Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1g Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fta1g 23197
 Description: The one-sided fundamental theorem of algebra. A polynomial of degree has at most roots. Unlike the real fundamental theorem fta 24085, which is only true in and other algebraically closed fields, this is true in any integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p Poly1
fta1g.b
fta1g.d deg1
fta1g.o eval1
fta1g.w
fta1g.z
fta1g.1 IDomn
fta1g.2
fta1g.3
Assertion
Ref Expression
fta1g

Proof of Theorem fta1g
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2
2 fta1g.2 . . 3
3 fta1g.1 . . . . . 6 IDomn
4 isidom 18605 . . . . . . 7 IDomn Domn
54simplbi 467 . . . . . 6 IDomn
6 crngring 17869 . . . . . 6
73, 5, 63syl 18 . . . . 5
8 fta1g.3 . . . . 5
9 fta1g.d . . . . . 6 deg1
10 fta1g.p . . . . . 6 Poly1
11 fta1g.z . . . . . 6
12 fta1g.b . . . . . 6
139, 10, 11, 12deg1nn0cl 23116 . . . . 5
147, 2, 8, 13syl3anc 1292 . . . 4
15 eqeq2 2482 . . . . . . . 8
1615imbi1d 324 . . . . . . 7
1716ralbidv 2829 . . . . . 6
1817imbi2d 323 . . . . 5 IDomn IDomn
19 eqeq2 2482 . . . . . . . 8
2019imbi1d 324 . . . . . . 7
2120ralbidv 2829 . . . . . 6
2221imbi2d 323 . . . . 5 IDomn IDomn
23 eqeq2 2482 . . . . . . . 8
2423imbi1d 324 . . . . . . 7
2524ralbidv 2829 . . . . . 6
2625imbi2d 323 . . . . 5 IDomn IDomn
27 eqeq2 2482 . . . . . . . 8
2827imbi1d 324 . . . . . . 7
2928ralbidv 2829 . . . . . 6
3029imbi2d 323 . . . . 5 IDomn IDomn
31 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 IDomn
32 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . 14
3331, 32syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . 13 IDomn
345, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 IDomn
35 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . 14
369, 10, 11, 12deg1nn0clb 23118 . . . . . . . . . . . . . 14
3734, 35, 36syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13 IDomn
3833, 37mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12 IDomn
39 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IDomn
40 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4139, 40syl6eqbr 4433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
4234ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IDomn
43 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IDomn
44 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 algSc algSc
459, 10, 12, 44deg1le0 23139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 algSccoe1
4642, 43, 45syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn algSccoe1
4741, 46mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 IDomn algSccoe1
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IDomn algSccoe1
495adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IDomn
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IDomn
51 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 coe1 coe1
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5351, 12, 10, 52coe1f 18881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 coe1
5443, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IDomn coe1
55 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 coe1 coe1
5654, 32, 55sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IDomn coe1
57 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 eval1
5857, 10, 52, 44evl1sca 18999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 coe1 algSccoe1 coe1
5950, 56, 58syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IDomn algSccoe1 coe1
6048, 59eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IDomn coe1
6160fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IDomn coe1
62 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s s
63 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 s s
64 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IDomn IDomn
65 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IDomn
6757, 10, 62, 52evl1rhm 18997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 RingHom s
6812, 63rhmf 18032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 RingHom s s
6949, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IDomn s
70 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 IDomn
7169, 70ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 IDomn s
7262, 52, 63, 64, 66, 71pwselbas 15465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IDomn
73 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
74 fniniseg 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IDomn
7675simplbda 636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IDomn
7775simprbda 635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IDomn
78 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 coe1
7978fvconst2 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 coe1 coe1
8077, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 IDomn coe1 coe1
8161, 76, 803eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn coe1
8281fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15 IDomn algSccoe1 algSc
83 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8410, 44, 83, 11ply1scl0 18960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 algSc
8542, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 IDomn algSc
8647, 82, 853eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . . 14 IDomn
8786ex 441 . . . . . . . . . . . . 13 IDomn
8887necon3ad 2656 . . . . . . . . . . . 12 IDomn
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11 IDomn
9089eq0rdv 3773 . . . . . . . . . 10 IDomn
9190fveq2d 5883 . . . . . . . . 9 IDomn
92 hash0 12586 . . . . . . . . 9
9391, 92syl6eq 2521 . . . . . . . 8 IDomn
9440, 31syl5breqr 4432 . . . . . . . 8 IDomn
9593, 94eqbrtrd 4416 . . . . . . 7 IDomn
9695expr 626 . . . . . 6 IDomn
9796ralrimiva 2809 . . . . 5 IDomn
98 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
9998eqeq1d 2473 . . . . . . . . . 10
100 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
101100cnveqd 5015 . . . . . . . . . . . . 13
102101imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . . 12
103102fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
104103, 98breq12d 4408 . . . . . . . . . 10
10599, 104imbi12d 327 . . . . . . . . 9
106105cbvralv 3005 . . . . . . . 8
107 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
108 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109108ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
110107, 109eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15 IDomn
111110nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . 14 IDomn
112 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113112, 92syl6eq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15
114113breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
115111, 114syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . 13 IDomn
116115a1dd 46 . . . . . . . . . . . 12 IDomn
117 n0 3732 . . . . . . . . . . . . 13
118 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn IDomn
119 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
120 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 var1 var1
121 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 var1algSc var1algSc
123 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
124 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
125 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
126 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 IDomn
12710, 12, 9, 57, 83, 11, 118, 119, 52, 120, 121, 44, 122, 123, 124, 125, 126fta1glem2 23196 . . . . . . . . . . . . . . 15 IDomn
128127exp32 616 . . . . . . . . . . . . . 14 IDomn
129128exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . . 13 IDomn
130117, 129syl5bi 225 . . . . . . . . . . . 12 IDomn
131116, 130pm2.61dne 2729 . . . . . . . . . . 11 IDomn
132131expr 626 . . . . . . . . . 10 IDomn
133132com23 80 . . . . . . . . 9 IDomn
134133ralrimdva 2812 . . . . . . . 8 IDomn
135106, 134syl5bi 225 . . . . . . 7 IDomn
136135expcom 442 . . . . . 6 IDomn
137136a2d 28 . . . . 5 IDomn IDomn
13818, 22, 26, 30, 97, 137nn0ind 11053 . . . 4 IDomn
13914, 3, 138sylc 61 . . 3
140 fveq2 5879 . . . . . 6
141140eqeq1d 2473 . . . . 5
142 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
143142cnveqd 5015 . . . . . . . 8
144143imaeq1d 5173 . . . . . . 7
145144fveq2d 5883 . . . . . 6
146145, 140breq12d 4408 . . . . 5
147141, 146imbi12d 327 . . . 4
148147rspcv 3132 . . 3
1492, 139, 148sylc 61 . 2
1501, 149mpi 20 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cxp 4837  ccnv 4838  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cle 9694  cn0 10893  chash 12553  cbs 15199  c0g 15416   s cpws 15423  csg 16749  crg 17858  ccrg 17859   RingHom crh 18018  Domncdomn 18581  IDomncidom 18582  algSccascl 18612  var1cv1 18846  Poly1cpl1 18847  coe1cco1 18848  eval1ce1 18980   deg1 cdg1 23082 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-srg 17818  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-rnghom 18021  df-subrg 18084  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-nzr 18559  df-rlreg 18584  df-domn 18585  df-idom 18586  df-assa 18613  df-asp 18614  df-ascl 18615  df-psr 18657  df-mvr 18658  df-mpl 18659  df-opsr 18661  df-evls 18806  df-evl 18807  df-psr1 18850  df-vr1 18851  df-ply1 18852  df-coe1 18853  df-evl1 18982  df-cnfld 19048  df-mdeg 23083  df-deg1 23084  df-mon1 23159  df-uc1p 23160  df-q1p 23161  df-r1p 23162 This theorem is referenced by:  fta1b  23199  lgsqrlem4  24351  idomrootle  36140
 Copyright terms: Public domain W3C validator