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Theorem fta1g 23110
Description: The one-sided fundamental theorem of algebra. A polynomial of degree  n has at most  n roots. Unlike the real fundamental theorem fta 23998, which is only true in  CC and other algebraically closed fields, this is true in any integral domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fta1g.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
fta1g.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
fta1g.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
fta1g.o  |-  O  =  (eval1 `  R )
fta1g.w  |-  W  =  ( 0g `  R
)
fta1g.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
fta1g.1  |-  ( ph  ->  R  e. IDomn )
fta1g.2  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
fta1g.3  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
fta1g  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) )

Proof of Theorem fta1g
Dummy variables  f 
d  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2423 . 2  |-  ( D `
 F )  =  ( D `  F
)
2 fta1g.2 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
3 fta1g.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. IDomn )
4 isidom 18521 . . . . . . 7  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
54simplbi 462 . . . . . 6  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  CRing )
6 crngring 17784 . . . . . 6  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
73, 5, 63syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
8 fta1g.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =/=  .0.  )
9 fta1g.d . . . . . 6  |-  D  =  ( deg1  `  R )
10 fta1g.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
11 fta1g.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
12 fta1g.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
139, 10, 11, 12deg1nn0cl 23029 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
147, 2, 8, 13syl3anc 1265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  NN0 )
15 eqeq2 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  0 ) )
1615imbi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
1716ralbidv 2865 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
1817imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
19 eqeq2 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  d  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  d ) )
2019imbi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( x  =  d  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) ) )
2120ralbidv 2865 . . . . . 6  |-  ( x  =  d  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) ) )
2221imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  d  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
23 eqeq2 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )
2423imbi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2524ralbidv 2865 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2625imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( d  +  1 )  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
27 eqeq2 2438 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( D `  f
)  =  x  <->  ( D `  f )  =  ( D `  F ) ) )
2827imbi1d 319 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
2928ralbidv 2865 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  x  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
3029imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( x  =  ( D `  F )  ->  (
( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f
)  =  x  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )  <->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
31 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( D `  f )  =  0 )
32 0nn0 10886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  NN0
3331, 32syl6eqel 2519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( D `  f )  e.  NN0 )
345, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e. IDomn  ->  R  e.  Ring )
35 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 )  -> 
f  e.  B )
369, 10, 11, 12deg1nn0clb 23031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  f  e.  B )  ->  (
f  =/=  .0.  <->  ( D `  f )  e.  NN0 ) )
3734, 35, 36syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( f  =/= 
.0. 
<->  ( D `  f
)  e.  NN0 )
)
3833, 37mpbird 236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  f  =/=  .0.  )
39 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( D `  f
)  =  0 )
40 0le0 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
4139, 40syl6eqbr 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( D `  f
)  <_  0 )
4234ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  R  e.  Ring )
43 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  e.  B )
44 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (algSc `  P )  =  (algSc `  P )
459, 10, 12, 44deg1le0 23052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  <_  0  <->  f  =  ( (algSc `  P ) `  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
4642, 43, 45syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( D `  f )  <_  0  <->  f  =  ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
4741, 46mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  =  ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) )
4847fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  f
)  =  ( O `
 ( (algSc `  P ) `  (
(coe1 `  f ) ` 
0 ) ) ) )
495adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  R  e.  CRing )
5049adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  R  e.  CRing )
51 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (coe1 `  f
)  =  (coe1 `  f
)
52 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5351, 12, 10, 52coe1f 18797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  e.  B  ->  (coe1 `  f ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
5443, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
(coe1 `  f ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
55 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (coe1 `  f ) : NN0 --> ( Base `  R
)  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  f ) `  0
)  e.  ( Base `  R ) )
5654, 32, 55sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (coe1 `  f ) ` 
0 )  e.  (
Base `  R )
)
57 fta1g.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  O  =  (eval1 `  R )
5857, 10, 52, 44evl1sca 18915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
(coe1 `  f ) ` 
0 )  e.  (
Base `  R )
)  ->  ( O `  ( (algSc `  P
) `  ( (coe1 `  f ) `  0
) ) )  =  ( ( Base `  R
)  X.  { ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) )
5950, 56, 58syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  (
(algSc `  P ) `  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) ) )  =  ( ( Base `  R )  X.  {
( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) )
6048, 59eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( O `  f
)  =  ( (
Base `  R )  X.  { ( (coe1 `  f
) `  0 ) } ) )
6160fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( O `  f ) `  x
)  =  ( ( ( Base `  R
)  X.  { ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) `
 x ) )
62 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( R  ^s  ( Base `  R
) )  =  ( R  ^s  ( Base `  R
) )
63 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )
64 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  R  e. IDomn )
65 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Base `  R )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( Base `  R
)  e.  _V )
6757, 10, 62, 52evl1rhm 18913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( R  e.  CRing  ->  O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
6812, 63rhmf 17947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( O  e.  ( P RingHom  ( R  ^s  ( Base `  R
) ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R ) ) ) )
6949, 67, 683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  O : B --> ( Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) ) )
70 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  f  e.  B
)
7169, 70ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( O `  f )  e.  (
Base `  ( R  ^s  ( Base `  R )
) ) )
7262, 52, 63, 64, 66, 71pwselbas 15380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( O `  f ) : (
Base `  R ) --> ( Base `  R )
)
73 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  f ) : ( Base `  R
) --> ( Base `  R
)  ->  ( O `  f )  Fn  ( Base `  R ) )
74 fniniseg 6016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( O `  f )  Fn  ( Base `  R
)  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( O `  f ) `  x )  =  W ) ) )
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  <->  ( x  e.  ( Base `  R
)  /\  ( ( O `  f ) `  x )  =  W ) ) )
7675simplbda 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( O `  f ) `  x
)  =  W )
7775simprbda 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
78 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (coe1 `  f ) `  0
)  e.  _V
7978fvconst2 6133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( Base `  R
)  ->  ( (
( Base `  R )  X.  { ( (coe1 `  f
) `  0 ) } ) `  x
)  =  ( (coe1 `  f ) `  0
) )
8077, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( ( ( Base `  R )  X.  {
( (coe1 `  f ) ` 
0 ) } ) `
 x )  =  ( (coe1 `  f ) ` 
0 ) )
8161, 76, 803eqtr3rd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (coe1 `  f ) ` 
0 )  =  W )
8281fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  ( (coe1 `  f ) `  0
) )  =  ( (algSc `  P ) `  W ) )
83 fta1g.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  W  =  ( 0g `  R
)
8410, 44, 83, 11ply1scl0 18876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( (algSc `  P ) `  W
)  =  .0.  )
8542, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
( (algSc `  P
) `  W )  =  .0.  )
8647, 82, 853eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  /\  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  -> 
f  =  .0.  )
8786ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  -> 
f  =  .0.  )
)
8887necon3ad 2635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( f  =/= 
.0.  ->  -.  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) ) )
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  -.  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )
9089eq0rdv 3798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( `' ( O `  f )
" { W }
)  =  (/) )
9190fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  ( # `  (/) ) )
92 hash0 12549 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  (/) )  =  0
9391, 92syl6eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  0 )
9440, 31syl5breqr 4458 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  0  <_  ( D `  f )
)
9593, 94eqbrtrd 4442 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  0 ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )
9695expr 619 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  =  0  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
9796ralrimiva 2840 . . . . 5  |-  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  0  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
98 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( D `  f )  =  ( D `  g ) )
9998eqeq1d 2425 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( D `  f
)  =  d  <->  ( D `  g )  =  d ) )
100 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  ( O `  f )  =  ( O `  g ) )
101100cnveqd 5027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  `' ( O `  f )  =  `' ( O `
 g ) )
102101imaeq1d 5184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )
103102fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  =  (
# `  ( `' ( O `  g )
" { W }
) ) )
104103, 98breq12d 4434 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) )
10599, 104imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  g  ->  (
( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) ) ) )
106105cbvralv 3056 . . . . . . . 8  |-  ( A. f  e.  B  (
( D `  f
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) ) )
107 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) )
108 peano2nn0 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( d  +  1 )  e. 
NN0 )
109108ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( d  +  1 )  e.  NN0 )
110107, 109eqeltrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( D `  f )  e.  NN0 )
111110nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  0  <_  ( D `  f )
)
112 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  ( # `  (/) ) )
113112, 92syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  =  0 )
114113breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  (/)  ->  ( ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  0  <_  ( D `  f )
) )
115111, 114syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =  (/)  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
116115a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =  (/)  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
117 n0 3772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' ( O `  f ) " { W } )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( `' ( O `  f )
" { W }
) )
118 simplll 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  R  e. IDomn )
119 simplrl 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  f  e.  B
)
120 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (var1 `  R
)  =  (var1 `  R
)
121 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
122 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (var1 `  R ) ( -g `  P ) ( (algSc `  P ) `  x
) )  =  ( (var1 `  R ) (
-g `  P )
( (algSc `  P
) `  x )
)
123 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  d  e.  NN0 )
124 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) )
125 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )
126 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) )
12710, 12, 9, 57, 83, 11, 118, 119, 52, 120, 121, 44, 122, 123, 124, 125, 126fta1glem2 23109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( f  e.  B  /\  ( D `
 f )  =  ( d  +  1 ) ) )  /\  ( x  e.  ( `' ( O `  f ) " { W } )  /\  A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) ) ) )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )
128127exp32 609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' ( O `
 f ) " { W } )  -> 
( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
129128exlimdv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( E. x  x  e.  ( `' ( O `  f )
" { W }
)  ->  ( A. g  e.  B  (
( D `  g
)  =  d  -> 
( # `  ( `' ( O `  g
) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
130117, 129syl5bi 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( ( `' ( O `  f
) " { W } )  =/=  (/)  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
131116, 130pm2.61dne 2742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  (
f  e.  B  /\  ( D `  f )  =  ( d  +  1 ) ) )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 g ) " { W } ) )  <_  ( D `  g ) )  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
132131expr 619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  B )  ->  (
( D `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
( A. g  e.  B  ( ( D `
 g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
133132com23 82 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  /\  f  e.  B )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  (
( D `  f
)  =  ( d  +  1 )  -> 
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) )
134133ralrimdva 2844 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. g  e.  B  ( ( D `  g )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  g ) " { W } ) )  <_ 
( D `  g
) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
135106, 134syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e. IDomn  /\  d  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  <_  ( D `  f )
) ) )
136135expcom 437 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( R  e. IDomn  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) )  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
137136a2d 30 . . . . 5  |-  ( d  e.  NN0  ->  ( ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  d  ->  ( # `  ( `' ( O `
 f ) " { W } ) )  <_  ( D `  f ) ) )  ->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( d  +  1 )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) ) )
13818, 22, 26, 30, 97, 137nn0ind 11032 . . . 4  |-  ( ( D `  F )  e.  NN0  ->  ( R  e. IDomn  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) ) )
13914, 3, 138sylc 63 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) ) )
140 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( D `  f )  =  ( D `  F ) )
141140eqeq1d 2425 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( D `  f
)  =  ( D `
 F )  <->  ( D `  F )  =  ( D `  F ) ) )
142 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  ( O `  f )  =  ( O `  F ) )
143142cnveqd 5027 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  `' ( O `  f )  =  `' ( O `
 F ) )
144143imaeq1d 5184 . . . . . . 7  |-  ( f  =  F  ->  ( `' ( O `  f ) " { W } )  =  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )
145144fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  ( # `
 ( `' ( O `  f )
" { W }
) )  =  (
# `  ( `' ( O `  F )
" { W }
) ) )
146145, 140breq12d 4434 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( # `  ( `' ( O `  f
) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
)  <->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) )
147141, 146imbi12d 322 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  <->  ( ( D `  F )  =  ( D `  F )  ->  ( # `
 ( `' ( O `  F )
" { W }
) )  <_  ( D `  F )
) ) )
148147rspcv 3179 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( A. f  e.  B  ( ( D `  f )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  f ) " { W } ) )  <_ 
( D `  f
) )  ->  (
( D `  F
)  =  ( D `
 F )  -> 
( # `  ( `' ( O `  F
) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) ) )
1492, 139, 148sylc 63 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  =  ( D `  F )  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) ) )
1501, 149mpi 21 1  |-  ( ph  ->  ( # `  ( `' ( O `  F ) " { W } ) )  <_ 
( D `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438   E.wex 1660    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   _Vcvv 3082   (/)c0 3762   {csn 3997   class class class wbr 4421    X. cxp 4849   `'ccnv 4850   "cima 4854    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    <_ cle 9678   NN0cn0 10871   #chash 12516   Basecbs 15114   0gc0g 15331    ^s cpws 15338   -gcsg 16664   Ringcrg 17773   CRingccrg 17774   RingHom crh 17933  Domncdomn 18497  IDomncidom 18498  algSccascl 18528  var1cv1 18762  Poly1cpl1 18763  coe1cco1 18764  eval1ce1 18896   deg1 cdg1 22995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-ofr 6544  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-hash 12517  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-prds 15339  df-pws 15341  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-abl 17426  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-srg 17733  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-rnghom 17936  df-subrg 17999  df-lmod 18086  df-lss 18149  df-lsp 18188  df-nzr 18475  df-rlreg 18500  df-domn 18501  df-idom 18502  df-assa 18529  df-asp 18530  df-ascl 18531  df-psr 18573  df-mvr 18574  df-mpl 18575  df-opsr 18577  df-evls 18722  df-evl 18723  df-psr1 18766  df-vr1 18767  df-ply1 18768  df-coe1 18769  df-evl1 18898  df-cnfld 18964  df-mdeg 22996  df-deg1 22997  df-mon1 23072  df-uc1p 23073  df-q1p 23074  df-r1p 23075
This theorem is referenced by:  fta1b  23112  lgsqrlem4  24264  idomrootle  35995
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