) )
74 absexp 13346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( abs `  (
x ^ k ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ k ) )
7519, 7, 74syl2an 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  =  ( ( abs `  x ) ^ k ) )
7655adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  x
)  e.  RR )
7715a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  e.  RR )
7817adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  e.  RR )
79 max1 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
8015, 14, 79sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
8180adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
82 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) )
8377, 78, 55, 81, 82lelttrd 9792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <  ( abs `  x ) )
8477, 55, 83ltled 9782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
1  <_  ( abs `  x ) )
8584adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  1  <_  ( abs `  x ) )
86 elfzuz3 11795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  k
) )
8786adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( N  - 
1 )  e.  (
ZZ>= `  k ) )
8876, 85, 87leexp2ad 12445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  x ) ^ k
)  <_  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
8975, 88eqbrtrd 4446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
x ^ k ) )  <_  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
9071, 66, 65, 73, 89lemul2ad 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  ( abs `  ( x ^
k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A `  k
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9169, 90eqbrtrd 4446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <_  ( ( abs `  ( A `  k ) )  x.  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
9241, 51, 67, 91fsumle 13837 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9363recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  CC )
9465recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( abs `  ( A `  k )
)  e.  CC )
9541, 93, 94fsummulc1 13824 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9692, 95breqtrrd 4452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <_  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
9714adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  e.  RR )
98 max2 11482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  T  e.  RR )  ->  T  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
9915, 14, 98sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  T  <_  if (
1  <_  T ,  T ,  1 ) )
10099adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <_  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 ) )
10197, 78, 55, 100, 82lelttrd 9792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  T  <  ( abs `  x
) )
1021, 101syl5eqbrr 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  <  ( abs `  x
) )
10359, 55, 53ltdivmuld 11389 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  /  E )  <  ( abs `  x
)  <->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  <  ( E  x.  ( abs `  x
) ) ) )
104102, 103mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  <  ( E  x.  ( abs `  x ) ) )
10554, 55remulcld 9670 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR )
10662nn0zd 11038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ZZ )
107 0red 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  e.  RR )
108 0lt1 10135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  1 )
110107, 77, 55, 109, 83lttrd 9795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  ( abs `  x ) )
111 expgt0 12302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  RR  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  x
) )  ->  0  <  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) )
11255, 106, 110, 111syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  x ) ^
( N  -  1 ) ) )
113 ltmul1 10454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  e.  RR  /\  ( E  x.  ( abs `  x ) )  e.  RR  /\  (
( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  <  ( E  x.  ( abs `  x ) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( ( E  x.  ( abs `  x
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
11459, 105, 63, 112, 113syl112anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  <  ( E  x.  ( abs `  x
) )  <->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( A `
 k ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) )  <  (
( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
115104, 114mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( ( E  x.  ( abs `  x
) )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
11655recnd 9668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  CC )
117 expm1t 12297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  x
)  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( abs `  x
) ) )
118116, 60, 117syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) )  x.  ( abs `  x
) ) )
11993, 116mulcomd 9663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( ( abs `  x ) ^ ( N  -  1 ) )  x.  ( abs `  x ) )  =  ( ( abs `  x
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) )
120118, 119eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( abs `  x
) ^ N )  =  ( ( abs `  x )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
121120oveq2d 6321 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  =  ( E  x.  ( ( abs `  x )  x.  (
( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) ) )
12254recnd 9668 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  E  e.  CC )
123122, 116, 93mulassd 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( ( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  =  ( E  x.  ( ( abs `  x
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) ) ) )
124121, 123eqtr4d 2473 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) )  =  ( ( E  x.  ( abs `  x ) )  x.  ( ( abs `  x
) ^ ( N  -  1 ) ) ) )
125115, 124breqtrrd 4452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) ( abs `  ( A `  k )
)  x.  ( ( abs `  x ) ^ ( N  - 
1 ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
12652, 64, 57, 96, 125lelttrd 9792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( x ^
k ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x
) ^ N ) ) )
12750, 52, 57, 58, 126lelttrd 9792 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) ( ( A `  k
)  x.  ( x ^ k ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
12849, 127eqbrtrd 4446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) )
129128expr 618 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  CC )  ->  ( if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) )
130129ralrimiva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )
131 breq1 4429 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( r  <  ( abs `  x )  <->  if (
1  <_  T ,  T ,  1 )  <  ( abs `  x
) ) )
132131imbi1d 318 . . . 4  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  <-> 
( if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) ) ) )
133132ralbidv 2871 . . 3  |-  ( r  =  if ( 1  <_  T ,  T ,  1 )  -> 
( A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( ( F `  x )  -  (
( A `  N
)  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N ) ) )  <->  A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) ) )
134133rspcev 3188 . 2  |-  ( ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  e.  RR  /\ 
A. x  e.  CC  ( if ( 1  <_  T ,  T , 
1 )  <  ( abs `  x )  -> 
( abs `  (
( F `  x
)  -  ( ( A `  N )  x.  ( x ^ N ) ) ) )  <  ( E  x.  ( ( abs `  x ) ^ N
) ) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
13517, 130, 134syl2anc 665 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  CC  (
r  <  ( abs `  x )  ->  ( abs `  ( ( F `
 x )  -  ( ( A `  N )  x.  (
x ^ N ) ) ) )  < 
( E  x.  (
( abs `  x
) ^ N ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   ifcif 3915   class class class wbr 4426   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11782   ^cexp 12269   abscabs 13276   sum_csu 13730  Polycply 23006  coeffccoe 23008  degcdgr 23009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-0p 22505  df-ply 23010  df-coe 23012  df-dgr 23013
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